数学解题省时省力的解决方案永远先吃大苹果.docx
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数学解题省时省力的解决方案永远先吃大苹果
数学解题省时省力的解决方案永远先吃“大苹果”!
从有人类开始,人们总是不遗余力地研究省时省力。
从石器的产生到铁器的发现,从劳动工具的发明生产流水线的出现,处处都是人类提升劳动效率的成果。
伟大的改革家邓小平先生,在推动我国的四个现代化建设的时候说过一句话,科学是第一生产力。
他找到了推动中国经济发展的最省力的方法。
一、数学的解题研究源远流长
在数学学习上,人类也不例外,不断研究省时省力的办法。
例如,我们小学时学习了加法后,发现相同的几个数的加法是有规律的,用乘法表示加法这样的加法,节约了时间,提高了运算速度。
现在我们学习、生活中,用前人的总结的智慧代替了自己的体力劳动,达到了省时省力的目的。
人们也不遗余力研究在相同的能力、相同的条件下,如何优化组合,提升速度,如何布局提高胜算,以弱胜强,获取最大的效益。
最典型的例子是“田忌赛马”的例子。
数学解题中,我们更要研究如何在相同的条件下,如何学习,学习什么效益最大。
我们经常说一些学生有悟,说的就是他自己发现了省时省力的方法,并将之用于学习、工作及生活中。
二、数学解题的省时省力源自于谋略
虽然省时省力,但数学解题还是要出力的,省的不过是不应该出的力而矣,如立体几何,用笛卡尔几何方法,将空间关系转为坐标省去背诵定理,省去繁锁的推理步骤,省下了记忆定理与应用定理的时间。
我们将要学习的定式省下的力是可以用策略代替的运算矣,如推理解析几何的存在性问题时,如采用合理回避分类的方法,省下了不少书面表达的时间,略去了可以不展示的计算,计算错误自然就减少了。
三、数学解题的省时省力源自于教师的开导点拨
运算前如何知道什么力可省?
什么力要竭尽全力?
这一些要靠导,要用老师的体力劳动换取学生的智力活动空间与时间,换取学生的省时省力。
故有一个说法,高考复习的第二阶段考老师的水平,说的就是这一个道理!
好的老师会百计千方,用自己的心血研究省时省力的方法,然后呕心沥血传授给学生。
老师通过传授如何发现问题,探究问题,解决问题,发现规律,并用于课堂教学中,教会学生学会总结反思,达到举一反三,省时省力的效果。
我们也许注意到,在高中的教学实践与研究中,发现这样一个现象,文科类科目的考试如下军棋,主要靠学生的平时积累的素材及预案,并在高考时利用自己的智慧将平时的素材与考试的材料相整合,拿出一个方案。
也就是说,文科的功夫是靠平时的实力多一些。
实力就是实力,考试现场有力可以借,但不是决定的高分的因素。
理科就不一样了,理科如下中国象棋,现场材料相当完善。
特别是数学科,考场上的材料是可以看得见、摸得着的,完全足够应对题目的解题需要。
数学科考试有如下棋对弈,同样的兵力,在不同的人的操盘下,完全是不同的结果。
高手总是成功复制成功,任何场合都能够过五关斩六将,为什么会出现这样的情况呢?
四、从中国象棋对弈中寻找棋高一着的原理
我们先看中国象棋对弈吧,看看对我们研究如何省时省力解题有什么指导意义。
我们都知道,中国象棋胜负取决于三个方面:
第一是力,也就是实力,也就是相对对手自己拥有的兵力。
如比对手多一个车,多一匹马。
你在实力上占有优势。
对战局的发展有纵深的影响。
对弈时,我们总是想方设法,削尖脑袋,杀伤对手的兵力,保存自己的实力,提高自己兵力优势。
第二是势,就是兵力的位置。
不同的位置,同样的子,效应是不一样的。
如一个马,如果兵力在汉界的位置,进可攻退可守。
这样的子一颗顶两颗用,维护成本低,输送一颗子到前线比输送两颗的时间省,策应与保护所花的力气少,后勤保障与前线待命一气呵成,进攻时没有后顾之忧,防守时与其他子策应得力。
这样的子,与其他子环环相扣,互相借力;这样一着棋威胁对方阵脚,直逼对方将帅,切中要害;这样一着棋,与其他子构成一个进攻的中心。
第三是略,就是战略、谋略。
从整体利益考虑布局,考虑轻重缓急。
在中国象棋中就是子与子的布局的最优化组合与天时、地利、人和的策略。
相同的子,不同的位置组合,进攻与防守的控制区域及将要发生的效果是不一样的。
恰当的时间,恰当的地点,形成车、马、炮的多兵种联合作战,短时间形成局部的实力优势,以迅雷不及掩耳之势,突破对方的防线,海陆空联合绞杀对手,环环相扣,对手防不胜防,对手丢车保不了帅,夺取全局的胜利。
略是一个信息战,是没有动手前,先安插内应,了解对手实力。
在对弈的时候,我们总是在重要的战策位置埋好伏兵,牵制对手,刺探对手的实力。
在实际的对局中,我们知道,就算是相同的子、相似的一着棋,如果有伏兵内应,攻击效果会有翻天覆地的变化。
在中国象棋中如果用马做开路先锋.将马布局在汉界上意味着要三步外进行将军,炮放在士角位,意味着要策应马的进攻,如果马、炮将军得手,下一步出车扩大战果,攻城掠地,杀卒夺马,围城擒王,取得战役性的胜利。
五、棋高一着的规律指导数学解题要有战略的眼光
对弈中的力、势、略类比到高考数学解题中就是解题三个层次。
我们要解好题,必须积累一定的基础、积累一定的力量,也就是掌握与运用数学语言对话,这就是解题中的力。
除此之外,还要有迅雷不及掩耳的速度、居高临下的观看问题的角度、化难为易的中间结论作内应,以降低难度。
借姐妹题、借助已经完成的任务的力量解决新的问题,这就是解题中的三种势。
最理想解题还要有将基础知识、基本方法、基本能力多种技能巧妙组合,形成解题要件,形成中间结论,埋伏于题目之中,减少中间环节,适时适当地、分轻重缓急地运用,对考试的时间分配,解题节点的先后顺序,将考试的训练用训练对弈高手那样的训练,将胜负定于决战之前,做到知己知彼,百战不殆,将隐患消灭在对弈前,将意外预测在开战前,做到有备无患。
这种先制订解题导航图,安插解题接应者,标出解题节点,这种兵马未动,粮草先行,运筹帷幄,决胜千里的能力,这种召之即来,来之能战,战之即胜的谋划,在数学解题中叫做略。
六、数学解题省时省力的具体应用
很多学生考试考不好,一般都认为是计算错误造成的,有些教师不帮学生认真细致分析,以为计算错误是一个筐,失分问题往里装。
我们实战发现,学生考不好有三大原因。
第一个原因是懒,没有好好学习,数学语言不懂,不能用书面的数学语言沟通,根本不知道出题者说什么,更谈不上什么谋略了。
第二大原因是不会优化,不会将有限的时间用在效益最大的问题上,见书就看,见题就做,没有分清先做道哪一题收效最大,好比象棋对弈的新手,总是埋头斩对手的兵卒一样,即使你全部消灭了对手的兵卒,但对战局有什么影响呢。
第三大原因是没有谋略、没有悟性。
谋略就是做好计划、将问题消灭在考试外,知己知彼、兵马未动粮草先行。
有悟性就是在相同的时间内,创造条件先做效益最大的事。
差的学生,学习时,没有理想、没有追求,不会主动发现问题、不能发现数学题内在规律。
优秀的学生能够预测到出题者想考什么,考题的内部联系与规律,考前已经在实力、速度、解题的导航图、解题的切入规律、计算的接应点有了充分的准备,在考试前在试卷内布置了中间结论接应,能够结合学科的规律,恰当表达、踩点得分。
不过做了一些准备,解题便会如鱼得水,万事俱备,只待题目出现。
经过多年的高考指导,我们研究了优秀学生的解题方法,提炼出规律,以数学解题定式的形式给大家展示。
定式来源于教学实战,展示优秀生如何省时省力学好数学考好数学的规律,形成六种大题的解题定式,供其他学生参考,抛砖引玉,引导学生如何发现规律,总结与利用规律,达到省时省力考好高考的目的。
也供教师参考,研究数学的教法与学法,共同推进省时省力学好数学考好数学。
定式是数学解题省时省力的简单可行易操作不需要基础的优秀方法。
七、什么是数学解题定式?
数学解题定式,源自象棋的定势。
所谓定式,就是最大利益的一着棋或前呼后拥的利益最大的几着棋。
抓住了这着棋,就能破题。
定式,就是规律。
如求数列求和,有很多方法。
但转化来转化去,核心是求通项公式,有了通项公式,就可以对号入座了!
我们归纳出这样一句话“求和一定要求通项,且一定要求通项”。
这样一句话起着切入、导出的承上启下作用。
定式,不是死套公式,而是给你一些思维的方向。
这一些方向,不能处理100%的问题,但能高效处理绝大部分的问题。
定式,要么起着承前启后的作用,要么高屋建瓴地统揽全局,要么起着桥梁通道的作用,将万仞高峰分解为台阶,降低难度,要么起着航标的作用,成为的驿站,让我们中转,让我们少走冤枉路,提高效率,实现省时省力。
在对弈中,我们自觉不自觉地借鉴前人的经验,提高自己的胜算。
这一些经验,就是下棋的定式。
我们知道,中国象棋有开局定式,有夺帅定式,有残局定式。
开局定式中,先挂象的屏风炮定式,说明先手开局者预测到对手较强,用了进可攻,退可守的定式。
如果先跳马,说明先手开局者预测自己在实力上占了上风,计划尽快将马跳到河头,加快进攻节凑,以迅雷不及掩耳之势,攻下对方城池,掠夺对手的兵卒,在短时间内确立优势。
这些经过千锤百炼的开局,经过实战检验,虽不能马上决定胜负,但对整个战局发展的影响深远的,对提高胜算、省时省力,我们称为象棋定式。
类似的其他对抗性运动中也有典型定式,如围棋,还有赛马。
最典型的就是“田忌赛马”的故事了!
用局部的损失换来全局的胜利。
这是典型有舍车保帅定式。
八、数学解题定式在哪儿寻找?
数学如果有如此定式多好哦。
数学早有这样的定式了,只不过我们不叫定式而矣。
如我们初中学习数学的定理,就是证明很多题目的最省时省力的办法。
定理是一个解题的枢纽,这边进去的是条件,那边出去的就是结论了;定理是一个航标,只要我们航标,就不会迷失航向;定理是梯子,将万丈高峰化为可以碎步攀登的台阶。
在高中,这样的定理减少了,因为高考要考查综合性强,且对学生的能力要求强了,教科书经我们同学留下了自由探索的空间,要求学生自己归纳总结,轻易不给定理。
就算给,也仅给最基本的性质、定义,对环环相扣的高考题来说一个定理一个性质也仅是杯水车薪、鞭长莫及。
如高三数学给出一个最大值最小值定理,学生们都知道高考的函数大题必用到最大值最小值定理,但要将高考题化归为最大最小值定理,要过五关斩六将。
在高考的短短2小时时间内,要过五关斩六将谈何容易?
这就需要我们探索解题规律,形成知识模块了!
对可能在短时间内促成高考的完美解决。
这一些规律与模块,有些帮我们总结题型,有一些点拨我们如何切入,有些作为内应,引导方向,让我们迷途知返。
这些解题构件我们称之为数学解题定式。
所谓数学解题定式,就是定理或定理的延伸,就是解题小结论,就是解题的常用模块。
定式就是解题的构件,大的一下子搭出解题的框架,小的细致到刻画出局部计算。
定式就是解题的必经路径,定式就是解题的大方向、导航仪。
定式如架在大河河心的桥桩,将插翅难飞的江河变成坦途,让我们一步一步轻松下脚,沿着桥桩完成错综复杂的渡河任务。
定式如城市交通的导航仪,你只要输入起点,输入终点,定式就能自动演示解题的全局,展示左转弯、右转弯……,带领你自动走完解题的驿站,完成解题的任务。
定式使我们迷途知返,减少无为的计算,定式让我们高瞻远瞩,洞穿题目的灵魂,知晓出题者设置的关卡陷阱。
定式又像一个个航标,只要你经过这一航标,就会轻松分段完成航程,不会迷失航向,不会走冤枉路,就算我们遇到计算困难、推理的迷途,也坚信走下去必会成功,提升完成任务的信心,定式能让我们合理回避计算、合理回避分类,设而不求,减少计算,提高准确率。
定式决胜千里,让我们提前将解题的计算隐患消灭。
最好的定式,源自教师的归纳,好的定式是解题的手筋,在多年的数学教学研究中,我们领悟了数学备考的三个层次力、势、略之后,收集整理成功的学生的作业、考试、总结,归纳出提高解题胜算的关键模块、方法与谋略。
在我们的指导下,学生总结出了:
函数题解题定式、解析几何题解题定式、数列题解题定式、概率题解题定式、立几题解题定式、三角题解题定式。
每一种定式从全局、局部、细节等多方位给解题者灵感与导向。
九、如何总结好与用好解题定式
学习数学解题定式、总结数学解题定式、使用数学解题定式要有三种谋略:
力、势、略。
有了这三个层次谋略,思考数学问题就能把握好时机、预测到出题者考什么,自然能够快速读懂题意,快速进入出题的频道,用出题者的角度解题,自然事半功倍。
什么是力?
如何积蓄力呢?
又如何用好力呢?
学生原有的基础、新增加的知识碎片、新增加的知识模块。
力是量变的积累,是所有提高效率的起点。
有句成语叫做温故而知新,其中的“故”就是力的主要部分。
以“故”为基础,滚雪球式的学习,这样的效率比每一次都从零开始效率要高得多。
有一个教学理论认为,人的任何的新的知识,都是从已经有的认知的基础上发展的,叫做最邻近发展区理论。
很显然,学习基础好的人,起点高一些,滚雪球的效应更大一些,这种人的学习是快热型的。
因此,学好数学的策略是听好课,耳朵是人学习的只要渠道。
不是有一句话多,问得渠水清如许,唯有源头活水来。
不听课的学生,力没有,谈不上其他策略了。
什么是势?
怎么样积累势?
如何用好势呢?
势,分三种:
借力、迅速、居高临下。
第一种势是借势的势,也叫借力。
就是利用已经完成的任务为基础,跳一下,就摸到了新的高度。
这与“力”的温故而知新而知新相似,但这一个势是现场生成,现场生成现场使用,这与“仗势欺人”的势相近,借现场生成的材料或成果,稍作提升就是新的成果,在数学中叫做“姐妹题”。
如,数列大题如果第一步已经求出通项,第二步再求Sn,以第一步为基础出发。
还有数学函数题中,如第一步求y=f(x)x∈(-10,0)单调递减,在(0,10)上单调递增,第二步在(-1,1)上的单调性就直接可以用了。
第二势是迅雷不及掩耳之势,指的是速度迅猛。
指的是切入准确,直击要害,对症下药,在数学中叫做熟能生巧。
如,函数大题中如果要判定导函数的正负号,而导函数为分式形式,导函数分母已经是正的,“弃”分母,仅讨论分子,减少计算,提高准确率,达到提升速度的目的。
第三就是居高临下之势,指是的解题者统揽全局,高瞻远瞩,运筹帷幄,把握了一类题或几类题的解题大方向,相当于掌握了一个解题的导航图。
高度浓缩与概括地准确说出解题的大方向。
如:
解析几何题,不论考四种问法的哪一种问法,核心都是求一个函数解析式。
且求解析式从“恒成立”切入,按用点差法、焦点梯形、韦达定理接应的顺序轻重缓急的消参,比乱撞乱冲、毫无章法的成功率高得多。
什么是略?
如何让自己有谋略?
如何用谋略解数学题呢?
略就是谋略,就是战略。
略在具体操作表现为:
学生产生了内在需求,定下一个目标,然后推算要取得胜利,要什么实力,要这些实力要怎么准备,准备好了这一些东西后如何一个一个训练,如何合练,如何实战演练,如何统揽全局,如何置之死地而后生,如何轻重缓急地将已经准备的定式一一有序用上,如何应对意料之外等。
略是学习数学的最高成果,在高中学习数学的要求要,要培养学生的发现问题、探究问题、解决问题、提炼规律、利用规律解决问题的能力。
要有谋略,具体操作上,先要研究力,如何巧妙省力使自己尽快积累第一桶金。
然后如何提炼规律,提高自己的势,减少不必要的计算,提高解题效率。
在数学解题中,“略”包括为什么要考试,考试有什么目标,为了完成目标考前要做哪一些准备,如何准备,准备什么?
如果时间紧迫,先做什么后做什么?
如何提高速度,如何化繁为简,如何扬长避短,举一反三,降低难题,通性通法。
具体研究下面的规律,某一类题有哪一些呈现的形式,有多少种问法,解题的大方向是什么,如何切入,如何用中间结论接应,中间结论是哪一些,先用哪一个后用哪一个,如何合理回避计算提高计算准确率、如何分类如何合理回避分类扩大战果?
如果把握火候、如何把握轻重缓急、如何根据学科特点板书踩点得分,达到完美收官。
考前如何通过反复研究,对已经有的方案进行熟练、优化,将可能出现的隐患预测到,如何应对意料之外,如何及时印证与评估效果及学科时纠正航向,预测可能的计算纠结处,预测到扣分处。
如何轻重缓急协同处理好上述工作,如果临场应变,进行最优化决策。
每类题,经过一次次推敲,磨掉层层隐患,到临考了,还有隐患,但已经足够小,不会影响我们取得好成绩。
我们经常说把书读薄,怎么操作,提升我们的解题的谋略的过程就是将书读薄的过程。
将书读薄了,自己出现“一句话一类题”的效率。
用之于实现解题,让自己解题自由,是水到渠成的事。
十、如何协调好力、势、略为省时省力解题服务?
我们的研究力的目的是积累概念、定理及多条件时使用条件的使用的轻重缓急的经验,为读懂题目做好准备、弄清题意做准备。
在具体操作上,我们研究题目的答案,进行刨根问底,查清为什么读不懂题目,查清自己缺少什么定义定理。
力的积累最好的方法是兼听则明,多听听老师讲,多看他人的解答,尝试模仿解题。
力和积累为了达成势的飞跃。
我们研究势是为了将力摆放在效益最大结点,提高效率,省时省力,省下的时间用于积累更多的力。
势就是提炼出一般规律,提炼出答题要用的节点及结点,提出可以举一反三的中间结论。
势是为了把书读薄,洞穿题海。
势是略的构件。
我们研究略,是为了如何轻重缓急地用不同的势,如果一个题目用有几种不同的势,先用哪一些后用哪一些?
略的一个功能是筹备谋划,“略”预测解题需要哪些势,将决胜点前移到考场外,具体就是预测最可能考的题型,及要准备的策略,提前做好演练,做到万事备,只待高考。
力、势、略的关系是金字塔的关系,底层是力,要用毅力积累,是体力活,略是用智慧提高胜算,势是将力提升为效率的发动机。
力是应变的根基,虽是体力活,万万不可以慌废。
势是花同样的力,但着力点不一样,减少不必要的力,从而提升效率,势不能省必须的力,但可省偏废的力,是智力活,必须研究,省时省力很多方面是靠势的表现。
略是考试的艺术,最大的特点是将决胜点前移。
略是将不同的势按轻重缓急使用、将势的优化组合艺术,略谋划不同的力与势,在天时地利人和时候出现,达到解题整体大效益化。
略是有可能牺牲局部利益,获得全局胜利的计谋。
十一、实现数学解题省时省力的解决方案
学会永远只吃“大苹果”。
将要完成的任务按效益有高到低排列。
吃了最大的苹果之后,重新排列,如此循环反复。
类比到学习数学解题中,要弄清先学什么效益最大。
寻找可以复制成功的工具。
在数学解题中,就是寻找解题定式,寻找解题的“引申结论”。
要练说,得练看。
看与说是统一的,看不准就难以说得好。
练看,就是训练幼儿的观察能力,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中,积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象的选择,着力于观察过程的指导,着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。
我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。
想清纠结再动手。
有了解题的思路后,不要急于动用计算,先预测会不会是走入了歧途,还有什么陷阱,还有哪一些表达上要推敲的,做到胸有成竹才动用,少了涂涂改改,效率自己提高了!