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乌龟性别与温度的数学模型
Companynumber：
【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
乌龟性别与温度的数学模型
数学建模期末作业
乌龟性别的决定因素问题
（习题10——10）
姓名：
***
专业：
数学与应用数学
年级：
2012级
摘要
本文针对幼龟性别温度关系进行建立模型，在建模时建立温度与雄龟比例的模型，由于雄龟比例只可能在【0,1】之间取值，所以不能建立一般的统计回归模型，所以可以建立Logit模型。
利用MATLAB统计工具箱中的命令glmfit求解。
再求出各个系数估计值后用EXCEL表格进行处理算出每个温度下雄龟比例的估计值，对模型进行验证，为了提高模型的拟合效果可以在Logit模型中添加t的高次方，并用利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解,求出各个系数估计值，置信区间和模型相关系数。
为了能直观的比较模型拟合效果可以利用MATLAB中的plot工具会出（t,logit）的散点图，并用利用Tools下BasicFitting工具找出一条拟合效果最好的曲线，并得出其对应的系数。
最后可以通过logit基本模型得出当温度为度幼龟比例为1:
1，而且温度每增加一度雄龟与雌龟比例扩大倍。
关键词：
logit模型，置信区间，相关系数
一、问题提出
人类的性别是由基因决定的，乌龟的性别主要有什么因素决定的呢科学研究表明，决定幼龟性别的最关键的因素是乌龟孵化时的温度。
为了研究温度是如何影响幼龟的雌雄比例，美国科学家对某一类乌龟的孵化过程做了实验，试验在五个不同恒定温度下进行，每个温度下分别观察3批乌龟蛋的孵化过程，得到的数据如下：
温度
乌龟蛋个数
雄龟个数
雌龟个数
雄龟比例
10
1
9
10%
8
0
8
0%
9
1
8
%
10
7
3
70%
6
4
2
%
8
6
2
75%
13
13
0
100%
9
6
3
%
8
7
1
%
10
7
3
70%
8
5
3
%
9
7
2
%
11
10
1
%
8
8
0
100%
9
9
0
100%
二、基本假设
假设1；幼龟性别只与温度有关
三、符号说明
符号
意义
单位
备注
t
乌龟孵化时的温度
℃
P（x）
雄龟比例
S
乌龟蛋总数
个
X
雄龟个数
个
C
雌龟个数
个
四、问题分析
在本题由于是求温度与性别比例的模型，在数据表中每个温度都记录了三批乌龟，所以首先要对数据进行处理，利用excel算出每个温度对应下乌龟的总数，雄龟总个数，雌龟总个数和雄龟比例。
温度
乌龟蛋个数
雄龟个数
雌龟个数
雄龟比例
27
2
25
%
24
17
7
%
30
26
4
%
27
19
8
%
28
27
1
%
为了使得运算更简单可以把温度进行预处理，把看成0，以此类推可得
温度
乌龟蛋个数
雄龟个数
雌龟个数
雄龟比例
0
27
2
25
%
24
17
7
%
30
26
4
%
27
19
8
%
28
27
1
%
为了更直观观察其回归关系，利用MATLAB绘制出散点图。
从图中可以看出回归曲线是一条近于3次样条的多项式回归曲线，其回归模型为
（1）
然而在这个问题中
（1）是回归方程中P（x）的取值不一定在[0,1]中，即使P（x）取值在[0,1]中，有意在给定t是，误差项
也只能取0,1两个值，显然不具有正态性，而且
的方差依赖于与t，具有异方差性，这些都违反了普通回归分析的前提条件，因此，该题不能用用普通回归分析。
由于P（x）在[0,1]之间取值，可以使用Logit模型。
五、模型的建立与求解
模型的建立
模型的求解
Logit模型是一种广义线性模型，可利用MATLAB统计工具箱总的命令glmfit求解。
参数
参数估计值
标准差
B0
-101783
B1
所以估计值为
即
所以当幼龟比例为1:
1时计算出温度为度
令odd（t）为雄龟与雌龟比例，故有
当温度增加1度时odd比为
于是
由于b1=,所以温度每增加一度时雄龟与雌龟比例增加到原来的倍
结果的分析及验证
对模型各个温度进行验证
温度
乌龟蛋个数
雄龟个数
雌龟个数
雄龟比例
雄龟估计值
0
27
2
25
%
24
17
7
%
30
26
4
%
27
19
8
%
28
27
1
%
模型改进
从以上结果可知拟合偏差太大，不适合于做为最终结果。
由于模型的右端是温度t的线性函数，可以考虑加入t的二次项后，看是否能提高模型的拟合程度。
即考虑模型为
执行以下程序
>>[b2,dev2]=glmfit（[tt.^2],[xs],'binomial','logit'）;
b2,pval=1-chi2cdf（dev-dev2,1）
b2=
pval=
计算出b0,b1,b2的估计值为、、
所以模型为
温度
乌龟蛋个数
雄龟个数
雌龟个数
雄龟比例
雄龟估计值
0
27
2
25
%
24
17
7
%
30
26
4
%
27
19
8
%
28
27
1
%
由以上表可知拟合偏差减小，由此可知，加入高次方后可以提高拟合偏差，所以为了进一步提高拟合效果，可以先计算出logit对应的值并画出并绘出（t,logit）的散点图
温度
乌龟蛋个数
雄龟个数
雌龟个数
雄龟比例
Logit（t）
0
27
2
25
%
24
17
7
%
30
26
4
%
27
19
8
%
28
27
1
%
再利用Tools下BasicFitting工具找出一条拟合效果最好的曲线，并得出其对应的系数
可知模型为
个系数为
所以模型为
当所以幼龟比例为1:
1时P（x）=.所以logit=0;即
可以得出当温度为27.、和时幼龟比例为1:
1；
再次各个数据进行验证可得
温度
乌龟蛋个数
雄龟个数
雌龟个数
雄龟比例
雄龟估计值
0
27
2
25
%
24
17
7
%
30
26
4
%
27
19
8
%
28
27
1
%
由以上结果可以看出拟合程度很好。
在用MATLAB统计工具中的命令regress求解得知相关系数R为1；拟合效果很好。
六、参考文献
数学模型第四版高等教育出版社
七、附录
模型1求解程序
>>t=[0]';
>>x=[217261927]';
>>s=[2724302728]';
>>proport=x./s;
>>[b,dev,stats]=glmfit（t,[xs],'binomial','logit'）;
>>logitfit=glmval（b,t,'logit'）;
>>plot（t,proport,'o',t,logitfit,'r-'）;
>>xlabel（'t'）;ylabel（'proportionofx'）
>>b,bi=,dev
b=
bi=
dev=
模型1验证程序
>>x=[01;1;1;1;1]
x=
0
alpha=;
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x,alpha）
b=
bint=
r=
rint=
stats=
模型2的验证程序
x=[001;^21;^21;^21;^21]
x=
00
alpha=;
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x,alpha）
b=
bint=
r=
rint=
stats=
绘制（t,P（x））散点图程序
>>t=[0];
p=[];
>>plot（t,p,'r*'）
绘制（t,logit）散点图程序
>>t=[0];
>>plot（t,p,'r*'）
用第三模型计算幼龟比例为1:
1时温度程序
>>y=[0]
y=
0
>>roots（y）
ans=
+
-
vpa（roots（y）,8）
ans=
第三模型各个温度对应雄龟比例结果验证程序
>>Y=@（t）+*t+*t^*t^4+*t^5
Y=
@（t）+*t+*t^*t^4+*t^5
>>f=@（t）exp（Y（t））/（1+exp（Y（t）））
f=
@（t）exp（Y（t））/（1+exp（Y（t）））
>>f（0）
ans=
>>f
ans=
>>f
ans=
>>f
ans=
>>f
ans=
用regress验证模型程序
x=[000001;^5^4^3^21;^5^4^3^21;^5^4^3^21;^5^4^3^21]
x=
00000
alpha=;
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x,alpha）
Warning:
Xisrankdeficienttowithinmachineprecision.
>Inregressat82
b=
0
bint=
NaNNaN
NaNNaN
NaNNaN
00
NaNNaN
NaNNaN
r=
*
rint=
NaNNaN
NaNNaN
NaNNaN
NaNNaN
NaNNaN
stats=
1NaNNaNNaN
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