高等数学常微分方程的基础知识和典型例题.docx
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高等数学常微分方程的基础知识和典型例题
高等数学:
常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程
一、一阶微分方程的可解类型
（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程
1.（05,4分）微分方程xy'+2y=xlnx满足y
（1）=-的解为_________.
2
dy2⎰xdx2
分析：
这是一阶线性微分方程原方程变形为.+y=lnx,两边乘e=x得
dxx
d
x2y）=x2lnx.
dx
111
积分得x2y=C+⎰x2lnxdx=C+⎰lnxdx3=C+x3lnx-x3.
339
111
由y
（1）=-得C=0⇒y=xlnx-x.
939
1
9
2.（06,4分）微分方程y'=
y（1-x）
的通解为————.x
分析：
这是可变量分离的一阶方程，分离变量得
dy1
=（-1）dx.积分得lny=lnx-x+C1，即y=eC1xe-x.
yx因此，原微分方程的通解为y=Cxe-x,其中C为任意常数.
（二）奇次方程与伯努利方程
1.（97,2,5分）求微分方程（3x+2xy-y）dx+（x-2xy）dy=0的通解.
2
2
2
解：
所给方程是奇次方程.令y=xu,则dy=xdu+udx.代入原方程得3（1+u-u2）dx+x（1-2u）du=0.
1-2u3
分离变量得du=-dx,
1+u-u2x
积分得ln+u-u2=-3lnx+C1,即1+u-u2=Cx-3.以u=
yC代入得通解x2+xy-y2=.xx
⎧⎪（ydx-xdy=0（x>0）,2.（99,2,7分）
求初值问题⎨的解.
⎪⎩yx=1=0
解：
所给方程是齐次方程（因dx,dy的系数（y与（-x）都是一次齐次函数）.令dy=xdu+udx,带入得
x（u-x（xdu+udx）=0,化简得-xdu=0.
dx分离变量得x积分得lnx-ln（u=C1,即u+=Cx.以
u=
y
代入原方程通解为=Cx2.x
122
=0,得C=1.故所求解为=x，或写成y=（x-1）.x=1
2
再代入初始条件y
（三）全微分方程练习题
（94,1,9分）设f（x）具有二阶连续导数，f（0）=0,f'（0）=1,且
[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f'（x）+x2y]dy=0为一全微分方程，求f（x）以及全微分方程的通解
解：
由全微分方程的条件，有
∂∂[xy（x+y）-f（x）y]=[f'（x）+x2y],∂y∂x
即x2+2xy-f（x）=f''（x）+2xy,亦即f''（x）+f（x）=x2.
2
⎧⎪y''+y=x
因而f（x）是初值问题⎨
⎪⎩yx=0=0,y'
f（x）=2cosx+sinx+x2-2.
的解，从而解得=1x=0
原方程化为[xy2+2y-（2cosx+sinx）y]dx+（x2y+2x-2sinx+cosx）dy=0.先用凑微分法求左端微分式的原函数：
11
（y2dx2+x2dy2）+2（ydx+xdy）-yd（2sinx-cosx）-（2sinx-cosx）dy=0,221
d[x2y2+2xy+y（cosx-2sinx）]=0.2
1
其通解为x2y2+2xy+y（cosx-2sinx）=C.
2
（四）由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程
4.（98,3分）已知函数y=y（x）在任意点x处的增量∆y=
y
∆x+α,当∆x→0时,2
1+x
α是∆x的高阶无穷小，y（0）=π，则y
（1）等于（）
π
π
（A）2π.（B）π.（C）e4.（D）πe4.
分析：
由可微定义，得微分方程y'=
y
.分离变量得2
1+x
dydxarctanx
'=,两边同时积分得lny=arctanx+C,即y=Ce.2
y1+x
代入初始条件y（0）=π，得C=π，于是y（x）=πearctanx,
π
由此，y
（1）=πe4.应选（D）
二、二阶微分方程的可降阶类型
5.（00,3分）微分方程xy''+3y'=0的通解为_____
分析：
这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令y'=P（x），则y''=P'，方程可化为一阶线性方程C03
xP'+3P=0,标准形式为P'+P=0，两边乘x3得（Px3）'=0.通解为y'=P=3.
xxC2
再积分得所求通解为y=2+C1.
x
6.（02,3分）微分方程yy''+y'2=0满足初始条件y分析：
这是二阶的可降阶微分方程.令y'=P（y）（以y为自变量），则y''=代入方程得yP
'x=0=1，y
1
=的特解是_____x=0
2
dy'dPdP==P.dxdxdy
x=0
dP2dP
+P=0，即y+P=0（或P=0,，但其不满足初始条件y'dydydPdy
分离变量得+=0,
Py
C
积分得lnP+lny=C'，即P=1对应C1=0）；
y
11
由x=0时y=1，P=y'=,得
C1=，于是
22
1
y'=P=,2ydy=dx,积分得y2=x+C2.
2y又由y
x=0
1=）.2
=1得C2.=1，所求特解为y=
三、二阶线性微分方程
（一）二阶线性微分方程解的性质与通解结构
7.（01,3分）设y=ex（C1sinx+C2cosx）（C1,C2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____.
分析一：
由通解的形式可得特征方程的两个根是r1，r2=1±i，从而得知特征方程为（r-r1）（r-r2）=r2-（r1+r2）r+r1r2=r2-2r+2=0.由此，所求微分方程为y''-2y'+2y=0.
分析二：
根本不去管它所求的微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解y=ex（C1sinx+C2cosx）求得y'=ex[（C1-C2）sinx+（C1+C2）cosx],y''=ex（-2C2sinx+2C1cosx）,从这三个式子消去C1与C2,得y''-2y'+2y=0.
（二）求解二阶线性常系数非齐次方程
9.（07,4分）二阶常系数非齐次线性微分方程y''-4y'+3y=2e2x的通解为y=_____
分析：
特征方程λ2-4λ+3=（λ-1）（λ-3）=0的根为λ=1,λ=3.
非齐次项eαx,α=2不是特征根，非齐次方程有特解y*=Ae2x.代入方程得（4A-8A+3A）e=2e⇒A=-2.因此，通解为y=C1ex+C2e3x-2e2x..
2x
2x
10.（10,10分）求微分方程y''-3y'+2y=2xex的通解.
分析：
这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.
1︒由相应的特征方程λ2-3λ+2=0,得特征根λ1=1,λ2=2⇒相应的齐次方程的通解为y=C1ex+C2e2x.
2︒非齐次项f（x）=2xeαx,α=1是单特征根，故设原方程的特解y*=x（ax+b）ex.
代入原方程得ax2+（4a+b）x+2a+2b-3[ax2+（2a+b）x+b]+2（ax2+bx）=2x,即-2ax+2a-b=2x,⇒a=-1,b=-2.
3︒原方程的通解为y=C1ex+C2e2x-x（x+2）ex,其中C1，C2为两个任意常数.
（三）确定二阶线性常系数非齐次方程特解的类型
（04，2,4分）微分方程y''+y'=x2+1+sinx的特解形式可设为（）
（A）y*=ax2+bx+c+x（Asinx+Bcosx）.（B）y*=x（ax2+bx+c+Asinx+Bcosx）.（C）y*=ax2+bx+c+Asinx.（D）y*=ax2+bx+c+Acosx.
分析：
相应的二阶线性齐次方程的特征方程是λ2+1=0,特征根为λ=±i.
由线性方程解的迭加原理，分别考察方程y''+y=x2+1（）与1y''+y=sinx
（2）
方程
（1）有特解y*=ax2+bx+c,方程
（2）的非齐次项f（x）=eαxsinβx=sinx（α=0,β=1，
α±iβ是特征根）,它有特解y*=x（Asinx+Bcosx）.
因此原方程有特解y*=ax2+bx+c+x（Asinx+Bbcosx）.应选（A）.
（四）二阶线性变系数方程与欧拉方程
d2ydy12.（04,4分）欧拉方程x+4x+2y=0（x>0）的通解为_______.
dx2dx
2
分析：
求解欧拉方程的方法是：
作自变量x=et（t=lnx），将它化成常系数的情形：
d2ydyd2ydy
+（4-1）+2y=0,即+3+2y=0.dx2dtdt2dt
相应的特征方程λ2+3λ+2=0,特征根λ1=-1,λ2=-2,通解为y=C1e-t+C2e-2t.因此，所求原方程的通解为y=
C1C2
+,其中C1,C2为任意常数.xx2
（05,2,12分）用变量代换x=cost（0
x=0
=1,y'
x=0
=2的特解.
分析：
建立y对t的导数与y对x的导数之间的关系.
2
dydydxdyd2yd2y2dydy2dy==（-sinx）,2=2sint-cost=（1-x）2-x.dtdxdtdxdtdxdxdxdx
d2y
于是原方程化为2+y=0,其通解为y=C1cost+C2sint.
dt
回到x为自变量得y=C1x+C由
y（0）=C2=1⇒C2=1.y'（0）=C1+因此特解为y=2x+四、高于二阶的线性常系数齐次方程
13.（08，4分）在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（）
（A）y'''+y''-4y'-4y=0.（B）y'''+y''+4y'+4y=0.（C）y'''-y''-4y'+4y=0.（D）
y'''-y''+4y'-4y=0.
x=0
=2⇒C1=2.
分析：
从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：
1,±2i（i=，对应的特征方程是（λ-1）（λ+2i）（λ-2i）=（λ-1）（λ2+4）=λ3-λ2+4λ-4=0,因此所求的微分方程是y'''-y''+4y'-4y=0，选（D）.
（00,2,3分）具有特解y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是（）
（A）y'''-y''-y'+y=0.（B）y'''+y''-y'-y=0.（C）y'''-6y''+11y'-6y=0.（D）y'''-2y''-y'+2y=0.
分析：
首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1=r2=-1,r3=1，从而特征方程为（r+1）2（r-1）=0,即r3+r2-r-1=0,由此，微分方程为y'''+y''-y'-y=0.应选（D）.五、求解含变限积分的方程
（00,2,8分）函数y=f（x）在[0,+∞）上可导，f（0）=1，且满足等式1x
f（t）dt=0，⎰0x+1
（1）求导数f'（x）；
（2）证明：
当x≥0时,成立不等式e-x≤f（x）≤1.f'（x）+f（x）-
求解与证明（）首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分：
1（x+1）f'（x）+（x+1）f（x）-⎰f（t）dt=0,（x+1）f''（x）+（x+2）f'（x）=0.
0x
在原方程中令变限x=0得f'（0）+f（0）=0,由f（0）=1,得f'（0）=-1.
x+2
现降阶：
令u=f'（x）,则有u'+u=0，解此一阶线性方程得
x+1
e-x
f'（x）=u=Cu=0
x+1
e-x
由f'（0）=-1,得C=-1,于是f'（x）=-.
x+1e-x
（2）方法1︒用单调性.由f'（x）=--
x+1
x-x
又设φ（x）=f（x）-e-x,则φ'（x）=f'（x）+e-x=e≥0（x≥0）,φ（x）单调增，因此φ（x）
x+1
≥φ（0）=0（x≥0）,即f（x）≥e-x（x≥0）.综上所述，当x≥0时,e-x≤f（x）≤1.
方法2︒用积分比较定理.由牛顿-莱布尼茨公式，有f（x）-f（0）=⎰f'（t）dt,f（x）=1-⎰
0x
x0
e-t
.t+1
-txexe-t-t
由于0≤≤e（t≥0）,有0≤⎰≤⎰e-tdt=1-e-x（x≥0）.
0t+10t+1
从而有e-x≤f（x）≤1.
六、应用问题
（一）按导数的几何应用列方程练习题
1.（96,1,7分）设对任意x>0,曲线y=f（x）上点（x,f（x））处的切线在y轴上的截距等于
1x
f（t）dt,求f（x）的一般表达式.x⎰0
解：
曲线y=f（x）上点（x,f（x））处的切线方程为Y-f（x）=f'（x）（X-x）.
令X=0得y轴上的截距Y=f（x）-xf'（x）.由题意1x
f（t）dt=f（x）-xf'（x）⎰0x
（含有未知函数及其导数与积分的方程），为消去积分，两边乘以x,得
⎰
x
f（t）dt=xf（x）-xf'（x）（*）
2
恒等式两边求导，得f（x）=f（x）+xf'（x）-2xf'（x）-x2f''（x），即xf''（x）+f'（x）=0
在（*）式中令x=0得0=0,自然成立.故不必再加附加条件.就是说f（x）是微分方程xy''+y'=0
C
的通解.令y'=P（x）,则y''=P',解xP'+P=0,得y'=P=1.
x
再积分得y=f（x）=C1lnx+C2.
2.（98,2,8分）设y=y（x）是一向上凸的连续曲线,其上任意一点（x,y）且此曲线上点（0,1）处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程，并求函数y=y（x）的极值
.
解：
由题设和曲率公式有''=
（因曲线y（x）向上凸,y''
y''
=-1.2'1+y
P'
=-1，1+P2
dP
=-dx,积分得arctanP=-x+C1.1+P2
由题意可知y'（0）=1即P（0）=1,代入可得C1=y'=P=tan（-x）.
4
π
4
，故
π
再积分得y=lncos（-x）+C2
4
1
又由题设可知y（0）=1,代入确定C2=1+ln2，故有
2
π1
y=lncos（-x）+1+ln2
42ππππ3ππ3
当-0,而当x→-或π时,
24244444cos（-x）→0,lncos（-x）→-∞，故所求的连续曲线为44
π1π3
y=lncos（-x）+1+ln2（-
4244ππ1π3
显然，当x=时,lncos（-x）=0,y取最大值1+ln2,显然y在（-π），没有极小值.
44244
（二）按定积分几何应用列方程
π
ππ
3.（97,2,8分）设曲线L的极坐标方程为r=r（θ）,M（r,θ）为L上任一点,M0（2,0）为L上一定点
若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0、M两点间弧长值的一半，
求曲线L的方程.
解：
由已知条件得
1θ21θrdθ=θ，⎰⎰0022
两边对θ求导,，得r2=,解出r'=±=±dθ.
1
d（）
11由于=-=arccos,或=⎰dt=t=arccos（r=sect）
rr1
两边积分，得arccos=±θ+C
r
1π1π
代入初始条件
r（0）=2，得C=arccos=,⇒arccos=±θ.
23r31π1即L的极坐标方程为=cos（±θ）=cosθθ，
r32从而，L的直角坐标方程为x=2.
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