三年高考理科数学高考真题分类汇总解三角形.docx

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三年高考理科数学高考真题分类汇总解三角形

第十二讲解三角形

2019年

1.（2019全国Ⅰ理17）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设

．

（1）求A；

（2）若

，求sinC．

解：

（1）由已知得

，故由正弦定理得

．

由余弦定理得

．

因为

，所以

．

（2）由

（1）知

，由题设及正弦定理得

，

即

，可得

．

由于

，所以

，故

．

2.（2019全国Ⅱ理15）

的内角

的对边分别为

.若

，则

的面积为__________.

解析：

由余弦定理有

，

因为

，

，

，所以

，

所以

，

.

3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知

．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

解析

（1）由题设及正弦定理得

．

因为

，所以

．

由

，可得

，故

．

因为

，故

，因此

．

（2）由题设及

（1）知△ABC的面积

．

由正弦定理得

．

由于

为锐角三角形，故

，

，由

（1）知

，所以

，故

，从而

．

因此，

面积的取值范围是

．

4.（2019江苏12）如图，在

中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点

.若

，则

的值是.

解析设

，

，

所以

，解得

，

所以

，

，

，

因为

，所以

，

所以

，所以

.

5.（2019江苏15）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

（1）若a=3c，b=

，cosB=

，求c的值；

（2）若

，求

的值．

解析

（1）由余弦定理

，得

，即

.

所以

.

（2）因为

，

由正弦定理

，得

，所以

.

从而

，即

，故

.

因为

，所以

，从而

.

因此

.

6.（2019浙江14）在

中，

，

，

，点

在线段

上，若

，则

____，

________.

解析：

在直角三角形ABC中，

，

，

，

，

在

中，

，可得

；

，

，

所以

.

7.（2019北京15）在

中，

，

，

．

（Ⅰ）求b,c的值；

（Ⅱ）求

的值.

解析：

（I）由余弦定理

，得

.

因为

，所以

.解得

，

所以

.

（II）由

得

.由正弦定理得

.

在

中，

是钝角，所以

为锐角.所以

.

所以

.

8.（2019天津理15）在

中，内角

所对的边分别为

.已知

，

.

（Ⅰ）求

的值；

（Ⅱ）求

的值.

解析（Ⅰ）在

中，由正弦定理

，得

，又由

，得

，即

.又因为

，得到

，

.

由余弦定理可得

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

，

从而

，

，

故

.

2017、2018年

一、选择题

1．（2018全国卷Ⅱ）在

中，

，

，

，则

A．

B．

C．

D．

A【解析】因为

，所以由余弦定理，

得

，

所以

，故选A．

2．（2018全国卷Ⅲ）

的内角

，

，

的对边分别为

，

，

，若

的面积为

，则

A．

B．

C．

D．

C【解析】根据题意及三角形的面积公式知

，

所以

，所以在

中，

．故选C．

3．（2017山东）在

中，角

，

，

的对边分别为

，

，

．若

为锐角三角形，且满足

，则下列等式成立的是

A．

B．

C．

D．

A【解析】由

，

得

，

即

，所以

，即

，选A．

二、填空题

1．（2018江苏）在

中，角

所对的边分别为

，

，

的平分线交

于点D，且

，则

的最小值为．

9【解析】因为

，

的平分线交

于点

，

所以

，

由三角形的面积公式可得

，

化简得

，又

，

，所以

，

则

，

当且仅当

时取等号，故

的最小值为9．

2．（2018浙江）在

中，角

，

，

所对的边分别为

，

，

．若

，

，

，则

=___________，

=___________．

；3【解析】因为

，

，

，所以由正弦定理得

．由余弦定理

可得

，所以

．

3．（2017浙江）已知

． 点

为

延长线上一点,

连结

则

的面积是___________，

=__________．

【解析】由余弦定理可得，

，

由

所以

，

．

因为

，所以

，所以

，

．

4．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率

，理论上能把

的值计算到任意精度。

祖冲之继承并发展了“割圆术”，将

的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积

，

=．

【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以

．

三、解答题

1．（2018北京）在

中，

，

，

．

（1）求

；

（2）求

边上的高．

【解析】

（1）在

中，∵

，∴

，

∴

．

由正弦定理得

，∴

．

∵

，∴

，∴

．

（2）在

中，∵

=

=

．

如图所示，在

中，∵

，∴

=

，

∴

边上的高为

．

2．（2018全国卷Ⅰ）在平面四边形

中，

，

，

，

．

（1）求

；

（2）若

，求

．

【解析】

（1）在

中，由正弦定理得

．

由题设知，

，所以

．

由题设知，

，所以

．

（2）由题设及

（1）知，

．

在

中，由余弦定理得

．

所以

．

3．（2018天津）在

中，内角

，

，

所对的边分别为

，

，

．已知

．

（1）求角

的大小；

（2）设

，

，求

和

的值．

【解析】

（1）在

中，由正弦定理

，可得

，

又由

，得

，

即

，可得

．

又因为

，可得

．

（2）在

中，由余弦定理及

，

，

，

有

，故

．

由

，可得

．因为

，故

．

因此

，

所以，

4．（2017新课标Ⅰ）

的内角

，

，

的对边分别为

，

，

，已知

的面积为

（1）求

；

（2）若

，

，求

的周长．

【解析】

（1）由题设得

，即

由正弦定理得

．

故

．

（2）由题设及

（1）得

所以

，故

．

由题设得

，即

．

由余弦定理得

，即

，得

．

故

的周长为

．

5．（2017新课标Ⅲ）

的内角

，

，

的对边分别为

，

，

，

已知

，

，

．

（1）求

；

（2）设

为

边上一点，且

，求

的面积．

【解析】

（1）由已知得

，所以

．

在

中，由余弦定理得

，即

．

解得

（舍去），

（2）有题设可得

，所以

．

故

面积与

面积的比值为

．

又

的面积为

，所以

的面积为

．

6．（2017新课标Ⅱ）

的内角

，

，

的对边分别为

，

，

，

已知

．

（1）求

（2）若

，

面积为2，求

．

【解析】由题设及

得

，故

．

上式两边平方，整理得

，

解得

（舍去），

．

（2）由

得

，故

．

又

，则

．

由余弦定理及

得

．

所以

． 

7．（2017天津）在

中，内角

所对的边分别为

．已知

，

，

，

．

（Ⅰ）求

和

的值；

（Ⅱ）求

的值．

【解析】（Ⅰ）在

中，因为

，故由

，可得

．

由已知及余弦定理，有

，所以

.

由正弦定理

得

.

所以，

的值为

，

的值为

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）及

，得

，所以

，

．

故

．

8．（2017北京）在

中，

=60°，

．

（Ⅰ）求

的值；

（Ⅱ）若

，求

的面积．

【解析】（Ⅰ）在△ABC中，因为

，

，

所以由正弦定理得

．

（Ⅱ）因为

，所以

，

由

，所以

．

由余弦定理

得

，

解得

或

（舍）．

所以△ABC的面积

．