I
acpI=0
（3）选圆柱坐标系，z轴与圆柱导体面的轴线重合，丙圆柱导体无限长，故由对称性可知，电位（P仅为P的函数，有如下的静电场边值问题：
歩令（喘円g"
讪=0
f€爭°X2tt<2=r
Id°
1-7-4真空中一点电荷g=10-6C,放在距金属球壳（半径为R=5cm）的球心15cm处，求：
（1）球面上各点甲,忙的表达式。
何处场强最大，数值如何？
（2）若将球壳接地，则悄况如何？
解应用镜像电荷法、镜像电荷的大小和位置为
-务八吉X10空=-*X10-6c
.K2_52_5
X忑一它-可曲
如题1-7-4图所示：
（1）球壳不接地。
此时，球心处还应放一点电荷
/=-心"叱
球外和球表面上任一点的由Q,『和/共同产生。
?
题1-7讥图
球面上的电位为
（P=.Qb二60kVr4net）R
珠面上任一点的电场强度为
屯=盘严十爲肩％十爲屈织
不难判析,球面上A点的场强最大，数值为
V/m
（2〉若将球壳接地，这时，球外和球表面上任一点的护和E由g和『共同产生°
球面上的尅位为卩=0V
球表面上任一点的电场强度为
所以，网柱单位长度上的电荷r与两柱间的电压关系为
点A处，场强和电荷面密度量大
二eo盘十rr（i-a）〉
=O.1775X1O-6C/m2
点F处，场强和电荷面密度最小
"诅—£0匕轴-切越（W丽-a+O+b〉）
=0.0887X10_gC/m2
1-8-3两平行导线位于与地面垂直的平面内，如题一8-3图所示，已気导体半桎为2mm,求导线单「O•
位长度的祁分电容以及两导线间的等效电容。
o.
解整个系统是由三个寻体组成的静电独立系统，共有3个部分电容，为计算部分电容,先计算电位系数，有
题1-8-3图
令ti=r,r2-0,计算此悄况下的⑴卄将地面的影响用镜像电荷代替，并珞去导线2上感应电荷的影响■则得
所以，有
同理■令门=（）“2=.计算此情况下的知叫将地面的影响用億像电荷代替，并略去导线1上感应电荷的彫响，则得
所以，有
根据各个系数之间的关系，可得
B二竺二2^0X0.1301
心"22一5201
再根据部分电容与感应系数之间的关系，可得
Ci2=S=-012=2,7889x10-12F/mGo=%+012=4・4389X1OT2F/mC2o=B2i+022=4.5111X10"12F/m两导线间的等效电容为
i-9-i闊个电容器5和q各充以电荷Q」和（?
2。
然后移去电源債再将两电容器并联，问总的能童是否械少？
减少了多少？
到哪里去了？
解两电容器并联后，它们的电压相等，且总电荷与联接前相同，这是一个當电荷系统勺并联后，每个电容器的电压为
所以，两电容器中的总能量为
叭=4。
"+昇2洛备磐
而并联之前,两电容器中的总能鼠为
2C2
因」比，能量的变化为
△叭=w\-
r17-[CW2一C?
qiFe2（G+C2）CiG
可见，并联后总的能量减少了。
减少的这部分能量用于在电容養并联达到稳态的过渡过理中，电位移电流辐肘到空间中去了。
1-9-3用8etu厚、€严5的电介质畀隔开的两片金届盘，形成一电容为1pF的平行板电容器，并接1kV的电源"如果不计摩擦，要把电介质片从两金展盘间移出来.问在下列两种情况下各需做芬少功？
（1）移动前，电源已断开；
（2）移动中，电源一貢联着。
解根据带电体系统中的能量守恒关系：
与带电体相联接的备电源提供的能肚二电场能量的堆量+电场力所做的功
（1）对T电源断开的常电荷系统：
电场力做功=电场能量的増虽）
移动前，电容器中的电场能臺为
WV1=~CL^=IO'l2x10b=0.5/J
移动后，电容器的电客为
ad€r5
所以，电容器中的储能为Wq（注业=0，为常电荷系统）
2扣吩扣（幼詔吃能）
二号（刍）=叫
所以
外力做的功=-（电场力做的功）=WQ-用。
1二2讨
（2〉对于电源-宜接着的常电位系统，电场力所做的功在数值上等于电场能量的增量。
因为叭］=*C」U“0.5pj
W犷专匚2口；=弄扣心二所以
外力做的功=-（W^-Wel）=ywcl=fl.4出
1-9-6应用虚位移法，计算教材中例1-27平行板电容器中两种介质分界面上每单位面积所受的力。
解
⑴先讨论題1-9-6图⑹。
这种情况下，设介质£l和“的厚度分别为小和“2,且右+d2=d（d是平板电容器的两极板间的距离），则电容髒的电容为
勺"S二“£2S
“於2十切“〕巧（"一圧1）+可01
所以•电场能量为
则介頂分界面上所受的总力为
由于介质1和2中的电场分别为
所以
八寺E匡2（6-£2）S二扣2千尹
单位面积上所受的力为
这里,厂的参考方向由介质6指向介质£2。
（2）再看题1-9-6图（b）°这种情况下，两种介质中的E是相等的。
设介质S和巾填充极板的面积分别为S严仃W和且i、mi为极板的长度，眇为极板的宽度），则电容器的电容为
（、=£1^1十^2=[©■轨”2+fJ]W
ddd
所以•电场能量为
叭=*cu—u2[g-引）?
匕“巴
Z2d
则介质分界面上所受的总力为
卜
U
（a）
=yE2（c2一5〉WK
单位面积匕所受的力为
这里/的参号方向由介质立指向介质釘。
11试回答下列各问题：
（1）等位面上的电位处处一样，因此面上各处的电场强度的数值也一样。
这句话对吗？
试举例说明。
（2）某处电位＜p=0,因此那里的电场E=-V0=0o对吗？
（3）甲处电位是10000V,乙处电位是10V故甲处的电场强度大于乙处的电场强度。
对吗？
答此三问的内容基本一致，均是不正确的。
静电场中电场强度是电位函数的梯度，即电场强度E是电位函数卩沿最大减小率方向的空间变化率。
护的数值大小与E的大小无关，因此甲处电位虽屋10000V,大于乙处的电位，但并不等于甲处的电场強度大于乙处的电场强度。
在等位面上的电位均相等，只能说明沿等位面切线方向，电位的变化率等于零，因此等佼面上任一点的电场强度沿该面切线方向的分量尊于零，即£=0。
而电位函数沿等位面法线方向的变化率并不一定等于零，即不一定为零，且数值也不一定相等。
即使等位面上卩=0,该面上任一点沿等位面法线方向电位函数的变化率也不一定等于零。
例如：
静电场中导体表面为等位面,但导体表面上电场强度思垂直于导体表面，大小与导体表面餌点的曲率半径有关，曲率半径越小的地方电術面密度越大，电场强度的数值也越大。
1-5阳条电力线能否栢切？
同一条电力线上任意两点的电位能否相零？
为什么？
答电力线的疏帯表示电场强度的弱或强，电力线披密，说明该处的场强越大。
因此•若两条电力线相切，在切点处两条电力线无限靠近，即表示切点处的场强越于无隈大，这是不符合实际的，所以电力线不能相切。
因为JeJZ，说明同i条电力线上任意两点的电位不能相等，沿电力线方向电位在减小。
1-8在一不带电的导休球内，挖出--編心的球形空腔。
（1）若在空腔中心放「点电荷g,试问腔表面和球外表面上的电荷及腔内,腔外各处的场强分别如何？
〈2）若q不在空腔的中心，則腔表面和球外表面的电荷怎样分布？
球外的场强怎样分布？
（3）若点电荷q放在空腔中心，但在球外也放一点电荷，则腔表面和球表面上电荷怎样分布？
答仃）空腔表面均匀分布与点电荷电量相等但异号的面电荷。
导体球的外表面均匀分布与点电荷电量相等且同号的面电荷。
腔内空间的电场强度为
式中口为空腔中心（即点电荷所在处〉到腔内空间中任一点的距离。
导体球内各处电场强度均为零°导体球外电场是均匀帶电导体球在空间产生的电场
式中r•为导体中心到球外空间任一点的距离。
（2）点电荷q不在空腔中心时,则空腔表面分布着与点电荷q电量相等且异号的非均匀的面电荷,在靠近点电荷附近的表面上，电荷分布的面密度大。
此时导体球外表面上的电何分布及球外空间中场的分布与
（1）M中此问题相同。
〈3）若点电荷q仍放在空腔中心，球外也放-点电荷,则空腔表面上的电荷分布与（I）问中此问题相同。
此时导体球外表面上电荷分布不均匀，靠近球外点电荷处，分布看非均匀的与球外点电荷异号的面电荷；远离球外点电荷处，分布着非均匀的与球外点电荷同号的面电荷。
但导体球外表面上分布的面电荷总量仍与空腔内点电荷q的电员相等且同号。
1HI两绝缘导体A和B带零呈异号电荷，现把第三个不带电的导体C插入4、£之间（不与它们接触），试问电位差必-切是増大还是滅小？
（从能屋观点分析）C
答导体€的外表面将感应分布不均匀的面屯荷。
靠近A导体的表面带负电，靠近£导体的表面带正电。
插入的过程中，电场力作功，人、H与外界无联系（绝缘导体），所以电场能量要減小。
故A、B之间的电位差弘-知要减小。
1-14在一个中性导体球壳的中心放-电荷址为q的点电荷，这时球壳内外表面各带多少电荷:
a?
若把点电荷从球壳中心移到壳内其它点，球壳内外表向上的电荷分布变不变？
球壳内外的场强分布变不变？
答点电荷Q放在球心时，球壳内表而带有均匀分布的（-g）的电量，外表面带有均匀分布的q电虽。
若把点电荷移至壳内其它点，球壳外表面电荷分布不变，球壳内表面分布的电荷仍是（的电量，但分布不均匀，靠近点电荷的
内表面上的电荷面密度大于远离点电荷的内表面上的电荷面密度。
球壳外的场强分布不变，仍为E=—^-2eto球売内空间电场分布改变了，町由镜像送求4亦产
得.
1-16说明E、D、P三个矢量的物理意义。
E与介质有关,D与介质无关的说法对吗？
答E是电场强度，其物理意义在于是从力的角度描述静电场持性的物理适。
其定义为静电场中任一点单位正电荷所受到的电场力。
D是电位移矢量，是一个辅助物理量，其本身并没有明确的物理意义，然而引人它可以方便地表达出静电场中任一点的场量与场源之间的关系，即电位移矢量的散度等于该点分布的自由电荷体密度。
P是电极化强度，其物理恵义是描述电介质中任一点电极化强弱的物理
E与介质有关・D与介质无关的说法是不对的°E和D的分布均与介质有关。
但是穿过闭合曲面的D通量仅与该闭合面所包围的自由电荷有关，而与介质中的束缚电荷无关。
1-17若屯场中放人电介质后，白由电荷分布未变，电介质中的场强大小是否一定比真空中的场强小少
答不一定。
只能说电介质中的场强比原來没放电介质时同一处真空中的场强小。
1-18有入说，均匀介质极化后不会产生体分侑的极化电荷，只是在介质的表面上才出现面分布的极化电荷，若沟匀介质是无限大的，那么它的表血在无限远处”那里.的极化电荷对考察点的场无影响，闪此均匀的无限人的电介质与真空完全相同。
你是否同意这种看法。
答这种看法是错误的。
举一反例说明。
假设均匀介质是无限大的命题成立，耍使介质极化，必要有外加电场，而外加电场屋由空间分布的自由电荷产生的，这些自由电荷会分布在均匀介质中，使均匀介质內部存在极化电荷体密度,故与真空的情况不能相同。
1-22有带电为q的球体，附近有一块介电常数为£的介质，如思考题1-22图所示。
请问下列公式成立否?
'0D-S]
不成立，闪为没有考虑介
答£=I0$D7S二g,#
E•dS"成立。
D=-^-zer和$E・dS=乞£u4兀卄口氐€0
质的影响。
1-29电缆为什么要制成多层绝缘的结构（即在内、外导体间用介电常数各不相同的多层介质）？
各层介质的介电常数的选取遵循什么原则？
为什么？
答在电缆内、外导体之间施加同样电压的情况下，对于多层绝緣结构，其电介质中电场强度的最大值比单层绝缘情况下的电场强度的呆大值小，这样务层绝缘的电缆可以承受更大的电压。
如杲各层介质的介电常数选择为5Q=€202=£303=…（门为$层介质的晟小半径），则在各层电介质中，场强的最大值均相等，且均小于单层绝缘情况下的电场强度的最大值。
若各层电介质的击穿场强不同，这时既要考虑介质的介电常数的大小，还要考虑介质排列的顺序及厚度的选取。
1-30确定镜像电荷的分布上要有哪两点？
已学过的有哪几种典型的镜像问题？
并总结之。
说明镜像电荷是代替哪些实际存在的电荷分布。
答首先镜像电荷必狈位于待求解的场域（简称有效区域）之外，保证有效区内的电荷分布不变，也就是电位方程不变。
另一点是诡像电荷的个数、位置,电荷量的大小和符号的选取要能等效替代有效区以外区域的电荷和有效区场域边界上复杂分布的电荷的作用，以保证边界条件不变，已学过的典型的镜像问题有：
⑴如点电荷対无限大导体平面的镜像；
（2）球形导体边界问题，如点电荷对导体球的镜像；（3）圆柱形导体边界问题（也称电轴法｝;（4）无限大平面介质边界问题。
在上述问题中，镜像电荷主要用以替代•有效区场域边界上实际存在的感应电荷或束缚电荷的分布或作用。
1-31以下各小题（见思考題1-31图）能否用镜像法求解？
如能，画出其销像电荷的位置并标明数偵；如不能，说明理由。
思考题1-31图
答分界面均按无穷大导体平面对待。
对于图（“，q=60°,故立=呼=
3,有（2川-1）=5个镜像。
其位置与平面镜成像的方法相同，数值均为-站号
每成-次像加个负号（图略人对于图（b）,不能用镜像法求堀。
闵为像电荷不能出现在有效区内，而图（b）中不能避免这点，故不能采用镜豫法。
（C）可选择无穷个镜像，但镜像电荷距有效区的距离越来越远。
当问题的精确度要求一定时，可舍去远处不足以影响精度的像电荷，达到满足问題要求的近似解。
1-34静电场中储存的能量町从哪几个方面来计算■它们各适用于什么情况？
是否因为W'c=^€E?
枚当电容器中介电當数£增加后，电场能量曲培加？
答叽詁恥=+><罢，适用于计算电容器的储能。
叭=寺j「V卜$。
甲dS
适用于空间中有有限体电荷和面电荷分布情况下的计算，其中积分域v,S是电荷分布的区域。
We二#
适用于点电荷系统或导体系统储能的计算3
1
We=2JVE・Ddv
说明静电能是储存在电场之中，适用于计算区域V内分布已知的情况。
静电能量密度W\=-~eb：
2中，£增人时，由于E的分布也会发生变化，因此电场能星并非一定会增加。
1-2两半径为e和b（a问:
若&固定，要使半径为Q的球面上场强最小,a与b的比值应是多少？
解由髙斯定律，容易求得同心球面间任一r处的电场强度E为
所以
『■叫=一丄］
儿4n£r24k€IaA」
从中解得
半径为a的球面上的场强为
当&和匕）一定时，E（a）瞬a不同而变化•但不是a的单调函数，它存在极值。
为了求出“取什么数值时，E（a）最小，则令
由比可得
2a-b=0
h_
2
即a与b的比值应为0,5。
1-3具有两层同轴介质的圆柱形电容器•内导体的直径为2cm,内层介质的相对介电常数61=3,外层介质的相对介电常数％=2,要便沥层介质中的最大场强相等，并且内层介质所承受的电压和外层介质的相等，问两层介质的厚度各为多少？
解设两层介质的交界面半径为a.外导隹內半径为4且内、外导体表面单位长度上的电荷分别为*匸和-r・则由髙斯定律可求得介质“和介质比中
的电场分别为
P
根据题意，要使两层介质中的相等，由于
PTF=——
」噺_6亦忑农沪，比_4寸沪
u=1.5X10-Jm=1.5cm内、外层介质分别承受的电压为
Ul・（.5x102仏0』"~4-jtsoln1,5XIff2垠据题意，要使两层介质辰受的电压相等，即5二“2,故
产-lnl-5=In.—?
&冗£04恥01.5X10〜
解之得
&=1,96cm
最后•得
介质1的厚度卫一1,0=1.5~1.0=0.5m
介质2的厚度i6*-a-1.96_1.5=0.46cm
1-4用双层电介质制成的同轴电缆如题1-4图所示；介电常数£1=4€0,€2=2切；內、外导体单位长度上所带电荷分别为r和-厂。
（1）
起1-4图
求两种电介质中以Rp&处的电场強度与电通密度；
（2）求两种电介质中的电极化強度；
（3）问何处有极化电荷，并求其密度。
解
（1）应用高斯定律，不难求得电通密度为
[0（~<血）
D冷寿如¥<心
0
电场强度E=卫，故
€
S（2）由。
二引E+P,得两种电介质中的电极化强度为
診（Ri為S（7?
2⑶内、外导体圆柱表面上和两种电介质交界面上有扱化电荷，它们分别是
在厂尺3处：
"产卩・輛）=羔3
在|0=尺2处：
門=Pl'gp斗卩2"（一勺）
1-6有一平行板电容器，两极板距夷为AB=d.中间平行地放入两块薄金属片CQ,且AC=CD=DB=^d/3（见题1-6图），如将两板充电到电压U（>后，拆去电源，问：
（1）AC.CD,BC间电用各为多少？
C,D片上有无电荷？
AC,CI）tDB间电场強度各为多少？
（2）若将CJ）两片用导线联结，再断开，重答
（1）问；
（3）若充电前先联结C,f）,然后依次拆去电源和0,0的联结线，再答（丄）问；
（4）若继（2｝之后，又将两板用导线短接，再断开，重新回答（Q问。
解忽略边缘效应，作为均匀帯电的无限大平行板电容器來处理，各区域均为均匀电场，方向垂宜于极板"
題I-6图
Ubc-_（t>CD+[^DB）=~~纟^
⑴充电到电压5后，E]=E2二民,且
Ei手+氏刍+Em哥=5
因此，有
Eid=Uq
所以
E\=E2=E尸弩
^ac=Us二％-Eiy=-y^
各极板上的带电情况如题1-6图（b）所示,有
m=£oE严号^
（2）若将C,D板用导线联结，C,D两板内侧的4刊与-巾将中和，有
Ucd=0和E2=0
这样，C,D板内侧的+刊与-刊将全部中和掉，而其它部分的电荷则由于电场的作用以及电荷守恒（这时电源已拆去）都不变化。
再断开联结线时也不会变化，即有
5c=%=¥
Use-~（C>CD十UiJH）=-律
而A板、B板、C板和D板外侧的电荷也都保持不变。
（3）由于住联结C.D时接有■电源，电源的作用将强迫A,B板间电压Uab像持在U0；C,D板被短接，强迫UCq=O。
显然，E2=0,但同时为了又満足LT/W=L70的条件，必须使*和E3增大，也即相应的电荷密度由5增大到叫
这时，有
E严虽和*
所以
£严3势’圧二。
Unc=_（Ucd+［屉）=_学
C,D板内侧没有电荷分布，血人板，£板，C板和D板外侧的电荷密度都由
（1）问中的刚增大到叫由于电场力的作用，依次拆去电源与C,D间的联线时，情况不再变化。
⑷若在继⑵问之后将短接，III于在⑵的悄况下，1加=号5却,因此人，£两板上的电荷将逬行中和达到UAB=0的强制条件。
而C,D板由于与外界没有导线联接，电荷守恒，各自板上的总电荷保持不变，但会在内、外侧板面间发生电荷转移。
达到Uab=O后，一切电荷的转移将停止•电荷分布如題
1-
6图0）所示。
有
J?
2=_2Ei二-
■
%=C;i®=El卑二导，仏=左2刍=-
Ubc-~（口6+Ujjr）二才
由于电场力的作用,再断开A,B联接线时，情况不变。
1-7半径为b的无限长圆柱中，有体密度为內的电荷，与它偏轴地放有一半径为&的无限长圆柱空洞，两者的轴线距离为/。
求空洞内的电场强度（设在真空中）。
（提示：
可应用叠加原理）
题1-7图
解空湄可看成是密度为久（见题1-7图（b））和-內（见题1-7图（c））的体电荷分布的叠加，而电场为原来电荷分布与空洞中密度为內的体电荷分布共
|■•♦•同作用产生的场和由空洞中密度为-刊的体电荷分布单独产生的电场叠加而得。
在图〈b）中，空洞部分的电场可选取单位长度的同轴圆柱面作为高斯面，利用高斯定律求得
码二瓷©（0在图（c）中，空洞部分的电场可用类似方法求得
（（0V）
空洞实际的屯场为匕述：
者的叠加
由图可见"一r=de^所以
1-12在离半径为R眞导体球球心为d处｛d>R）有一电荷<7o冋要在球上加多少电荷才能使作用在电荷q上的力为零？
解应屈球面镜像法，在球心处有•一镜像电荷
“R
q=孑？
另在球心与点电荷q的连线上,距球心虹二弓）处有一镜像电荷
a
，-R
q__y
它们对点电荷g舲作用力即为导体球对点电荷q的作用力。
为使作用在点电荷q上的作用力为零，设在球心再加电荷Q.则点电荷7受的吸引力为
P__（Q十]q'q
F_4翻2蔦说汇而
令F=0
解得
一2d2R3-R5
1-15一半径为a的球壳，同心地置于半径为b的球壳内，外壳接地。
一
升级会员 