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一元函数微分学
第2章一元函数微分学
教学耍求
1・知道极限概念数列极限、函数极限、左右极限知道极限存在
的充分必耍条件
2•了解无穷小量概念了解无穷小量与无穷大量的关系知道无穷小量的性
质如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量
3•掌握极限的四则运算法则掌握两个重要极限掌握求极限的一般方法
4•了解函数在一点连续的概念知道左连续和右连续的概念知道函数在一点间断的概念会求函数的间断点
5•理解导数定义会求曲线的切线知道可导与连续的关系
6•熟练掌握导数基木公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则掌握
求简单隐函数的导数
7•了解微分概念会求函数的微分
&知道高阶导数概念会求函数的二阶导数
本章重点极限的计算导数的概念导数、微分的计算
木章难点极限的概念复合函数导数的计算
内容结构课堂教学-经济数学基础
教学设计
3、函数极限二
xfxx01im=A
1当xOx吋有Axf）（记作
一、极限的概念附课件演示极限一教师主页—电大在线
1、数列极限的定义
当n
吋
有Aan
记作n
na
lim=A
2、函数极限
—・
1
当X
吋
有Axf
）（
记作
xfx
lim=A
2
当X
时
有Axf
）（
记作
xfx
lim=A
3
当X
吋
有Axf
）（
记作
xfx
lim二A
xf）（记作xfxxOlim=A
3当xOx
吋有Axf）（记作xfxxOlim二A
注意1当xOx
时极限存在的充要条件是左、右极限相等
即x
fxxOlim二Axfxx01im=xfxxOlim二A
这充要条件常用于讨论分段函数在分段点处的极限
是否存
在例题3另见导学17页跟我练习
2极限存在的两个前提条件①确定自变量的变化过程
②在这一变化过程中函数
值f（x）无限地逼近于一确定的常数A
4、常用的一些基本极限详见导学16页附0
二、无穷小量详见导学17页
1、定义极限为零的量必须注明自变量的变化过程跟我练习
2、性质①有限个无穷小量的代数和、乘积仍是无穷小量
②无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量
3、无穷小量的倒数——无穷大量内容讲解*无穷小量
三、函数的连续与间断
1、定义内容讲解*函数的连续性设函数
xf在点Ox的邻域内有定义若
满足001imx
fxfxx
则称函数
xf在点Ox处连续.点Ox是xf的连续点.
函数f（x）在Ox处连续等价于f（x）在Ox处左、右都连续
2、初等函数在其定义域内都连续其极限值等于函数值即
OOlimx
fxfxx
跟我练习3、分段函数的连续性的判断根据分段点处是否左右都连续例题1例题2跟
我练习
四、求极限的方法
1、极限的四则运算内容讲解*极限的四则运算法则例题1
2、利用连续性求极限）
（limOxfx=f（Ox）例题3
3、
0
0型或
型极限的计算详见导学19页
1
0
0型极限的计算方法用分解因式或分式有理化等方法消去极限为零的因子再取极限例题2例题4
型极限的计算方法分子、分母同吋除以分母的最高次项不包括系数例题3导学练习
4、利用两个重要的极限求极限详见导学20页
⑴X
xxsin
limO
二1（0
0型）可推广成
中心sin
limO
0二1“即三个括号填的代
数式必须一致”例题1
2
xlim1+x
1x二e或Olim
1二e都是1型可推广成
e
中心
11
例题
内容讲
lim或elllim屮心例题2
3
5、课后练习连接网页
五、导数与微分的概念
1、导数的定义内容讲解*引例2内容讲解*引例3
解*引例1
内容讲解*导数定义
函数y二f（x）在点Ox处的导数是函数在点Ox处的变化率数的改变量y
与自变量改变量x的比值的极限x0跟我练习
①用定义计算函数导数的步骤是第一步自变量改变量
②左、右导数左导数
00
Ox+x-Ox时计算函数的改变量y二"0x+x）
-f（Ox）它是x的函数
第二步计算比值X
y
第三步求极限Olim
XX
y
当极限存在时其极限就是导数值0
/X
f当极限
附加导数课件
值不存在吋函数f（x）在点Ox处不可导。
0x
右导数00
/
xf二Olimxx
y
0x
小结导数存在的充要条件是00
00
xf与
xf存在而且相等
利用定义可得一些基本初等函数的导数公式如
/c二0/
X二1
xaaaxxln/如Ixxee/ax
xaln
1
log/如x
x
1
In/
xxcossin/xxsincos/
注用定义求导数的计算比较繁琐一般不要用这种方法求导书只用于推导基
本导数公式或讨论函数特别是分段函数的可导性。
3
跟我练习
可导与连续的关系可导连续见导学22页例5
4导函数定义见课本80页
2、导数的儿何意义
函数y二f（x）在点Ox处的导数0
/x
f等于曲线y二f（x）在点00,yx处的切线的斜率。
切线的斜率k二0
/x
f切线的方程y-Oy二0
/x
fOxx练习导学
39页12、13、14题
3、微分的定义内容讲解*微分定义六、熟记基木初等函数的导数公式按函数类别记忆内容讲解*导
数基本公式另详见课本95页
七、了解弹性函数改变量与自变量改变量比值的极限0
0
OOlim
X
X
y
y
X
xE
课本
85页
八、导数与微分的计算因为用定义求导数的计算比较繁琐、困难所以有必要探索求导的一般方法
1、初等函数的导数
根据初等函数的构成由基本初等函数经过有限次的四则运算或复
合运算构
成知初等函数的的导数主要有导数的四则运算和复合运算法则。
①导数的四则运算法则
U、XV在点X处可导则
XVXU
XVXU
XU在点X处
可导亦可导
vxuxvxu//xvxuxvxuxvxu//
xvcxcv/
//
/x
V
xvxuxvxu
XU
0XV
例题1例题2例题3例题4例题5例题6例题7（方法1）
例题7（方法2）例题8跟我练习
②复合函数的导数
复合函数求导数步骤归纳•分清函数的复合层次找出所有的中间变量
•依照法则由外向内一层层的直至对自
变量求导.例题2例题5例题3例题4跟我练习
2、隐函数的求导
隐函数是一个由二元方程
0,yxF确定的函数其隐含着一个x与y
的函数关系y二y（x）
内容讲解*隐函数求导问题的提出
隐函数求导步骤详见导学
第一步方程
0,yxF两边对X求导这时y的函数
的复合函数利用复合函数求导法则
yyy
第二步解关于/,
yyx的方程求出/y例题6例题7
题8跟我练习
y看成是x
跟我练习2
3、二阶导数一阶导函数的导数跟我练习1跟我练习3九、重点冋顾导学例题、综合练习选评
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