∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.
又t＝时，v＝30，
故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.
故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．
点评 解三角形中的实际问题四步骤
（1）分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
（3）将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；
（4）检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
变式训练2 为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
答案 10
解析 由题意可得，∠BCD＝90°＋15°＝105°，CD＝10，∠BDC＝45°，∴∠CBD＝30°.在△BCD中，由正弦定理，
得＝，解得BC＝10米，
∴在Rt△ABC中，塔AB的高是10米．
题型三 解三角形与其他知识的交汇
例3 （2016·奉贤区高三上学期期末）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，A·A＝3.
（1）求△ABC的面积；
（2）求a的最小值．
解
（1）因为cos＝，
所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝，
又因为A·A＝3，
得bccosA＝3⇒bc＝5⇒S△ABC＝bcsinA＝2.
（2）∵bc＝5，
∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2×5×，
∴a2＝b2＋c2－6，
∴a2＝b2＋c2－6⇒b2＋c2＝6＋a2≥2bc＝10.
∴amin＝2.
当且仅当b＝c＝时，a有最小值2.
点评 解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键．
变式训练3 （2015·陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝（a，b）与n＝（cosA，sinB）平行．
（1）求A；
（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
解
（1）因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，
由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，
又sinB≠0，从而tanA＝.
由于0＜A＜π，所以A＝.
（2）方法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
而由a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.
方法二 由正弦定理，得＝，
从而sinB＝.
又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝，
故sinC＝sin（A＋B）＝sin
＝sinBcos＋cosBsin＝.
所以△ABC的面积为S＝absinC＝.
高考题型精练
1．（2015·北京改编）在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则等于（ ）
A.B．2
C．1D.
答案 C
解析 由余弦定理，得
cosA＝＝＝，
∴sinA＝，cosC＝＝＝，
∴sinC＝，∴＝＝1.
2．（2015·重庆改编）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c等于（ ）
A．2B．3
C.D．4
答案 D
解析 由3sinA＝2sinB，得3a＝2b，∴b＝a＝×2＝3，在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋32－2×2×3×＝16，解得c＝4.
3．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 因为a2＜b2＋c2，
所以cosA＝＞0，所以A为锐角，
又因为a＞b＞c，所以A为最大角，
所以角A的取值范围是.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB＜csinC，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
答案 C
解析 根据正弦定理可得a2＋b2＜c2.
由余弦定理得cosC＝＜0，
故C是钝角．
5．在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A.B.
C.D．3
答案 B
解析 设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵·＝|－|＝3，
又cosA＝≥1－＝1－，
∴cosA≥，∴0＜sinA≤，
∴△ABC的面积S＝bcsinA＝tanA≤×
＝，
故△ABC面积的最大值为.
6．已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A－cos2A＝，则下列各式正确的是（ ）
A．b＋c＝2aB．b＋c＜2a
C．b＋c≤2aD．b＋c≥2a
答案 C
解析 ∵sin2A－cos2A＝，
∴cos2A＝－.
∵0＜A＜，∴0＜2A＜π，
∴2A＝，∴A＝.
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc≥（b＋c）2－（b＋c）2＝，
∴4a2≥（b＋c）2，∴2a≥b＋c.
7．（2016·课标全国甲）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.
答案
解析 在△ABC中由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosA·sinC＝，由正弦定理得b＝＝.
8．（2015·重庆）在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
答案
解析 在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，
解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，
从而∠BAD＝15°＝∠DAC，
所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos30°＝.
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．
答案 －
解析 由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，
即b＝c.又b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c.
由余弦定理得cosA＝＝
＝＝－.
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则b2＋c2的取值范围为________．
答案 （3,6]
解析 由正弦定理，得＝＝＝2，
b＝2sinB，c＝2sinC，
所以b2＋c2＝4（sin2B＋sin2C）
＝2（1－cos2B＋1－cos2C）
＝4－2cos2B－2cos2（－B）
＝4＋sin2B－cos2B
＝4＋2sin（2B－）．
又0＜B＜，
所以－＜2B－＜，所以－1＜2sin（2B－）≤2.
所以3＜b2＋c2≤6.
11．（2016·山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA＋tanB）＝＋.
（1）证明：
a＋b＝2c；
（2）求cosC的最小值．
（1）证明 由题意知，
2＝＋.
化简得2（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinA＋sinB，
即2sin（A＋B）＝sinA＋sinB，因为A＋B＋C＝π，
所以sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，
从而sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理得a＋b＝2c.
（2）解 由
（1）知c＝，所以cosC＝＝＝－≥，当且仅当a＝b时，等号成立，故cosC的最小值为.
12．（2016·四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
（1）证明：
sinAsinB＝sinC；
（2）若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.
（1）证明 根据正弦定理，可设
＝＝＝k（k>0），
则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin（A＋B）．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
有sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC.
所以sinAsinB＝sinC.
（2）解 由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cosA＝＝.
所以sinA＝＝.
由
（1），知sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，
所以sinB＝cosB＋sinB，
故tanB＝＝4.
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