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1、误差理论与测量平差国土信息与测绘工程系 教案（首页）班级： 课程：误差理论与测量平差 授课日期： 年 月 日 第 周A.提出问题，导入新课观测必然有误差，衡量观测数据精度的指标有：方差和协方差、平均误差、或然误差、相对误差、限差等概念外，还有权、协因素（权倒数）本次课程的内容：权与定权的常用方法、协因素传播定律。B.授课章节名称： 3.4权与定权的常用方法， 3.5协因素传播定律教学要点：1、 权和协因素的基本概念2、 协因素和协因素阵传播定律重点：1、 权、确定权的常用方法2、 单位权方差难点：1、 权和方差的关系、单位权方差的作用2、 权阵、方差阵、协因素阵的关系C.教学过程设计权的概念单

2、位权方差和单位权中误差确定权常用的方法协因素和协因素阵的基本概念协因素和协因素阵的传播定律一些需要注意的问题课堂习题作业题布置第六讲同学们，我们上一节课学习了误差传播定律在大地测量具体问题中的一些应用，例如：菲列罗公式、算术中数的中误差、水准测量高差的中误差、三角高程测量的中误差、若干独 立误差联合影响的中误差、限差的确定、交会点的精度等。本次课将学习误差理论的另一个重要内容：权、协因素和协因素传播定律。 3.4权与定权的常用方法一定的测量条件对应着一定的误差分布， 而一定的误差分布对应着一个确定的方差。 在实际测量中可通过各观测值方差之间的比例关系来表征精度，这就是权的概念。一、权的定义设有

3、一系列观测值 L (i =1,2,，n)，它们的方差是 g2 (i =1,2,n)，如果选定任意常2数二 ,则观测值Li的权定义为：Pi Or，(i =1,2,n)ai根据权的定义，可知各观测值权之间的比例关系是:Pl ： P2 ：可见，对于一组观测值，其权之比等于相应方差的倒数之比，这表明方差越小其权约大，或 者说精度越高其权越大。因此，权可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标。2就普遍情况而言，权定义中的方差 G，可以是同一个量的不同次观测的精度，也可以 是不同量的观测值的精度。就是说， 用权来比较各观测值之间的精度高低， 不限于是对同一个量的观测值，同样也适用于对不同量的观测值。2

4、21、选定了一个 二0值，即有一组对应的权。 或者说，有一组权，比有一个对应的 匚0值。2、 一组观测值的权，其大小与 c2有关，但权之间的比例关系与 Co无关。23、 在同一个问题中只能选定一个 二o值。二、单位权方差（中误差）2 2从权的定义可以看出， 匚0只是起到一个比例常数的作用； 二0不同，各个观测值的权的数值不同，但观测值权之间的比例不变。 二1 一旦选定，它还有具体的含义。【例子】设有三个观测值 L1、L2和L3，其中误差是=、二2=2”和匚3=3”。求各个 观测值的权。解：根据权的定义有:2Pi 2，(i =1,2/ , n)5因为比例常数6 =2”、二o取二o 取二o 取匚o

5、Co是任意选定的，故可以得出许多不同的权。例如我们选取= 3”、二o =6等，可得相应权如下=1”时：P1 =1，P2 = 1 4， P3 = 1 9=2时:5=4，P2 = 1， P3 = 4 9=3时：P1 = 9，P2 =9 4， P3 =1=6“时:Pr = 36，P2 = 9， P3 = 46，总是取二o但不论如何选取当取二 =；丁1 时，观测值l1的权是1，实际上就是以观测值 L1的精度作为标准，其它的 观测值精度都是和它进行比较。当取 二。=：;2 =2“时，观测值L2的权是1，实际上就是以观测值L2的精度作为标准，其它的观测值精度都是和它进行比较，等等。因此，通常称 二o为单位

6、权中误差，而 二2称为单位权方差，把权等于 1的观测值称为单位权观测值。三、测量中确定权的基本方法在实际测量工作中，往往是要根据事先给定的条件，先确定出各观测值的权，也就是先确定它们精度的相对数值指标，然后通过平差计算，一方面求出各观测值的最可靠值， 另一方面求出它们精度的绝对数字指标。 下面根据权的定义和测量中经常遇到的几种情况， 导出其实用的定权公式。（1）算术中数的权设对某个物理量等精度地观测了 n次，即Li （i =1,2/ ,n），若每一次观测的精度是 二，权为p。求算术中数的权？ 解：由于算术中数是1L （Li L Ln）n其方差是2根据权的定义有20 - - -P 2， Pl 二

7、r 2 、二 nr 二 np二 二匚 （匚 n） 匚所以算术中数的权是等精度观测值的权的 n倍。（2）水准测量的权水准测量中，设水准路线长为 S的高差的权是p，中误差是匚；并设水准路线长为 So的高差的权是1,单位权中误差是 二0。当单位距离水准测量所得高差的中误差均为 K时，有- K S，二 0 = K、S0这样可得路线长为 S的高差的权是所以水准测量中高差的权与路线长成反比。（3）三角高程测量的权这样可得距离为 S时三角高程测量高差的权是S2所以三角高程测量高差的权与距离的平方成反比。 3.5协因素(权倒数)和协因素传播定律权是一种比较观测值之间精度高低的指标， 当然，也可以用权来比较各个

8、观测值函数之 间的精度。因此，同方差传播定律一样，也存在根据观测值的权来求观测值函数权的问题。一、协因素与协因素阵2Dll =；oQll同时又称(iiiqiiqi2qin PiPi2Pi nq21q22q2nii i P2iP2P2nQniqn2qnnii iPniPn2Pn是观测值向量L =（L| L2 Ln）T的权阵。Ln）的权和相关权组成的矩阵，即:PlPi2P2iP2.PniPn2Pi nP2nPnJ 2 i0.0、Qii0 .0、Dll =0环020q220000-2 s丿00(Qnn丿fqii00 ai Pi00 A.0q2200仏0Pll =Qll = -00qnn JI 00i

9、 Pn但是当Fj =o时，即观测值（Li L2Ln）互不相关时，有0r二 rFnDxxn:：nF：Dzzt.nDxxn:：nn tr:：t二 rFnDxxn:：t由于协因素阵和协方差阵的关系是 D =；2Q，所以有厂影算鳥，QZZ总QxxQYZ=r先n：.t这就是线性函数的协因素(或协因素阵)传播定律，也称之为权逆阵传播定律。在形式上与 协方差阵传播定律相同，所以将协方差阵传播定律和协因素阵传播定律合称为广义传播定 律。如果Y和Z的各个分量是 X的非线性函数，可先求出 Y和Z的全微分，即 r 1 t X n1 r1 t 1dY 二 FdX，dZ 二 KdX则可得到Y和Z的协因素阵和互协因素阵

10、Qyy，Qzz和Qyz 。r 1 t 1 r r t t r t【例1】设有独立观测值 L ,假定各Li的权是Pi。设有函数Z = f (L1,L2,丄n)，求函数 n 1Z的权。解：假定独立观测值 L的协方差阵是U 00方110 0、1P10 0、Dll =0 环020q220201/P2 0 一0 =矶0 10 qnn J10 1/Pn所以观测值的协因素阵是0 0 1 Pn对函数z =f （Li，L2,，Ln）进行全微分有f -f -fdz dL1 dL2 dLn 二 KdL无 cL2 cL nQzz 二 KQllKT 二4；：f；:l21pif、0 eLn0(cf0 01 P2 00 1

11、 Pn丿衍3Ln丿展开后写成纯量的形式有丄二f 2丄.丄2丄.丄2丄Pz :L Pl 儿2 P2 ：Ln Pn这就是权倒数传播定律。1解：X （LL2 Ln）n根据权倒数传播定律有所以PX 二 np即算术中数的权是观测值权的 n倍。【例3】已知独立观测值 Li的权是Pi （i =1,2，n）。求加权平均值的权。解：X 二占(PiLi P2L2 P丄n) P根据权倒数传播定律有所以Px 二p即加权平均值的权是所有观测值权的和。【例4】已知观测值向量 Xi和X2的协因素阵是Qx1x1、Qx2x2和互协因素阵是Qx1x2，设有函数向量Y 和Z =KX2。试求丫和Z的互协因素阵。解：令观测向量X为根据

12、协因素传播定律有=(F 0)Qxx= FQx1x2KTkt=(FJ0)Qx1x1QX2X1Qx1x2 0QX2X2 八KTT -V =QllA KAQllATK =0W = AL +A0其中AQll at是对称可逆阵。求 k和V的协因素阵和互协因素阵。解：首先求出函数向量 W的协因素阵Qww = AQ ll A再把K和V表示为W的函数，即K 一(AQLLAT)畅,V =-QllAT(AQllAT)W这样有Qkk =(AQllAT)JQww(AQllAT) J =(AQllAT) JQvv =QllAT(AQllAt)Qww(AQllAt)AQll =QllAT(AQllAt)-1AQllQkv

13、 = -(AQllAT )二Qww- (AQll AT )AQlJ 二(AQllAT )AQll习题41设三角形三个内角的中误差是 二A = 2、匚b = 4、二c = 8，取二A为单位权中误差，试求各角的权。一 3的精度测量了 9次，其平均值的权为差。3三角形中有两个角利用同一经纬仪测量了 2回，每一测回的中误差是 _5” ；若第三个角利用另一台经纬仪测量，每测回的中误差是 _10_。问第三角应当测量几次才能与第一和第二角的权相等。4水准路线长450米，其高差之权是 4,若使得高差的权为 1,路线长应当为多少？5三角高程测量中，已知 8公里高差的权是1，则4公里高差的权是多少？6三角形中，A

14、角测了 3次，B角测了 2次，若每一测回的权是 1。求C角的权。111 1 1 17已知L1、L2、L3的权分别是 、一、 ，求函数z L1 L2 L3 4的权。16 4 25 4 2 58设x、y的权均为p，求函数z =xy的权9已知 z=x y， x =u2， y =2u，u 的权为 pu，求 x、y、z 的权和 Pxy。广2-1-1)10已知观测向量LL l2 l3 f的协方差阵是 DLL -120 ，若取单位权,-103J、, 2 1方差为 0 1。试求 Qll， PLL， pL1， PL2， Pl3 以及1 。Pl.Pl2L311已知平面点坐标 x、y的中误差是 _ 4.0cm、一

15、3.0cm。2 . T1)若已知平面点坐标 x、y的协方差是bxy = 9.0cm，试写出向量Z =(x y)的协方差 阵和平面点坐标x、y的相关系数 。2)3)若已知平面点坐标 x、y的相关系数是xy 一 -0.5，试写出Z = x 丫丁的协方差阵。4)5)2 _ 2若取匚0 =9cm，试写出y y的权阵和协因素阵。22 1z2 -T|L,Y =!X，Qll =J 1丿J 1 丿 LL_1 2 J12已知X二1)和2)中的Z =xPX1 和 PX2。试求 Q xx、QyY、Q XL、Qlx、Qyl、Qly、Qxy 以及13丨已知PLL =21-22 -0=8。求 Pl1、PL2、QLL、D LL