人教版数学七年级上册第三章一元一次方程.docx

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人教版数学七年级上册第三章一元一次方程

第三章　一元一次方程

3．1　从算式到方程

3．1.1　一元一次方程

1．能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系，再根据等量关系列出方程．

2．理解方程、一元一次方程的定义及解的概念．

3．掌握检验某个数值是不是方程的解的方法．

阅读教材P78～80，思考下列问题．

什么是方程、一元一次方程及它们的解？

怎样列方程？

知识探究

1．含有未知数的等式叫方程．只含有一个未知数，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程．

2．解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．

自学反馈

根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：

1．用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？

解：

设正方形的边长为xcm，列方程得：

4x＝24．

2．某校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

解：

设这个学校的学生数为x，则女生数为52%x，男生数为52%x－80，依题意得方程：

52%x＋52%x－80＝x．

3．练习本每本0.8元，小明拿了10元钱买了若干本，还找回4.4元．问：

小明买了几本练习本？

解：

设小明买了x本，列方程得：

0.8x＝10－4.4．

4．长方形的周长为24cm，长比宽多2cm，求长和宽分别是多少．

解：

设长为xcm，则宽为（x－2）cm，依题意得方程：

2（x＋x－2）＝24．

　先设未知数，再找相等关系，列方程．

活动1　小组讨论

例1　判断下列是不是一元一次方程，是打“√”，不是打“×”．

①x＋3＝4；（√）

②－2x＋3＝1；（√）

③2x＋13＝6－y；（×）

④

＝6；（×）

⑤2x－8>－10；（×）

⑥3＋4x＝7x.（√）

例2　检验2和－3是否为方程

－1＝x－2的解．

解：

－3是，2不是．

　带入方程中左右两边相等的值就是方程的解．

例3　设未知数列出方程：

（1）用一根长为100cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？

（2）长方形的周长为40cm，长比宽多3cm，求长和宽分别是多少．

（3）某校女生人数占全体学生数的55%，比男生多50人，这个学校有多少学生？

（4）A、B两地相距200千米，一辆小车从A地开往B地，3小时后离B地还有20千米，求小车的平均速度．

解：

略．

　设未知数，找等量关系，用方程表示简单实际问题中的相等关系．

活动2　跟踪训练

1．下列方程的解为x＝2的是（C）

A．5－x＝2

B．3x－1＝4－2x

C．3－（x－1）＝2x－2

D．x－4＝5x－2

2．在2＋1＝3，4＋x＝1，y2－2y＝3x，x2－2x＋1中，一元一次方程有（A）

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

3．老师要求把一篇有2000字的文章输入电脑，小明输入了700字，剩下的让小华输入，小华平均每分钟能输入50个字，问：

小华要多少分钟才能完成？

（请设未知数列出方程，并尝试求出方程的解）

解：

设小华要x分钟完成，由题意，得

50x＋700＝2000，

x＝26.

活动3　课堂小结

1．方程及一元一次方程的定义．

2．如何列方程，什么是方程的解.

3.1.2　等式的性质

1．了解等式的两条性质．

2．会用等式的性质解简单的一元一次方程．

阅读教材P81～82，思考下列问题．

1．等式的性质有哪几条？

用字母怎样表示？

字母代表什么？

2．解方程的依据是什么？

知识探究

1．如果a＝b，那么a±c＝b±c（字母a、b、c可以表示具体的数，也可以表示一个式子）．

2．如果a＝b，那么ac＝bc.

3．如果a＝b（c≠0），那么

＝

.

自学反馈

1．已知a＝b，请用“＝”或“≠”填空：

（1）3a＝3b；

（2）

＝

；（3）－5a＝－5b.

2．利用等式的性质解下列方程：

（1）x＋7＝26；

（2）－5x＝20；

（3）－2（x＋1）＝10.

解：

（1）x＝19.

（2）x＝－4.（3）x＝－6.

　注意用等式的性质对方程进行逐步变形，最终可变形为“x＝a”的形式．

活动1　小组讨论

例　利用等式的性质解下列方程并检验：

（1）x－9＝6；

（2）－0.2x＝10；

（3）3－

x＝2；

（4）－2x＋1＝0；

（5）4（x＋1）＝－20.

解：

（1）x＝15.

（2）x＝－50.（3）x＝3.（4）x＝

.（5）x＝－6.

　运用等式的性质解方程不能漏掉某一边或某一项．

活动2　跟踪训练

利用等式的性质解下列方程并检验：

（1）x＋5＝8；

（2）－x－1＝0；

（3）－2－

x＝2；

（4）6x－2＝0.

解：

（1）x＝3.

（2）x＝－1.（3）＝－16.（4）x＝

.

活动3　课堂小结

1．等式有哪些性质？

2．在用等式的性质解方程时要注意什么？

3.2　解一元一次方程

（一）——合并同类项与移项

第1课时　合并同类项

1．学会合并同类项，会解“ax＋bx＝c”类型的一元一次方程．

2．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程．

阅读教材P86～87，思考下列问题．

1．“合并”起了什么作用？

如何将方程转化为x＝a的形式？

2．如何列方程？

分哪些步骤？

知识探究

1．形如“ax＋bx＝c”的方程，先合并，再把未知数系数化为1.

2．列方程步骤：

（1）设未知数；

（2）找相等关系；

（3）列方程．

自学反馈

解下列方程：

（1）6x－x＝4；

（2）－4x＋6x－0.5x＝－0.3；

（3）3x－1.3x＋5x－2.7x＝－12×3－6×4.

解：

（1）x＝

.

（2）x＝－

.（3）x＝－15.

　把未知数系数化为1的根据是等式的性质2.

活动1　小组讨论

例1　解方程：

＋x＋2x＝140.

解：

x＝40.

例2　某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍．前年这个学校购买了多少台计算机？

解：

20台．

活动2　跟踪训练

1．在一卷古埃及草卷中，记载着这样一个数学问题“啊哈，它的全部，与它的

，其和等于19.”你能求出这个问题中的它吗？

解：

.

2．工厂今年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型，Ⅱ型，Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1∶2∶14，这三种洗衣机计划各生产多少台？

解：

1500，3000，21000.

活动3　课堂小结

1．你今天学习的解方程有哪些步骤？

合并同类项，系数化为1（等式的性质2）．

2．如何列方程？

分哪些步骤？

（1）设未知数；

（2）分析题意找出等量关系；

（3）根据等量关系列方程．

第2课时　移项

1．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性．

2．掌握移项方法，学会解“ax＋b＝cx＋d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想．

阅读教材P88～90，思考下列问题．

1．把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．

2．移项起到什么作用？

移项的根据是什么？

知识探究

1．把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．

2．通过移项把“ax＋b＝cx＋d”类型的一元一次方程转化为“ax＋bx＝c”类型的一元一次方程．移项的根据是等式的性质1.

自学反馈

解下列方程：

（1）5x－8＝－3x－2；

（2）3x＋7＝32－2x.

解：

（1）x＝

.

（2）x＝5.

　移项的根据是等式的性质1.移项要改变符号．

活动1　小组讨论

例1　解下列方程：

（1）x－2＝3－x；

（2）－x＝1－2x；

（3）5＝5－3x；

（4）x－2x＝1－

x；

（5）x－3x－1.2＝4.8－5x.

解：

（1）x＝

.

（2）x＝1.（3）x＝0.（4）x＝－3.（5）x＝2.

例2　有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果送还一条船，正好每条船坐9人，问这个班共多少同学？

解：

36.

活动2　跟踪训练

1．解方程：

（1）－0.48x－6＝0.02x；

（2）5x＋2＝7x－8.

解：

（1）x＝－12.

（2）x＝5.

2．好马每天走240里，劣马每天走150里，劣马先走12天，好马几天可以追上劣马？

解：

20天．

3．甲粮仓存粮1000吨，乙粮仓存粮798吨，现要从两个粮仓中共运走212吨粮食，使两仓库剩余的粮食数量相等，那么应从这两个粮仓各运出多少吨？

解：

甲运出207吨，乙运出5吨．

活动3　课堂小结

1．今天你又学会了解方程的哪些方法？

有哪些步骤？

每一步的依据是什么？

2．现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么意思吗？

3．今天讨论的问题中的相等关系又有何共同特点？

第3课时　建立一元一次方程模型

1．经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析和解决问题的能力．

2．学会用两种不同的式子表示同一个量，从而建立等量关系．

3．能正确的求解一元一次方程并判断解的合理性．

阅读教材P87的例2和P90的例4，思考下列问题．

1．观察例2这列数有什么规律（从符号和绝对值两方面分析）？

用方程怎么解？

2．自学例4，思考如何用一元一次方程解此类和差倍分的问题．

知识探究

1．探究规律一般从较小的数入手，探索相邻两数的差或比值，根据规律设其中一个数为x，相邻的数用含x的式子表示，再根据等量关系列出方程求解即可．

2．解和差倍分问题的基本方法是分析题中各个量之间的关系，找出等量关系列方程求解．

自学反馈

1．三个连续奇数的和是27，求这三个数．

解：

7，9，11.

2．如果三个连续奇数的和是29，你能求出这三个奇数吗？

解：

不能．

　设中间的数为x，再表示其他两数，根据等量关系列方程．

活动1　小组讨论

例　某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：

暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市．其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍，求严重缺水城市有多少座？

解：

102座．

活动2　跟踪训练

1．一个两位数，个位上的数为1，把这个两位数的数字对调后，得到的新两位数比原两位数小18，求原两位数．

解：

31.

2．把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩下20本；若每本分4本，则还差25本．问这个班有多少人？

解：

45人．

3．某乡镇农民今年人均收入比去年提高20%，今年人均收入比去年的1.5倍少1200元，这个乡镇农民今年人均收入是多少元？

解：

4800元．

活动3　课堂小结

3.3　解一元一次方程

（二）——去括号与去分母

第1课时　去括号

1．了解“去括号”是解方程的重要步骤．

2．准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程．

3．列一元一次方程解应用题时，关键是找出条件中的相等关系．

阅读教材P93～94例1，思考下列问题．

解方程“去括号”这一变形是运用了什么根据？

去括号要注意什么？

知识探究

要去括号，就要根据去括号法则及乘法分配律，特别是当括号前是“－”号时，去括号时，各项都要变号，若括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号．

自学反馈

1．解方程：

（1）2（x－2）＝－（x＋3）；

（2）2（x－4）＋2x＝7－（x－1）；

（3）－3（x－2）＋1＝4x－（2x－1）．

解：

（1）x＝

.

（2）x＝

.（3）x＝

.

2．学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了400块，问初一同学有多少人参加了搬砖？

解：

初一有60人参加了搬砖．

　去括号不能漏乘并注意符号．

活动1　小组讨论

例1　解方程：

（1）4x＋2（x－2）＝12－（x＋4）；

（2）6（

x－4）＋2x＝7－（

x－1）；

（3）3（x－2）＋1＝x－（2x－1）．

解：

（1）x＝

.

（2）x＝6.（3）x＝

.

例2　杭州新西湖建成后，某班40名同学去划船游湖，一共租了8条小船，其中有可坐4人的小船和可坐6人的小船，40名同学刚好坐满8条小船，问这两种小船各租了几条？

解：

可坐4人的小船租4条，可坐6人的小船租4条．

活动2　跟踪训练

1．解方程：

（1）5（x＋2）＝2（5x－1）；

（2）4x＋3＝2（x－1）＋1；

（3）（x＋1）－2（x－1）＝1－3x；

（4）2（x－1）－（x＋2）＝3（4－x）．

解：

（1）x＝

.

（2）x＝－2.（3）x＝－1.（4）x＝4

2．学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米/秒的速度跑完了大部分路程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒，问小刚在冲刺以前跑了多少时间？

解：

小刚在冲刺以前跑了1分钟．

活动3　课堂小结

1．通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又有哪些收获？

2．去括号解一元一次方程要注意什么？

第2课时　行程问题

1．会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次方程解决一些实际问题．

2．通过观察、实践、讨论等活动经历从实际中抽象数学模型的过程．

3．利用方程的原理，解决“行程问题”．

阅读教材P94例2，思考下列问题．

行程问题中的基本关系是什么？

在顺逆流问题中速度关系又是什么？

知识探究

路程＝速度×时间，顺风速度＝风速＋无风速度，逆风速度＝无风速度－风速．

自学反馈

1．两人分别骑摩托车和自行车从相距29.8千米的两地同时相向而行，摩托车的速度比自行车速度的5倍还快2千米/时，半小时后两车相遇，求两车的速度．

解：

自行车的速度是9.6千米/时，摩托车的速度是50千米/时．

2．一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程．

解：

设无风时飞机的速度为x千米/时，由题意，得

（x＋24）＝3（x－24）．

解得x＝840.

则3（x－24）＝2448.

答：

无风时飞机的速度为840千米/时，两城之间的航程为2448千米．

活动1　小组讨论

例1　一列火车匀速行驶，完全通过一条长300m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，求火车的速度．

解：

30m/s.

例2　汽船从甲地顺流开往乙地，所用时间比从乙地逆流开往甲地少1.5小时．已知船在静水中的速度为18千米/时，水流速度为2千米/时，求甲、乙两地之间的距离．

解：

设甲、乙两地的距离为x千米，由题意，得

＝

－1.5.

解得x＝120.

答：

甲、乙两地的距离为120米．

活动2　跟踪训练

1．甲、乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶，问甲用了多少时间？

解：

90分钟．

2．一艘船从甲码头到乙码头逆流行驶，用了4小时；从乙码头返回甲码头顺流行驶，用了2.8小时．已知水流的速度是2千米/时，求船在静水中的平均速度以及两个码头之间的航程．

解：

设船在静水中的速度为x千米/时，由题意，得

2．8（x＋2）＝4（x－2）．

解得x＝

.

则2.8（x＋2）＝

.

答：

船在静水中的速度为

千米/时，两个码头之间的航程为

千米．

活动3　课堂小结

行程问题．

第3课时　去分母

1．会运用等式的性质2正确去分母解一元一次方程．

2．会运用方程解决实际问题．

阅读教材P95～98，思考下列问题．

1．为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘什么数？

2．在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？

去分母的根据是什么？

知识探究

1．去分母的关键在于：

方程两边同时乘各分母的最小公倍数．

2．去分母的根据是等式的性质2，去分母时两边同乘各分母的最小公倍数，通常要将分子、分母看成一个整体，用括号括起来，去分母时不要漏乘每一项．

3．含有分母的方程的解法的一般步骤为：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.

自学反馈

1．解方程：

3x＋

＝

－

.

解：

两边都乘12，去分母，得12×3x＋6（x－1）＝3（x＋1）－4（2x－1）．

去括号，得36x＋6x－6＝3x＋3－8x＋4．

移项，得36x＋6x－3x＋8x＝3＋4＋6．

合并同类项，得47x＝13．

系数化为1，得x＝

．

2．解方程：

＋1＝2－

.

解：

x＝

.

　去分母时不要漏乘每一项，去分母后分子是多项式的要用括号括起来．

活动1　小组讨论

例　解方程：

（1）

＝

－

；

（2）

－

＝1；

（3）3x－

＝2－

.

解：

（1）x＝－

.

（2）x＝2.（3）x＝

.

活动2　跟踪训练

1．k取何值时，代数式

的值比

的值小1?

解：

由题意，得

＝

－1，解得k＝

.

2．碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：

“你们好，百只雁！

你们百雁齐飞，好气派！

可怜我是孤雁独飞．”群雁中一只领头的老雁说：

“不对！

小朋友，我们远远不足100只．将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢”．请问这群大雁有多少只？

解：

设这群大雁x只，由题意，得

2x＋

x＋

x＋1＝100.

解得x＝36.

答：

这群大雁有36只．

活动3　课堂小结

1．去分母解一元一次方程时要注意什么？

2．去分母解一元一次方程时，在方程两边同时乘各分母最小公倍数的目的是什么？

3．4　实际问题与一元一次方程

第1课时　产品配套问题与工程问题

1．进一步熟悉一元一次方程的解法．

2．会用一元一次方程解决配套问题和工程问题．

阅读教材P100～101，思考下列问题．

1．前面学习的解一元一次方程的步骤有哪几步？

2．解决配套问题和工程问题应注意什么？

知识探究

1．解一元一次方程的一般步骤为：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.

2．解决配套问题的关键是找出参加配套的两个量之间的比例关系，进而列方程求解．

3．解决工程问题的关键：

（1）把总的工作量看作1；

（2）工作量＝人均效率×人数×时间；

（3）三者之间的关系：

工作总量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作总量÷工作时间，工作时间＝工作总量÷工作效率．

自学反馈

1．某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件80个．甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套．要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？

解：

设安排生产甲种零件x天，由题意，得

120x∶80（30－x）＝3∶2.

解得x＝15.

30－x＝30－15＝15（天）．

答：

安排生产甲种零件15天，生产乙种零件15天．

2．一件工作由一个人做要50小时，现在计划由一部分人先做5小时，再增加2人和他们一起做10小时，完成了这项工作，问先安排多少人工作？

解：

设先安排x人工作，由题意，得

×5x＋

（x＋2）×10＝1.解得x＝2.

答：

先安排2人工作．

活动1　小组讨论

例1　某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？

解：

设x人挖土，由题意，得

5x＝3（48－x）．解得x＝18.

48－x＝48－18＝30（人）．

答：

18人挖土，30人运土．

例2　某工程要按时完工，甲队独做6天可以完工，乙队独做12天可以完工，现由两队合作2天后，余下的由乙队独做，刚好按期完工，问该工程的工期几天？

解：

设该工程的工期x天，由题意，得

2（

＋

）＋

（x－2）＝1.解得x＝8.

答：

该工程的工期8天．

活动2　跟踪训练

1．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张白铁片，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？

解：

设用x张制盒身，由题意，得

16x∶48（100－x）＝1∶2.解得x＝60.

100－x＝100－60＝40（张）．

答：

用60张制盒身，40张制盒底．

2．一本稿件，甲打字员单独打20小时可以完成，甲、乙两打字员合打，12小时可以完成，现在由两人合打7小时，余下部分由乙完成，还需多少小时？

解：

设还需x小时，由题意，得

×7＋（

－

）x＝1.解得x＝12.5.

答：

还需12.5小时．

3．整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

解：

设应先安排x人工作，由题意，得

×4x＋

（x＋2）×8＝1.解得x＝2.

答：

应先安排2人工作．

活动3　课堂小结

配套问题和工程问题的解题关键．

第2课时　销售中的盈亏

1．使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，掌握商品盈亏的求法．

2．培养学生分析问题、解决问题的能力．

3．让学生在实际生活问题中，感受到数学的价值．

阅读教材P102探究1的内容，弄清商品销售中的“进价”“标价”“售价”及“利润”的含义．知道商品销售中的盈亏的算法．

知识探究

1．利润＝售价－进价．

2．售价＝标价×

.

3．利润率＝利润÷成本×100%.

4．利润＝成本×利润率．

自学反馈

1．某商品原来每件零售价是a元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是a（1－10%）元．

2．某种品牌的彩电降价3%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为

元．

3．某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定价是18.5元．

4．某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为2__722.5元．

5．我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品的价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前的价格为

元．

活动1　小组讨论

例　（教材P102探究1）销售中的盈亏

一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损？

或是不盈不亏？

　两件衣服的进价、售价分别算出来比较．

活动2　跟踪训练

1．某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率为5%，那么商店可降多少元出售此商品？

解：

设可降x元出售此商品，由题意，得

＝5%.

解得x＝450.

答：

可降450元出售此商品．

2．某商场将某种产品按进价提高35%，然后打出“九折酬宾，外送50元打的费”的广告，结果每台产品仍获利208元，则每台产品的进价是多少元？

解：

设每台产品的进价是x元，由题意，得

x（1＋35%）－50－x＝208.

解得x＝1200.

答：

每台产品的进价是1200元．

活动3　课堂小结

1．谈谈本节课学到了哪些知识？

学后有何感受？

2．