圆的标准方程教学设计.docx
《圆的标准方程教学设计.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《圆的标准方程教学设计.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
圆的标准方程教学设计
《圆的标准方程》教学设计
(教师用)
成都市洛带中学柳青
教材分析
本节内容位于曲线的方程和方程之后,是求具体曲线的方程。
同时,本节课的研究方法为以后学习椭圆、双曲线、抛物线提供了一个基本模式,因此,可以把圆看作是圆锥曲线的前奏曲。
学情分析
圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后,又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅,且对坐标法的运用还不够熟练,在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.
教法分析
为了充分调动学生学习的积极性,本节课采用“问题-探究”教学法,用环环相扣的问题将探究活动层层深入,使教师总是站在学生思维的最近发展区上.
学法分析
通过推导圆的标准方程,加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程,理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程,熟悉用待定系数法求解的过程.
根据上述分析,考虑到学生已有的认知结构和心理特征,我制定如下教学目标:
教学目标
基础目标:
(1)理解圆的标准方程的推导;
(2)掌握圆的标准方程。
会根据圆的方程,求圆心和半径;反之,会根据圆心和半径写圆的标准方程;
(3)根据不同条件建立圆的标准方程,以及运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题;
(4)进一步熟悉求曲线方程的方法。
提高目标:
培养学生数形结合,由特殊到一般的数学思想;加深对待定系数法的理解;促进学生自主的、创造性的学习。
体验目标:
通过利用已学知识学会分析、解决问题,品尝成功的喜悦,增强学生学习数学的兴趣,并激发学生学习数学的自信心。
教学重点与难点
(1)重点:
圆的标准方程的求法及其应用.
(2)难点:
会根据不同的已知条件求圆的标准方程
教学过程
一、复习引入
1、课前复习填写学案(学案见附录)
教师设问:
求曲线方程的一般步骤
圆的定义
两点间的距离公式
学生回答问题,为圆的标准方程的推导作好准备。
2、创设情景引入新课
教师准备一圆拱模型和卡车模型,作卡车穿过拱桥的实验。
教师设问:
装有货物的卡车能否穿过拱桥?
与那些因素有关?
学生通过观察,找到与圆拱有关,引入新课:
研究圆的方程
二、探究学习
(一)圆的标准方程
1、教师预设:
让学生画圆
学生活动:
学生各画一个圆并比较,让学生亲身感知决定圆的要素,说明圆心和半径确定一个圆;
2、教师预设:
学生画出以(2,3)为圆心,2为半径的圆;圆确定了,圆的方
程也就确定了。
学生推导该圆的方程
教师在学生基础上梳理思路,强调建立方程的依据。
3、由特殊到一般,得出以(a,b)为圆心,半径为r的圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
教师引导学生观察方程,分析、归纳出方程的特征。
方程特征:
(1)二元二次方程,x,y的系数均为1;
(2)含有a,b,r三个参数;
(3)已知方程可以找出圆心和半径。
4、随堂练习
教师预设:
练习1找出下列圆的圆心和半径
(1)x2+(y+1)2=16
(2)(2x-2)2+(2y+4)2=4
(3)(x+1)2+(y+2)2=m2
学生练习,根据圆的方程找圆心和半径,完成后,学生作答。
教师据学生情况点评。
教师预设:
练习2写出下列各圆的方程
(1)、圆心在原点,半径为r
(2)、经过在点(5,1),圆心在点(8,-3)
学生完成练习并自评,初步体验求圆的标准方程,关键是找到圆心和半径。
(二)例题分析
教师预设:
在练习2基础上巩固提高,根据不同条件求圆的标准方程
例1写出圆心在点(1,3),且与x轴相切的圆的方程。
学生先独立思考,教师在作提示,强调数形结合的思想。
教师口头作简单变式,将X轴改为Y轴。
学生说出答案,再由特殊到一般。
变式:
求以C(1,3)为圆心,和3x-4y-7=0相切的圆。
学生独立完成变式,师作简要点评。
教师预设:
已知切线可求圆的方程,反之,已知圆的方程,如何来求切线的方程呢?
例2已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(3,4)的切线方程。
学生活动:
学生先独立思考,再和其他同学讨论,看能找出几种解法。
教师活动:
教师巡视,了解学生情况,参与到学生的讨论中。
教师请学生展示各自解法,并对学生的解法作出评价,从中提炼出渗透的数学思想和方法,如:
数形结合,待定系数等。
教师预设:
一题多变,改变点的位置,若点在坐标轴上。
变式1:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(5,0)的切线方程。
学生活动:
作图直接写出切线的方程
教师预设:
由特殊到一般,根据以上两问启发学生分类讨论。
变式2:
已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程。
学生活动:
写出切线方程。
教师归纳分类讨论的依据。
教师预设:
若圆上的点改在圆外,切线有几条?
怎样求?
变式3:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点M(1,7)的切线方程。
变式4:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点M(5,3)的切线方程。
学生活动:
思考问题
师强调,待定系数时注意斜率存在。
课后思考题:
解决本节引入提出的问题
三、小结:
1、掌握圆的标准方程
2、运用圆的标准方程解决一些简单问题
四、课堂练习
1、圆(2x-2)2+(2y-4)2=(-3)2的圆心为——————————,半径为———————————————.
2、圆心在x轴上且与y轴相切,半径为2的圆的标准方程为————————————
3、圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————
4、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程是—————————————————
五、布置作业,学生整理消化
习题7、61、2、3、4
六、板书设计
圆的标准方程
一、复习
二、圆的标准方程例1例2
(x-a)2+(y-b)2=r2
C(a,b)圆心,r半径
附录:
《圆的标准方程》学案(学生用)
一、复习旧知识
1、求曲线方程的一般步骤——————————————————
2、圆的定义——————————————————
3、两点间的距离公式——————————————————
二、圆的标准方程是————————————,其中————————————
练习1找出下列圆的圆心和半径
(1)x2+(y+1)2=16
(2)(2x-2)2+(2y+4)2=4
(3)(x+1)2+(y+2)2=m2
练习2写出下列各圆的方程
(1)、圆心在原点,半径为r
(2)、经过在点(5,1),圆心在点(8,-3)
例题分析
例1、写出圆心在点(1,3),且与x轴相切的圆的方程
变式:
求以C(1,3)为圆心,和3x-4y-7=0相切的圆。
例2、已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(3,4)的切线方程
变式1:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(5,0)的切线方程。
变式2:
已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程。
变式3:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点M(1,7)的切线方程。
变式4:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点M(x0,y0)的切线方程。
课后思考题:
解决本节引入提出的问题
三、课堂检测
5、圆(2x-2)2+(2y-4)2=(-3)2的圆心为——————————,半径为———————————————.
6、圆心在x轴上且与y轴相切,半径为2的圆的标准方程为————————————
7、圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————
8、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程是—————————————————
课后研究
研究材料一:
《圆的标准方程》课堂实录
(一)复习旧知
师:
前面我们学习了方程的曲线和曲线的方程,同学们还记得求曲线方程的方法吗?
生:
(沉默片刻,齐答)记得
师:
哪几步?
生:
建系、设点
师:
设哪个点?
生:
曲线上的任意一点
师:
好!
第三步(示意学生继续回答)
生:
找等量关系
师:
第四步(话音刚落)
生:
列式、化简
师:
所得方程就是该曲线的方程。
(强调)坐标系是求曲线方程的基本工具。
师:
(紧接着问)初中我们就学过了圆,圆是如何定义的?
生回忆中
师用手比划画圆的动作提示
生:
(答)到定点的距离等于定长的点的轨迹
师:
(补充)或点的集合
师:
第三个问题:
两点间的距离公式又是怎样的?
生:
|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
师在学生回答的同时写出公式。
师:
这些都是我们前面学过的知识,下面请同学们看一下我手里的这个模型。
(二)引入新课
师拿出一个类似圆拱型的桥洞模型和一个代替卡车的盒子,做卡车穿过圆拱的示范。
师:
卡车上装有较高的货物,那么,卡车能穿过吗?
与那些因素有关?
生:
卡车的高和圆拱的高
师:
卡车的货物可以临时调整,但拱桥是事先修建好的,所以最重要的是了解圆拱的高。
圆拱的高既是圆的——(等待学生的回答)
生:
圆的直径。
师:
那么本节课我们就来研究圆的方程(板书课题)(这里创设的情境与本节课的直接系不是很大!
未能体现出为什么要学习园的方程的必要性)
(三)探求圆的标准方程
1、让学生直观感知决定圆的要素
师:
请同学们拿出草稿本,画上直角坐标系,取1厘米为单位长度。
然后,在你的坐标系中随心所欲的画上一个圆。
(师巡视学生画圆的情况)
师:
同学们相互看一下,你们画的圆一样吗?
生:
不一样
师:
(疑惑地)为什么会不一样呢?
生:
(个别学生)因为人不一样
师:
(微笑地)对呀,人不同画的圆就有不同,有的在左边,有的在右边,有的在上面,有的在下面,还有的在中间,在坐标轴上,有的大,有的小,等等(语速较快)。
导致这些情况的根本原因是什么呢?
生:
圆心和半径
师:
(高兴地)非常好!
圆心定位置,半径定大小
请同学们再画一个以(2,3)为圆心,2为半径的圆。
师待学生画好后
师:
看一下,这次你们画出的圆一样吗?
生:
一样
师:
因为
生:
圆心和半径都确定了
2、推导圆的标准方程
师:
由曲线的方程和方程的曲线的概念我们应该知道,既然这个圆已经确定了,那么,它的方程也是确定的,这个方程是什么呢?
请大家马上求该园的方程。
学生独自找探究求该圆的方程,师巡视了解学生情况。
待学生完成,请学生作答
学生甲:
(x-2)2+(y-3)2=4
师(追问):
怎么得到的?
生口答推导过程,师将其板书在黑板上,并强调P(x,y)是圆上的任意一动点,用到了求曲线方程的基本步骤。
师:
上面是特殊情况,若我将圆心(2,3)改为(a,b),半径2改为r,此时的方程又是什么呢?
生:
(x-a)2+(y-b)2=r2
师:
该方程就称为圆的标准方程。
大家看一下这个方程有什么特征,能帮助我们理解和记忆?
生思考
生1:
左边是平方和,右边是r的平方。
有点像勾股定理。
生2:
a,b是圆心的纵横坐标,r是圆的半径。
生3:
x,y是变量,a、b、r是常数。
师:
大家观察的仔细,圆的方程确实有点相勾股定理的形式,但它并不是勾股定理。
它的实质是两点间的距离公式。
大家要明确方程中各个字母的含义。
可根据圆的定义和推导的方法来记忆,现在大家闭上眼睛默记一下它的形式与特征。
3、即学即练,熟悉圆的标准方程。
师:
已知圆的标准方程,我们就能够找出圆心和半径。
请同学们马上完成练习1。
学生练习,师巡视,待学生完成,抽学生作答。
针对学生回答情况,师作强调和补充。
师:
已知圆的标准方程,能够找出圆心和半径;反之,我们能否写出圆的标准方程呢?
学生练习2
学生自评练习2,师强调,求圆方程的关键是找圆心和半径。
4、层层深入,例题分析
师:
接下来我们再看一下如何根据已知条件求圆的标准方程。
给出例1。
例1:
写出圆心在点(1,3),且与x轴相切的圆的方程。
请同学们先思考,并在草稿本上演算。
片刻后,发现有的学生无从下手
师提示:
关键是找什么?
生:
半径
师:
大家在做题时别忘了作个图,利用图形帮助你分析
生马上作出图形找到了半径,问题解决。
师:
这里我们利用图形帮我们很快找出了解题的思路,这就是我们经常要用到的一种重要的数学思想方法——数形结合的思想。
师:
看图,若该圆与y轴相切,半径是多少?
生:
1
师:
OK!
你看,圆要么与x轴相切,要么与y轴相切,都很特殊,如果是与任意的一条直线相切呢?
出示变式题:
变式:
求以C(1,3)为圆心,和3x-4y-7=0相切的圆的方程。
学生完成例1的变式题
生:
点到直线的距离即为圆的半径,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=(16/5)2
师:
很好,那么根据圆心和切线,我们可以求出圆的标准方程,反过来,已知圆的方程,我能否求出切线的方程呢?
比如下面的例2。
例2、已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(3,4)的切线方程
请大家先独立思考,找出思路,再和其他同学讨论一下,看谁找出的方法最多。
学生思考讨论中,师巡视。
师:
很多同学都已经完成了,好,我们一起来分享大家的解法。
(学生举手)
生甲:
可求直线OM的斜率,进而找到切线的斜率,再借助点斜式写出切线的方程。
(师根据学生回答在黑板上板书过程)
师:
好的,不错。
还有没有其它的解法?
学生乙:
设切线的斜率为K,写出切线方程,在用点到直线的距离等于半径列等量关系,求出K的值。
师:
这种方法称为——
生:
待定系数法
师:
这也是我们经常用到的一种数学方法,还有没有其它方法?
学生丙:
还可以用向量
师:
向量怎么解?
学生丙:
切线上任取一点P(x,y),就有OM•MP=0
师:
哦,所得方程就是切线方程,这种解法再次体现了我们求曲线方程的几个基本步骤。
还有没有其它解法?
生迟疑
师在黑板上比划直角三角形。
生:
还可以用勾股定理建立等量关系
师:
前两法我们是待定系数求K,后两法主要依据求曲线方程的方法。
对于前两法我们求K,是因为K存在,如果K不存在呢?
你还求得出K吗?
比如:
将点M(3,4)变为点M(5,0),此时切线方程又是多少?
学生作出图形,马上口答
生:
切线方程是x=5
师:
如M为(0,-5)呢?
生:
y=-5
师:
此时还需要求斜率K吗?
生:
不需要
师:
说明点M的位置很重要。
好,我们现在将以上特殊情况推广到一般情况,即变式练习2,请同学们完成。
变式练习:
变式1:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(5,0)的切线方程。
变式2:
已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程。
变式3:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点M(1,7)的切线方程。
变式4:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点M(x0,y0)的切线方程
学生思考变式练习2,师了解学生情况,给个别学生答疑。
(大部分学生完成)
师:
找到切线方程没有?
生:
找到了
师:
是多少
生丁:
要分类,看斜率是否存在,斜率存在时就和例1一样,斜率不存在时就直接写出切线方程
师:
非常好!
这里我们用到了分类讨论的思想,而分类的依据是因为点M的位置不确定,所以要看点M是否在坐标轴上。
现在大家回顾整理一下本题的解题思路(给学生留片刻时间整理本题思路)
师:
我们刚才的点都是在圆上的,如果点M在圆外呢?
这时,切线的方程又该怎样来找呢?
请同学们下来思考例2的变式3和变式4,下节课我们再来解决这个问题。
师:
好,请同学们抬起头来,闭上眼睛,回忆一下本节课所学的内容。
学生准备好
:
师:
(轻声地,慢慢地)一是圆的标准方程,它的推导思路和它的特征;二是根据已知条件求圆的标准方程;三是运用圆的标准方程解决一些简单的问题。
停顿片刻
师:
本节课的内容你都掌握了吗?
请同学们马上完成课堂练习,自我检测。
下课了,学生还没有做完,请同学们下来继续完成。
研究材料二:
教学反思
圆的标准方程,这节内容我安排了两节课的时间,这节课主要是圆的标准方程的推导和一些简单的运用。
在平面解析几何中,我认为这节内容很重要,因为它的研究方法为以后学习圆锥曲线提供了一个基础模式,如果学生掌握得好,后面的学习会轻松许多。
由于我所面对的学生初中数学基础还不错,所以在简要复习旧知识后,我引入了生活中的一个常见问题引发学生的疑问,产生认知冲突形成愤悱的氛围,进而提高学生学习本节内容的兴趣。
圆的标准方程是求曲线方程的一个具体表现,但学生对圆的标准方程还是很陌生,难以将圆与圆的标准方程紧密联系起来。
基于此,我想通过学生的切身体验;来发现圆的决定要素,让学生明确一个圆对应一个方程,在此基础上借助求曲线方程的基本步骤,由学生自主探究推导出以(2,3)为圆心,2为半径的圆的标准方程,再由特殊到一般,利用化归的思想归纳出以(a,b)为圆心,r为半径的圆心的标准方程。
并引导学生找出方程的特征,以帮助学生理解和记忆,及时掌握。
例题教学的设计,还是紧密围绕圆的标准方程这一目标展开,主要加深对圆的标准方程的理解及一些简单的应用。
例题安排不多,但变式较多,变式的设计由特殊到一般,由简到繁,由浅入深,层层入深,让学生的思维得以提高,比较符合学生的认知规律,这样学生接受起来比较容易。
课堂练习,是对本节课目标落实情况的检测,让学生明确本节课应该到达什么样的目标,题不多,很基础,主要是激发学生的兴趣和增强学习的自信。
整个教学设计,我的希望是以学生自主学习为主,所以很多问题都由学生独立思考或讨论完成,教师仅仅是一个引路人,让学生的主体地位得到充分体现,注重学生思维的形成过程,并将数学思想方法渗透到教学中。
总的来说,这节课几乎是按自己的教学设计在进行,而且顺利地完成了。
应该说在学生动手,双基落实方面还不错,学生的活动也比较充分,教师仅是及时的引导和点评,让学生的主体性得到了较为充分的体现。
另外,在教学中不断的渗透数学思想和方法,让学生思维得到提升。
当然,这节课还有很多不足的地方。
比如:
在变式练习时,未写出切线的方程,缺乏解题和板书的完整性;另外,后面的课堂练习也没有得到及时的反馈,这是较遗憾的。
从这堂课的教学设计和教学的过程中,我得到了锻炼和提高,这对我在今后的教学有很大的帮助。