高中数学人教版选修21常用逻辑用语检测试题.docx
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高中数学人教版选修21常用逻辑用语检测试题
（第一章 常用逻辑用语）
时间：
120分钟 满分：
150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是（ ）
A．若x≠3，则x2－2x－3≠0B．若x＝3，则x2－2x－3≠0
C．若x2－2x－3≠0，则x≠3D．若x2－2x－3≠0，则x＝3
2．“lgx＞lgy”是“
＞
”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是（ ）
A．若m⊥α，n∥α则m⊥n
B．若α⊥平面γ，β⊥平面γ，α∩β＝l，则l⊥平面γ
C．若m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β
D．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
4．“0＜x＜1”是“log2（x＋1）＜1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．命题p：
若ω＝2，则函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为π.命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．已知命题p：
∃x0∈R，x0－2>lnx0；命题q：
∀x∈R，x2>0，则（ ）
A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∨（¬q）是假命题D．命题p∧（¬q）是真命题
7．命题“∀x∈[1，2]，2x2－a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≤1B．a≤2
C．a≤3D．a≤4
8．若“
<0”是“|x－a|<2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3]B．[1，3]C．（－1，3]D．[－1，3]
9．下列命题的说法中错误的是（ ）
A．对于命题p：
∀x∈R，x2＋x＋1＞0，则¬p：
∃x0∈R，x
＋x0＋1≤0
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．“ac2＜bc2”是“a＜b“的必要不充分条件
D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．p：
a＋c>b＋d，q：
a>b，且c>d
B．p：
a>1，b>1，q：
f（x）＝ax－b（a>0，且a≠1）的图象不过第二象限
C．p：
x＝1，q：
x2＝x
D．p：
a>1，q：
f（x）＝logax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上为增函数
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a>0，b>0”是“
＋
≥2”的充要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”
D．命题p：
∃x0∈R，使得x
＋x0－1<0，则¬p：
∀x∈R，使得x2＋x－1≥0
12．以下判断正确的是（ ）
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x
>x0”
C．“a＝1”是“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f（x）＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题p：
常数列是等差数列，则¬p为____________．
14．若“∀x∈
，m≥2tanx”是真命题，则实数m的最小值为________．
15．下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；
③“x>2”是“
<
”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．
其中说法不正确的序号有________．
16．在下列四个结论中，正确的有________．（填序号）
①若A是B的必要不充分条件，则¬B也是¬A的必要不充分条件；
②“
”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；
④“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）下面有五个命题，判断它们的真假．
（1）函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
（2）终边在y轴上的角的集合是{α|α＝
，k∈Z}；
（3）在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
（4）把函数y＝3sin
的图象向右平移
，得到y＝3sin2x的图象；
（5）函数y＝sin
在[0，π]上是减函数．
18．（12分）
（1）设集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，集合B＝{x|2＜x≤5}，求A∩B；
（2）命题p：
∃x∈R，x2－4mx＋3－m≤0，若命题¬p为真命题，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝x2－2ax＋1，若使得f（x）没有零点的a的取值范围为集合A，使得f（x）在（m，m＋3）上不是单调函数的a的取值范围为集合B.
（1）求A，B；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求m的取值范围．
20．（12分）已知m∈R，设p：
∀x∈[－1，1]，x2－2x－4m2＋8m－2≥0成立；q：
∃x0∈[1，2]，log
（x
－mx0＋1）<－1成立．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．
21．（12分）老师上课时在黑板上写出了三个集合：
A＝
，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C＝{x|log
x>1}，然后叫小明、小红、小强三位同学到讲台上，并将“
”的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是他们三人的描述：
小明：
此数为小于6的正整数；
小红：
“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件；
小强：
“x∈A”是“x∈C”的必要而不充分条件．
若老师说三位同学说的都对，你能确定“
”中的数吗？
22．（12分）命题p：
不等式x2－（a＋1）x＋1＞0的解集是R.命题q：
不等式a＞
在x∈（1，＋∞）内恒成立，若p和q一真一假，求实数a的取值范围．
（第一章 常用逻辑用语）
时间：
120分钟 满分：
150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是（ ）
A．若x≠3，则x2－2x－3≠0
B．若x＝3，则x2－2x－3≠0
C．若x2－2x－3≠0，则x≠3
D．若x2－2x－3≠0，则x＝3
答案：
C
2．“lgx＞lgy”是“
＞
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
lgx＞lgy⇒x＞y＞0⇒
＞
，充分性成立，
＞
⇒x＞y≥0，y＝0时lgy无意义，lgx＞lgy不成立，必要性不成立，因此应是充分不必要条件．
答案：
A
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是（ ）
A．若m⊥α，n∥α则m⊥n
B．若α⊥平面γ，β⊥平面γ，α∩β＝l，则l⊥平面γ
C．若m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β
D．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
解析：
由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A中，若m⊥α，n∥α，则由线面平行的性质得m⊥n，故正确；
在B中，若α⊥平面γ，β⊥平面γ，α∩β＝l，则由线面垂直的判定知l⊥平面γ，故正确；
在C中，若m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故正确；
在D中，若α⊥β，a⊂α，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得a∥β或a⊥β，故不正确．
答案：
D
4．“0＜x＜1”是“log2（x＋1）＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
因为log2（x＋1）＜1⇔－1＜x＜1，
所以（0，1）（－1，1），
所以“0＜x＜1”是“log2（x＋1）＜1”的充分不必要条件．
答案：
A
5．命题p：
若ω＝2，则函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为π.命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，正确的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
命题p是真命题，则它的逆否命题是真命题．命题p的逆命题：
“若f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为π，则ω＝2”是假命题，故它的否命题也是假命题．
答案：
B
6．已知命题p：
∃x0∈R，x0－2>lnx0；命题q：
∀x∈R，x2>0，则（ ）
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∨（¬q）是假命题
D．命题p∧（¬q）是真命题
解析：
当x＝3时，x－2>lnx成立，∴p是真命题．当x＝0时，x2＝0，∴q是假命题，¬q是真命题，∴p∧（¬q）是真命题．
答案：
D
7．命题“∀x∈[1，2]，2x2－a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≤1B．a≤2
C．a≤3D．a≤4
解析：
若“∀x∈[1，2]，2x2－a≥0”为真命题，可得2x2≥a，x∈[1，2]恒成立，
只需a≤（2x2）min＝2，
所以a≤1时，“∀x∈[1，2]，2x2－a≥0”为真命题，
“∀x∈[1，2]，2x2－a≥0”为真命题时推出a≤2，
故a≤1是命题“∀x∈[1，2]，2x2－a≥0”为真命题的一个充分不必要条件．
答案：
A
8．若“
<0”是“|x－a|<2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3]B．[1，3]
C．（－1，3]D．[－1，3]
解析：
由
<0，得1由|x－a|<2，得a－2∵“
<0”是“|x－a|<2”的充分不必要条件，
∴
∴1≤a≤3，即实数a的取值范围是[1，3].
答案：
B
9．下列命题的说法中错误的是（ ）
A．对于命题p：
∀x∈R，x2＋x＋1＞0，则¬p：
∃x0∈R，x
＋x0＋1≤0
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．“ac2＜bc2”是“a＜b“的必要不充分条件
D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
解析：
对于命题p：
∀x∈R，x2＋x＋1>0，则¬p：
∃x0∈R，x
＋x0＋1≤0，是真命题；
“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，是真命题；
当c＝0时，ac2＜bc2不成立，是充分不必要条件，是假命题；
命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，是真命题．
答案：
C
10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．p：
a＋c>b＋d，q：
a>b，且c>d
B．p：
a>1，b>1，q：
f（x）＝ax－b（a>0，且a≠1）的图象不过第二象限
C．p：
x＝1，q：
x2＝x
D．p：
a>1，q：
f（x）＝logax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上为增函数
解析：
在A中，a＋c>b＋d
a>b，且c>d，而a>b，且c>d⇒a＋c>b＋d.即p
q，而q⇒p.所以p是q的必要不充分条件．
答案：
A
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a>0，b>0”是“
＋
≥2”的充要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”
D．命题p：
∃x0∈R，使得x
＋x0－1<0，则¬p：
∀x∈R，使得x2＋x－1≥0
解析：
若p∨q为真命题，则p与q中可以一真一假，∴p∧q不一定是真命题，∴A错误；a>0，b>0是
＋
≥2的充分不必要条件，∴B错误；∵x＝1或x＝2的否定应是x≠1且x≠2，∴命题x2－3x＋2＝0的逆否命题为若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0，∴C错误，D正确．
答案：
D
12．以下判断正确的是（ ）
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x
>x0”
C．“a＝1”是“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f（x）＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
解析：
∵“负数的平方是正数”即对∀x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确；∵对全称命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x
≤x0”，∴B不正确；∵f（x）＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有
＝π，∴|a|＝1
a＝1，∴a＝1是“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，∴C不正确；D正确．
答案：
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题p：
常数列是等差数列，则¬p为____________．
答案：
存在一个常数列，它不是等差数列
14．若“∀x∈
，m≥2tanx”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：
∵当x∈
时，tanx∈[0，
]，
∴2tanx∈[0，2
]，∴m的最小值为2
.
答案：
2
15．下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；
③“x>2”是“
<
”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．
其中说法不正确的序号有________．
解析：
原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价，∴①错，④正确；
对于②可判断的它的逆否命题：
若a＝3且b＝3，则a＋b＝6，是真命题，∴②正确．
对于③，
<
⇔
－
<0⇔
<0⇔2x（2－x）<0⇔x（x－2）>0⇔x<0或x>2.
∴x>2是
<
的充分不必要条件，∴③正确．
答案：
①
16．在下列四个结论中，正确的有________．（填序号）
①若A是B的必要不充分条件，则¬B也是¬A的必要不充分条件；
②“
”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；
④“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．
解析：
∵原命题与其逆否命题等价，∴①正确，②正确；∵x＝－1时，有x2＝1.∴③不正确；∵x≠0
x＋|x|>0，如x＝－2时，x＋|x|＝－2＋2＝0.但x＋|x|＞0⇒x>0⇒x≠0.∴④正确．
答案：
①②④
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）下面有五个命题，判断它们的真假．
（1）函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
（2）终边在y轴上的角的集合是{α|α＝
，k∈Z}；
（3）在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
（4）把函数y＝3sin
的图象向右平移
，得到y＝3sin2x的图象；
（5）函数y＝sin
在[0，π]上是减函数．
解：
（1）∵y＝sin4x－cos4x＝－cos2x，T＝π，∴是真命题．
（2）终边在y轴上的角可表示为{α
}，∴是假命题．
（3）∵y＝sinx与y＝x的图象只有一个交点（0，0），
∴是假命题．
（4）∵y＝3sin
的图象向右平移
得到y＝3sin
＝3sin2x的图象，∴是真命题．
（5）y＝sin
＝－sin
＝－cosx，在[0，π]上是增函数，∴是假命题．
18．（12分）
（1）设集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，集合B＝{x|2＜x≤5}，求A∩B；
（2）命题p：
∃x∈R，x2－4mx＋3－m≤0，若命题¬p为真命题，求实数m的取值范围．
解：
（1）x2－5x＋4＜0，解得1＜x＜4，故集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|2＜x≤5}，∴A∩B＝{x|2＜x＜4}．
（2）¬p：
∀x∈R，x2－4mx＋3－m＞0，
要使¬p为真命题，则有Δ＝（－4m）2－4（3－m）＝16m2＋4m－12＜0，
解得m∈
.
19．（12分）已知函数f（x）＝x2－2ax＋1，若使得f（x）没有零点的a的取值范围为集合A，使得f（x）在（m，m＋3）上不是单调函数的a的取值范围为集合B.
（1）求A，B；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求m的取值范围．
解：
（1）若f（x）＝x2－2ax＋1没有零点，则Δ＝4a2－4<0，
∴－1若f（x）在（m，m＋3）上不是单调函数，
则m（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则AB，∴
∴－2≤m≤－1.
故m的取值范围是[－2，－1].
20．（12分）已知m∈R，设p：
∀x∈[－1，1]，x2－2x－4m2＋8m－2≥0成立；q：
∃x0∈[1，2]，log
（x
－mx0＋1）<－1成立．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．
解：
∵x2－2x－4m2＋8m－2≥0，
∴4m2－8m＋2≤x2－2x.
当x∈[－1，1]时，x2－2x∈[－1，3].
∵4m2－8m＋2≤x2－2x对∀x∈[－1，1]恒成立，
∴4m2－8m＋2≤－1，解得
≤m≤
.
∴p为真时，
≤m≤
.
当q为真时，则∃x0∈[1，2]，x
－mx0＋1>2成立，
即m<
成立．
令g（x）＝
＝x0－
，
则g（x）在[1，2]上为增函数，
∴g（x）的最大值为g
（2）＝
，∴m<
.
∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假．
当p真q假时，
∴m＝
；
当p假q真时，
∴m<
.
综上知，实数m的取值范围是{x|x<
或m＝
}．
21．（12分）老师上课时在黑板上写出了三个集合：
A＝
，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C＝{x|log
x>1}，然后叫小明、小红、小强三位同学到讲台上，并将“
”的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是他们三人的描述：
小明：
此数为小于6的正整数；
小红：
“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件；
小强：
“x∈A”是“x∈C”的必要而不充分条件．
若老师说三位同学说的都对，你能确定“
”中的数吗？
解：
设“
”中的数为t，由小明的描述可知，t为小于6的正整数，即t<6且t∈N＋，
则A＝
，B＝{x|－1≤x≤4}，C＝{x0}．
由小红的描述可知，AB，所以
≤4.
由小强的描述可知，CA，所以
<
.
于是可得
解得t＝1.
22．（12分）命题p：
不等式x2－（a＋1）x＋1＞0的解集是R.命题q：
不等式a＞
在x∈（1，＋∞）内恒成立，若p和q一真一假，求实数a的取值范围．
解：
当命题p：
不等式x2－（a＋1）x＋1＞0的解集是R为真命题时，
Δ＝（a＋1）2－4＜0，解不等式得－3＜a＜1.
所以当命题p为真命题时，－3＜a＜1.
命题q：
不等式a＞
在x∈（1，＋∞）内恒成立，
因为
＝－
≤－2，当且仅当x＝2时“＝”成立，
所以命题q为真命题时，a＞－2.
因为p，q一真一假，所以
当p真q假时，－3＜a≤－2，
当p假q真时，a≥1.
综上所述，a∈（－3，－2]∪[1，＋∞）.
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