导数专题训练.docx

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导数专题训练

导数专题训练

一．解答题（共30小题）

1．（2018•德阳模拟）已知函数f（x）=ln（x+1）．

（1）当x∈（﹣1，0）时，求证：

f（x）＜x＜﹣f（﹣x）；

（2）设函数g（x）=ex﹣f（x）﹣a（a∈R），且g（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），

①求实数a的取值范围；②求证：

x1+x2＞0．

2．（2018•达州模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=

x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．

（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；

（2）当a≥1时，求证：

方程f（x）=g（x）有唯一实根．

3．（2018•东莞市模拟）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．

（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a=1时，证明：

对任意的x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2．

4．（2018•汕头一模）已知函数f（x）=e2x﹣ax．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．

5．（2018•玉溪模拟）设M是满足下列条件的函数构成的集合：

①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．

（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：

方程f（x）﹣x=0只有一个实根；

（2）判断函数

是否是集合M中的元素，并说明理由；

（3）设函数f（x）为集合M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|＜1，|β﹣2012|＜1时，证明：

|f（α）﹣f（β）|＜2．

6．（2018•玉溪模拟）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．

（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．

7．（2018•绵阳模拟）函数f（x）=﹣lnx+

2+（a﹣1）x﹣2（a∈R）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若a＞0，求证：

f（x）≥﹣

．

8．（2018•铁东区校级一模）设函数f（x）=（2﹣x）ex．

（1）求f（x）在x=0处的切线；

（2）当x≥0时，f（x）≤ax+2，求a的取值范围．

9．（2018•内江一模）已知函数f（x）=ex﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：

当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；

（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．

10．（2018•南充模拟）已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b，（k∈R，b∈R）．

（1）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：

f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；

（2）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k，b应满足的条件．

11．（2018•四川模拟）已知函数

（其中a＞0）．

（1）求函数f（x）的极值；

（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明

（其中f'（x）是f（x）的导函数）．

12．（2018•株洲一模）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：

．

13．（2018•长沙一模）已知函数f（x）=

+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．

（1）求a，b的值；

（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞

+ke﹣x，求k的取值范围．

14．（2018•南充模拟）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．

（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；

（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．

15．（2018•张掖一模）已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）．

（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与y轴垂直，求y=f'（x）的最大值；

（2）若对任意0≤x1＜x2都有f（x2）+x2（2﹣2ln2）＜f（x1）+x1（2﹣2ln2），求a的取值范围．

16．（2018•武侯区校级模拟）已知函数f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）

（1）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；

（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明：

0＜f（x1）＜1．

17．（2018•泸州模拟）已知函数f（x）=

﹣ax+alnx（a＞0）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性

（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=

+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：

x1x22＜2．

18．（2017秋•济宁期末）设函数f（x）=x+lnx﹣

．

（1）讨论函数f（x）的单词性；

（2）当a=1时，记g（x）=xf（x），是否存在整数t，使得关于x的不等式t≥g（x）有解？

若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由．

19．（2017秋•西城区期末）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求证：

存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f

（2）﹣f

（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．

20．（2017秋•南开区期末）设函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）

（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）

①求实数a的范围；②证明：

．

21．（2017秋•沈阳期末）设函数

，已知曲线y=f（x）在x=0处的切线l方程为y=kx+b，且k≥b．

（1）求m的取值范围；

（2）当x≥﹣2时，f（x）≥0，求m的最大值．

22．（2017秋•泰州期末）已知函数f（x）=ex﹣lnx（x＞0）的最小值为m．

（1）设g（x）=f'（x），求证：

g（x）在（0，+∞）上单调递增；

（2）求证：

m＞2；（3）求函数h（x）=ex﹣emlnx的最小值．

23．（2017秋•滨州期末）已知函数f（x）=（x﹣1）ex+ax2．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．

24．（2017秋•七台河期末）已知函数

．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）对任意的

，x1，x2∈[1，2]，恒有

，求正实数λ的取值范围．

25．（2017秋•广西月考）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a＜0）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若对任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有

，求实数a的取值范围．

26．（2017秋•黄冈期末）已知f（x）=

（a≠0，且a为常数）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若a=

，在区间（1，+∞）内，存在x1，x2，且x1≠x2时，使不等式|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．

27．（2017秋•辽宁期末）已知函数

．

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；

（2）当x＞0且x≠1，不等式

恒成立，求实数a的值．

28．（2017•长汀县）已知函数

（Ⅰ）若直线x=t（t＞0）与曲线y=f（x）和y=g（x）分别交于A，B两点，且曲线y=f（x）在点A处的切线与y=g（x）在点B处的切线相互平行，求a的取值范围；

（Ⅱ）设

，证明：

（其中n＞1，n∈N*，e=2.71828…是自然对数的底数）

29．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．

（1）若f（x）≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+

）（1+

）…（1+

）＜m，求m的最小值．

30．（2017•鹰潭一模）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f

（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+

）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：

×

×

×…×

＜

（n≥2，n∈N*）．