单级移动倒立摆建模及串联PID校正.docx
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单级移动倒立摆建模及串联PID校正
课程设计任务书
学生姓名：
专业班级：
电气班
指导教师：
刘志立工作单位：
自动化学院
题目:
单级移动倒立摆建模及串联PID校正
图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。
由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。
初始条件：
要求完成的主要任务:
（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u为输入，
为输出）；
2、要求系统输出动态性能满足
试设计串联PID校正装置。
3、用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说明原因。
时间安排：
任务
时间（天）
审题、查阅相关资料
1
分析、计算
3
编写程序
1
撰写报告
2
论文答辩
0.5
指导教师签名：
年月日
系主任（或责任教师）签名：
年月日
目录
摘要I
1单级移动倒立摆系统建模1
1.1倒立摆系统建模1
1.2单极移动倒立摆的数学模型的线性化2
2绘制根轨迹，Bode图和Nyquist图3
2.1绘制根轨迹图3
2.2绘制Bode图4
2.3绘制Nyquist图5
3PID控制器的设计7
3.1设计PID控制器装置7
3.2确定PID参数8
4校正系统和校正后系统的比较11
5心得体会12
参考文献13
本科生课程设计成绩评定表14
摘要
倒立摆系统是一个典型的非线性多变量强耦合不稳定的非最小相位系统，在航天航空和机电一体化等领域得到了广泛的应用，如在火箭箭身的姿态稳定控制及机器人多自由运动稳定的设计都用到了倒立摆系统。
近年来智能控制技术得到了飞速发展，以倒立摆作为研究对象，用各种智能控制技术解决非线性系统的稳定控制问题成为了诸多学者不断用来研究和验证的手段。
因此对其进行工程化应用研究和更深度理论基础研究意义重大。
倒立摆系统利用牛顿运动定律建立直线型一级倒立摆系统模型，基于PID控制的思想，运用试探法整定PID参数，设计PID控制器控制倒立摆系统的稳定。
由MATLAB仿真验证设计的控制器是合理的。
关键词：
倒立摆PID控制参数整定MATLAB
单级移动倒立摆建模及串联PID校正
1单级移动倒立摆系统建模
1.1倒立摆系统建模
对于单级倒立摆系统,由于存在空气阻力和各种摩擦力的影响，致使该系统为非线性系统。
为了建立数学模型我们得忽略一部分对系统影响较小的力，如系统运行时空气对其的阻力，杆与小车之间的静摩擦力，小车与地面的滑动摩擦力等，这样，倒立摆系统就能等效为一个典型运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
图1-1示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。
由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。
图1-1倒立摆系统
设M为小车质量，m为摆杆质量，L为摆杆的长度，I为摆杆转动惯量，F为加在小车上的力，x为小车瞬时位置，（x+lsinθ）为摆心瞬时位置，
为摆杆与竖直方向的夹角。
运用牛顿运动定律对系统进行分析。
对小车进行隔离受力分析如图1-2、1-3所示。
图1-2小车受力图图1-3摆杆受力图
分析小车和杆在水平方向上的受力情况，由牛顿第二定律可得
（1-1）
即
（1-2）
在垂直方向上，惯性力矩和重力力矩平衡
（1-3）
即
（1-4）
1.2单极移动倒立摆的数学模型的线性化
当θ很小时
，非线性三角函数可近似为
。
故可对方程组进行线性化，带入
方程1-2和1-4可简化为
（1-5）
将上式进行拉普拉斯变换得
（1-6）
上式联立得
（1-7）
将
带入式1-7可得传递函数可得
（1-8）
2绘制根轨迹，Bode图和Nyquist图
2.1绘制根轨迹图
根轨迹能够根据开环零极点分布，用图解方法画出闭环极点随着系统参数变化的轨迹。
编程如下
num=[1];%定义分子多项式
den=[-0.96015];%定义分母多项式
rlocus（num,den）;%绘制系统根轨迹
grid;%画出网络标度线
xlabel（'RealAxis'）,ylabel（'ImaginaryAxis'）;%给坐标轴加上说明
tile（'RootLocus'）%给图形加上标题名
根轨迹图如图2-1所示。
图2-1校正前根轨迹图
2.2绘制Bode图
伯德（Bode）图也称为对数频率特性曲线，是用对数幅频特性和对数相频特性表示频率特性的曲线。
它的横坐标为
，按常用对数
分度。
对数幅频特性的纵坐标为
，单位为分贝
；而对数相频特性的纵坐标表示为
，单位为度
。
伯德图的近似作图法步骤为：
（1）首先将开环传递函数分解成标准典型环节形式，确定开环增益并求出各环节的转折频率，从小到大依次标在横坐标ω轴上；
（2）确定低频段。
开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的部分称为低频段。
因为在第一个转折平率以前的部分，惯性、振荡、一阶和二阶微分环节等的对数幅频特性的渐近线都为0dB，所以对数幅频特性渐近线的低频段仅取决于比例、积分和微分这几个环节。
开环传递函数中的积分数目对系统的稳态性能有很大影响。
若系统的开环传递函数有
个积分环节则称为
型系统。
型系统的对数幅频特性的低频段近似为
，因此当已知低频段上某个频率的幅值时就可以用下式计算
，特别是当
=1时，
。
可见对于任何型号的系统，对数幅频特性的低频段或者其延长线在ω=1处的幅值总为20lgKdB。
因此，对数幅频特性的低频段可以用以下方法确定：
对于
型系统，过ω=1，L
（1）=20lgK或者ω=
，L（
）=0这一点作一条斜率为-20
dB/dec的直线，这条直线在第一个转折频率之前的部分为低频段；
（3）从第一个转折频率开始沿ω轴向右每经过一个转折频率，对数幅频特性曲线L（ω）的斜率就变化一次。
若为惯性环节频率变更-20dB/dec,若为振荡环节频率变更-40dB/dec,以此类推，逐渐画出伯德图；
（4）若振荡环节的阻尼比不在0.38～0.71之间则需对L（ω）进行修正，若两个惯性环节的转折频率离的很近也要对L（ω）进行修正。
对数相频特性曲线
的绘制，只要将各个典型环节的
相频特性叠加即可获得。
本次课程设计运用MATLAB来作出系统的Bode图，
编程如下：
num=[001];%定义分子多项式
den=[-0.96015];%定义分母多项式
w=logspace（-2,3,100）;%确定波特图的频率范围
bode（num,den,w）;%绘制系统的波特图
grid%画出网络标度线
绘制的Bode图如图2-2所示。
图2-2Bode图
2.3绘制Nyquist图
运用MATLAB来作出系统的Nyquist图。
编程如下：
num=[-1];%定义分子多项式
den=[0.960-15];%定义分母多项式
Nyquist（num,den）%绘制系统Nyquist图
绘制的Nyquist图如图2-3所示。
图2-3Nyquist图
3PID控制器的设计
设计PID控制器来控制系统，要求系统输出动态性能满足
，
。
3.1设计PID控制器装置
从所得倒立摆线性化后的传递函数模型可以看出,该系统因为含有不稳定的零极点,所以是一个自不稳定的非最小相位系统。
该方法的主要思想是:
根据给定值r与系统的实际输出值c构成控制偏差e,然后将偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）三项通过线性组合构成控制量,对被控对象进行控制,故称为PID控制。
则PID控制用于倒立摆系统的原理如下图：
图3-1PID控制器原理图
PID控制器各环节的特点：
比例环节放大时，系统动作灵敏、速度快、稳态误差小，但比例太大时系统振荡次数会增加，调节时间变长，甚至会不稳定。
积分控制可消除系统稳态误差，但会使系统滞后增加稳定性变差，反应速度变慢。
微分控制可提高系统动态特性（减少超调量和反应时间），使系统稳态误差减小。
其控制规律为：
（3-1）
设PID控制器的传递函数为：
（3-2）
即：
（3-3）
而倒立摆系统的传递函数为：
（3-4）
则校正后系统的开环传递函数为：
（3-5）
3.2确定PID参数
应用MATLAB对倒立摆系统进行仿真来确定PID控制器的参数
、
、
。
编程如下：
clear；
num=[KdKpKi];%定义分子多项式
den=[-0.960150];%定义分母多项式
bode（num,den）%绘制系统Bode图
sys=tf（num,den）
sysc=sys/（1+sys）;
t=0:
0.05:
2;
step（sysc,t）%校正后系统单位阶跃响应图
impulse（sysc,t）%校正后系统的单位脉冲响应图
（其中
为待定PID参数）
由倒立摆系统传递函数可知，其为自不稳定的非最小相位系统，故
、
、
都小于0。
选择不同的PID参数对倒立摆系统进行仿真发现，即使在积分常数很小的情况下，系统的稳态误差也可以达到很小，设积分环节参数整定为-0.01。
根据经验和PID各环节特点取不同的PID参数运用MATLAB进行多次模拟仿真，将PID参数整定为
=-100，
=-0.01，
=-20，即PID参数整定为-100，-0.01，-20。
带入参数后可得到Bode图如图2-3所示，单位阶跃响应图如图3-3所示，单位脉冲响应图如图3-4所示。
图3-2校正后Bode图
图3-3校正后系统单位阶跃响应图
由图知达到稳定时间时时间
，超调量
此时Kp=-100，
=-0.01，
=-20。
图3-4校正后系统的单位脉冲响应图
4校正系统和校正后系统的比较
上面对PID参数的整定中已经应用了MATLAB来进行模拟仿真，以方便进行大量重复试验，来确定PID的参数。
取不同的
、
、
输入3.1中程序，观察输出的bode图和单位阶跃响应图，确定其是否符合课程设计要求的动态性能指标。
通过加入比例-积分-微分（PID）控制器，我们得到了一个稳定的倒立摆系统，比例-积分-微分（PID）控制器的串入，使得系统动态过程的超调量下降由原来的不稳定时的无穷到校正后的不到4.3%，同时调节时间
缩短至1.5s；值得注意的是串入比例-积分-微分（PID）控制器后开环增益k保持不变，可见比例-微分校正环节的引入并不影响系统的稳态精度，同时也不改变系统的无阻尼振荡频率；
由于稳态误差与开环增益成反比，因此适当选择开环增益和微分器的时间常数T,即可减小稳态误差，又可获得良好的动态性能。
5心得体会
本次实验我学会了很多，一开始是上网找材料，然后研究别人怎么做类似的课程设计，一开始的建模就遇到了很多困难，受力分析，怎么将非线性系统近似看成线性系统，怎样用MATLAB来进行系统分析，最后的SIMULINK仿真，总之做这个课程设计一点也不轻松，不过收获是非常丰富的。
数学建模教会了我用化整为零的思维方式来将一个存在很多元素的系统近似看成一个较为简单的系统，方便我们进行理论研究和建立数学模型。
本次课程设计的原理是通过研究单级移动倒立摆系统，建立了单级移动倒立摆的数学模型，通过忽略摩擦力和把摆角θ取得很小的措施将倒立摆系统线性化，得到倒立摆系统的运动方程组，然后经过“拉普拉斯变换”得到系统的传递函数。
根据设计要求设计出PID控制器使倒立摆能维持直立不倒，用MATLAB进行仿真分析，运用试探法经多次试验最终确定PID参数，对MATLAB做出的校正后系统的bode图和单位阶跃响应图进行分析，来验证是否满足系统动态性能指标，最后得到校正后系统的单位脉冲响应图。
在本次课设期间，MATLA这个软件让我为之折服，其强大的功能让我们在学习工作时节省了很多时间。
借此课程设计的机会，我们应该更加认真深入地学习该软件的相关操作。
自动控制原理是一门实用的课程，一开始的学习感觉很吃力，因为课程引入了很多新的感念，我们理解上有很多困难和误区。
而课程设计正好给我们在加深理论理解的前提下也紧紧结合了实际的应用，使我们的理论和实践相结合，激发
了我们的学习兴趣，感谢学校和老师给了我们这样一个锻炼自己的机会。
只有自己动手学习，自己动脑，才能学到知识。
参考文献
[1]刘丁.自动控制理论.北京：
机械工业出版社.2006.
[2]胡寿松.自动控制原理第五版.北京：
科学出版社.2007.
[3]王万良.自动控制原理第一版.北京：
高等教育出版社.2008.
[4]刘金琨，先进PID控制及其MATLAB仿真[M].北京：
电子工业出版社.2003
[5]杨世勇，徐莉苹，王培进.单级倒立摆的PID控制研究.控制工程.2007
[6]周建兴，MATLAB从入门到精通.北京：
人民邮电出版社.2006
本科生课程设计成绩评定表
姓名
性别
男
专业、班级
电气工程及其自动化电气班
课程设计题目：
单级移动倒立摆建模及串联PID校正
课程设计答辩或质疑记录：
成绩评定依据：
评定项目
最高分限
评分成绩
1．选题合理、目的明确
10
2．设计方案正确、具有可行性、创新性
20
3．设计结果（例如：
系统设计程序、仿真程序）
20
4．态度认真、学习刻苦、遵守纪律
15
5．设计报告的规范化、参考文献充分（不少于5篇）
10
6．答辩
25
总分
100
最终评定成绩（以优、良、中、及格、不及格评定）
指导教师签字：
年月日
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