高二数学知识点及公式.docx
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高二数学知识点及公式
高二数学知识点及公式
一、不等式的性质
1.两个实数a与b之间的大小关系
2.不等式的性质
4乘法单调性
3.绝对值不等式的性质
2如果a>0,那么
3|a•b|=|a|•|b|.
5|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
6|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.
二、不等式的证明
1.不等式证明的依据
2不等式的性质略
3重要不等式:
①|a|≥0;a2≥0;a-b2≥0a、b∈R
②a2+b2≥2aba、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号
2.不等式的证明方法
1比较法:
要证明a>ba0a-b<0,这种证明不等式的方法叫做比较法.
用比较法证明不等式的步骤是:
作差——变形——判断符号.
2综合法:
从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.
3分析法:
从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法.
证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等.
三、解不等式
1.解不等式问题的分类
1解一元一次不等式.
2解一元二次不等式.
3可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.
①解一元高次不等式;
②解分式不等式;
③解无理不等式;
④解指数不等式;
⑤解对数不等式;
⑥解带绝对值的不等式;
⑦解不等式组.
2.解不等式时应特别注意下列几点:
1正确应用不等式的基本性质.
2正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.
3注意代数式中未知数的取值范围.
3.不等式的同解性
5|fx|0
6|fx|>gx①与fx>gx或fx<-gx其中gx≥0同解;②与gx<0同解.
9当a>1时,afx>agx与fx>gx同解,当0agx与fx
平方关系:
sin^2α+cos^2α=11+tan^2α=sec^2α1+cot^2α=csc^2α
积的关系:
sinα=tanα×cosαcosα=cotα×sinαtanα=sinα×secαcotα=cosα×cscαsecα=tanα×cscαcscα=secα×cotα
倒数关系:
tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1
商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·[1]三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数:
cosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβsinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβtanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβtanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ
·三角和的三角函数:
sinα+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcosα+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtanα+β+γ=tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα
·辅助角公式:
Asinα+Bcosα=A²+B²^1/2sinα+t,其中sint=B/A²+B²^1/2cost=A/A²+B²^1/2tant=B/AAsinα-Bcosα=A²+B²^1/2cosα-t,tant=A/B
·倍角公式:
sin2α=2sinα·cosα=2/tanα+cotαcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan2α=2tanα/[1-tan²α]
·三倍角公式:
sin3α=3sinα-4sin³α=4sinα·sin60+αsin60-αcos3α=4cos³α-3cosα=4cosα·cos60+αcos60-αtan3α=tana·tanπ/3+a·tanπ/3-a
·半角公式:
sinα/2=±√1-cosα/2cosα/2=±√1+cosα/2tanα/2=±√1-cosα/1+cosα=sinα/1+cosα=1-cosα/sinα
·降幂公式
sin²α=1-cos2α/2=versin2α/2cos²α=1+cos2α/2=covers2α/2tan²α=1-cos2α/1+cos2α
·万能公式:
sinα=2tanα/2/[1+tan²α/2]cosα=[1-tan²α/2]/[1+tan²α/2]tanα=2tanα/2/[1-tan²α/2]
·积化和差公式:
sinα·cosβ=1/2[sinα+β+sinα-β]
cosα·sinβ=1/2[sinα+β-sinα-β]
cosα·cosβ=1/2[cosα+β+cosα-β]
sinα·sinβ=-1/2[cosα+β-cosα-β]
·和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[α+β/2]cos[α-β/2]sinα-sinβ=2cos[α+β/2]sin[α-β/2]cosα+cosβ=2cos[α+β/2]cos[α-β/2]cosα-cosβ=-2sin[α+β/2]sin[α-β/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos²α
1-cos2α=2sin²α
1+sinα=sinα/2+cosα/2²
·其他:
sinα+sinα+2π/n+sinα+2π*2/n+sinα+2π*3/n+……+sin[α+2π*n-1/n]=0
cosα+cosα+2π/n+cosα+2π*2/n+cosα+2π*3/n+……+cos[α+2π*n-1/n]=0以及
sin²α+sin²α-2π/3+sin²α+2π/3=3/2
tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0
cosx+cos2x+...+cosnx=[sinn+1x+sinnx-sinx]/2sinx
证明:
左边=2sinxcosx+cos2x+...+cosnx/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sinn-2x+sinn+1x-sinn-1x]/2sinx积化和差
=[sinn+1x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx=-[cosn+1x+cosnx-cosx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/-2sinx
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cosn-2x+cosn+1x-cosn-1x]/-2sinx
=-[cosn+1x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
等式得证
[编辑本段]三角函数的诱导公式
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin2kπ+α=sinα
cos2kπ+α=cosα
tan2kπ+α=tanα
cot2kπ+α=cotα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sinπ+α=-sinα
cosπ+α=-cosα
tanπ+α=tanα
cotπ+α=cotα
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin-α=-sinα
cos-α=cosα
tan-α=-tanα
cot-α=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sinπ-α=sinα
cosπ-α=-cosα
tanπ-α=-tanα
cotπ-α=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin2π-α=-sinα
cos2π-α=cosα
tan2π-α=-tanα
cot2π-α=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sinπ/2+α=cosα
cosπ/2+α=-sinα
tanπ/2+α=-cotα
cotπ/2+α=-tanα
sinπ/2-α=cosα
cosπ/2-α=sinα
tanπ/2-α=cotα
cotπ/2-α=tanα
sin3π/2+α=-cosα
cos3π/2+α=sinα
tan3π/2+α=-cotα
cot3π/2+α=-tanα
sin3π/2-α=-cosα
cos3π/2-α=-sinα
tan3π/2-α=cotα
cot3π/2-α=tanα
以上k∈Z
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知A+B=π-C
所以tanA+B=tanπ-C
则tanA+tanB/1-tanAtanB=tanπ-tanC/1+tanπtanC
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:
当α+β+γ=nπn∈Z时,总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
设a=x,y,b=x',y'。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=x+x',y+y'。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:
a+b=b+a;
结合律:
a+b+c=a+b+c。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”
a=x,yb=x',y'则a-b=x-x',y-y'.
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:
按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向λ>0或反方向λ<0上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向λ>0或反方向λ<0上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:
λa·b=λa·b=a·λb。
向量对于数的分配律第一分配律:
λ+μa=λa+μa.
数对于向量的分配律第二分配律:
λa+b=λa+λb.
数乘向量的消去律:
①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义:
两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。
定义:
两个向量的数量积内积、点积是一个数量,记作a·b。
若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:
a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率
a·b=b·a交换率;
a+b·c=a·c+b·c分配率;
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:
a·b·c≠a·b·c;例如:
a·b^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:
由a·b=a·ca≠0,推不出b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义:
两个向量a和b的向量积外积、叉积是一个向量,记作a×b。
若a、b不共线,则a×b的模是:
∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:
垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。
若a、b共线,则a×b=0。
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
λa×b=λa×b=a×λb;
a+b×c=a×c+b×c.
注:
向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
①当且仅当a、b反向时,左边取等号;
②当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时,左边取等号;
②当且仅当a、b反向时,右边取等号。
定比分点
定比分点公式向量P1P=λ·向量PP2
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ,使向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1x1,y1,P2x2,y2,Px,y,则有
OP=OP1+λOP21+λ;定比分点向量公式
x=x1+λx2/1+λ,
y=y1+λy2/1+λ。
定比分点坐标公式
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA+GB+GC=0,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a·b=0。
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
还有注意一点,不要把点写成叉
圆锥曲线里的弦长公式
d=根号1+k^2|x1-x2|=根号1+k^2根号[x1+x2^2-4x1x2]=根号[x1-x2^2+y1-y2^2]
圆里相交直线所构成的弦长m,与圆的半径r,圆心到直线的距离d的关系为
m/2^2+d^2=r^2
直线
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
平行的充要条件是A1B2+A2B1=0且B1C2+B2C1不等于0
点到直线的距离公式
d=|Ax0+By0+C|/根号A^2+B^2
若平行
则d=|c2-c1|/根号A^2+B^2
A和B上下两个式子必须相等
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