新浙教版九年级数学含答案二次函数培优练习 打印精品资料.docx

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新浙教版九年级数学二次函数培优练习课

（一）

一、重点分析：

知识点：

3.方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的符号与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的位置：

（△>0条件）

方程

函数

条件

ax2+bx+c=0（a≠0）

根的符号

y=ax2+bx+c（a≠0）

与x轴交点的位置

图象（以a>0为例）

x1+x2=0

两根互为相反数

与x轴交点位于原点两侧，且到原点等距离

x1x2=0

至少有一个零根

抛物线过原点

x1x2>0

两根同号

与x轴交点在y轴左侧或右侧

x1x2<0

两根异号

与x轴交点在y轴两侧

x1x2>0

x1+x2>0

两正根

与x轴交点在y轴右侧

x1x2>0

x1+x2<0

两负根

与x轴交点在y轴左侧

x1x2<0

x1+x2>0

两根异号且正根绝对值大

与x轴交点在y轴两侧，且在y轴右侧交点到原点距离较远

x1x2<0

x1+x2<0

两根异号且负根绝对值较大

与x轴交点在y轴两侧，且在y轴左侧交点到原点距离较远

4．直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的交点的个数与

y=kx+b

方程组的解的个数.

y=ax2+bx+c

方程组

及函

条件数

y=kx+b

解的个数

y=ax2+bx+c

直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c

交点的个数

图象（以k>0a>0为例）

△>0

方程组有两个解

直线与抛物线有两个交点

△=0

方程组只有一个解

直线与抛物线只有一个交点

△<0

方程组没有解

直线与抛物线没有交点

二、典型例题

1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,当x=1时，此函数的最小值为-1，且方程ax2+bx+c=0的两根α、β，满足α2+β2=4，求此函数解析式.

说明：

本题将一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根α、β视为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标即（α、0）（β、0）利用根与系数关系求出y=ax2-2ax+a-1中的a.

2．已知抛物线y=x2-2px+p2+q与直线y=-x+1只有一个公共点，且其顶点在另一抛物线y=ax2（a≠0）上，试求a的取值范围.

说明：

本题关键是建立出方程

（1）和

（2），联立

（1）

（2）又建立方程4ap2+4p-5=0,此时视其为关于P的一元二次方程，则a是系数.由于P为任意实数，故△≥0.

3．已知抛物线y=x2+（1-m）x+m2-4与x轴交点在y轴两侧，且与x轴负半轴交点距原点较远，若抛物线解析式各项系数均为整数，求整数m.

分析：

依题意得关于x的方程x2+（1-m）x+m2-4=0的两根一正一负且负根绝对值较大.

说明：

本题在解不等式组时是难点.前面讲过，解一元二次不等式时，先将其化为标准式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，再将不等式左边因式分解，转化为一元一次不等式组解之。

而本题中不等式

（1）3m2+2m-17<0，左边不可直接用十字相乘法因式分解，目前我们可先求出m1=-1，m2=0代入

（1）满足即为所求，否则舍去。

4．若矩形周长为6，设其一边长为x，面积为y，写出y与x之间的函数关系式及自变量取值范围，并求出当x为何值时，矩形面积最大或最小.

含x的代数式

分析：

求面积y与边长x的函数关系，就是根据已知条件建立用含x的代数式表达y的等式即y=

说明：

①求自变量x的取值范围应当考虑：

②利用二次函数求最值是常用方法之一。

二次函数练习课

（一）典型例题答案

1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,当x=1时，此函数的最小值为-1，且方程ax2+bx+c=0的两根α、β，满足α2+β2=4，求此函数解析式.

解：

∵当x=1时函数最小值为-1∴顶点坐标为（1，-1）

设所求函数解析式为：

y=a（x-1）2-1（a>0）

即y=ax2-2ax+a-1

依题意ax2-2ax+a-1=0的两根为α、β.

∴所求函数解析式为：

y=x2-2x

说明：

本题将一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根α、β视为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标即（α、0）（β、0）利用根与系数关系求出y=ax2-2ax+a-1中的a.

2．已知抛物线y=x2-2px+p2+q与直线y=-x+1只有一个公共点，且其顶点在另一抛物线y=ax2（a≠0）上，试求a的取值范围.

解：

∵y=x2-2px+p2+q与y=-x+1只有一个公共点.

∴△=0即（1-2p）2-4（p2+q-1）=0

即4p+4q-5=0

（1）

又y=x2-2px+p2+q=（x-p）2+q

∴顶点坐标为（p，q）且在y=ax2上

∴q=ap2

（2）

将

（2）代入

（1）4p+4ap2-5=0

即4ap2+4p-5=0∵p为任意实数

说明：

本题关键是建立出方程

（1）和

（2），联立

（1）

（2）又建立方程4ap2+4p-5=0,此时视其为关于P的一元二次方程，则a是系数.由于P为任意实数，故△≥0.

3．已知抛物线y=x2+（1-m）x+m2-4与x轴交点在y轴两侧，且与x轴负半轴交点距原点较远，若抛物线解析式各项系数均为整数，求整数m.

分析：

依题意得关于x的方程x2+（1-m）x+m2-4=0的两根一正一负且负根绝对值较大.

解：

依题意得：

△>0

x1x2<0

x1+x2>0

由

（1）得：

3m2+2m-17<0

由

（2）得：

（m+2）（m-2）<0-2

由（3）得：

m<1

综上所述-2

当m1=-1，m2=0时△>0

∴当m1=-1，m2=0时y=x2+（1-m）x+m2-4与x轴交点在y轴两侧，且负半轴交点距原点远.

说明：

本题在解不等式组时是难点.前面讲过，解一元二次不等式时，先将其化为标准式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，再将不等式左边因式分解，转化为一元一次不等式组解之。

而本题中不等式

（1）3m2+2m-17<0，左边不可直接用十字相乘法因式分解，目前我们可先求出m1=-1，m2=0代入

（1）满足即为所求，否则舍去。

4．若矩形周长为6，设其一边长为x，面积为y，写出y与x之间的函数关系式及自变量取值范围，并求出当x为何值时，矩形面积最大或最小.

含x的代数式

分析：

求面积y与边长x的函数关系，就是根据已知条件建立用含x的代数式表达y的等式即y=

解：

∵矩形一边长为x，周长为6，

∴另一边长为3-x

∴y=x（3-x）=-x2+3x

自变量取值范围：

0

又∵y=-x2+3xa=-1<0

说明：

①求自变量x的取值范围应当考虑：

②利用二次函数求最值是常用方法之一。

二次函数练习课

（二）

一、重点讲解

（一）熟练掌握基本知识和基本技能

1．二次函数表达式的三种形式：

①一般式：

y=ax2+bx+c（a≠0）

②顶点式：

y=a（x+m）2+k（a≠0）

③截距式：

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）

说明：

（1）能够根据已知条件选择最简便方法求解析式.

（2）熟练掌握配方法化二次函数一般式为顶点式.

2．求y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标方法：

①配方法化为顶点式

②

4．二次函数平移规律及注意问题：

①

②再平移、平移规律：

左加右减，上加下减.

5．会用五点法画y=ax2+bx+c的图：

7．当自变量给定范围时求二次函数的最值问题。

（二）培养“数形”结合考虑问题的好习惯

二次函数与一元二次方程及几何知识结合的题目很多，要注意运用方程思想，数形结合的思想，这一点在上一节的复习中做了详尽复习.这里要说明的是：

要善于将“几何语言”表示为“数学表达式，如：

y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为P（x,y），与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）若：

顶点在x轴上方，yp>0;顶点在x轴下方，yp<0；顶点在y轴左侧，xp<0；顶点在y轴右侧，xp>0；与x轴交点在y轴左侧，△≥0（x1x2>0，x1+x2<0）；与x轴交点在y轴右侧，△≥0（x1x2>0，x1+x2>0）等。

三、典型例题：

1．已知二次函数图象的顶点为（1，2），与直线y=2x+k相交于（2，-1），求：

（1）二次函数的解析式；

（2）求k值；

（3）求二次函数与直线y=2x+k的另一个交点P及P点到原点距离.

2．二次函数y=x2+px+q的图象通过R（2，-1）点与x轴交于A（a，0），B（b，0），设图象顶点为M，求使△AMB面积最小时二次函数解析式.

分析：

不妨设N=S△AMB，本题是求N的最小值时y=x2+px+q.则应考虑建立N与P（或q）的二次函数关系求出P（或q）的值使N最小.

（2）解二次函数的有关问题时，依题意画出示意图，使条件具体地描述出来，便于分析，求解.

分析：

说明：

由

（1）

（2）（3）的公共部分可画图求解：

分析：

说明：

求两个变量建立一个方程，应考虑将变量移至等式左边使右边为零，再将方程左边变形为两个“非负数”和的形式，便可转化为两个方程，进而求出参数a、b.

5．已知抛物线y=x2-（m2+4）x-2m2-12，求：

（1）求证：

不论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）m为何值时，抛物线与x轴交点间距离为12；

（3）m取何值时，抛物线与x轴交点间距离最小？

最小距离是多少？

分析：

说明：

（2）当抛物线自变量取值范围为全体实数时，其最大（最小）值即为顶点纵坐标.

7．已知x1和x2是方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0（k为实数）的两个实数根，x12+x22的最大值是什么？

分析：

设M=x12+x22，欲求x12+x22的最大值，不妨建立x12+x22与k的函数关系，而x1,x2存在着：

x1+x2=k-2x1x2=k2+3k+5，显然很易建立x12+x22与k的函数关系。

说明：

（1）当二次函数自变量取值范围为某一区间时，函数的最大（最小）值不仅与顶点纵坐标有关还与自变量所取区间的端点的函数值有关.本题M=x12+x22的最大值是当k=-5时

（2）可借助于图来观察更直观：

∵:

M=x12+x22=-k2-10k-6=-（k+5）2+19.

二次函数

（二）典型例题答案

1．已知二次函数图象的顶点为（1，2），与直线y=2x+k相交于（2，-1），求：

（1）二次函数的解析式；

（2）求k值；

（3）求二次函数与直线y=2x+k的另一个交点P及P点到原点距离.

解：

（1）∵顶点为（1，2）

∴设所求抛物线为y=a（x-1）2+2

∵y=a（x-1）2+2过（2，-1）

∴-1=a（2-1）2+2∴a=-3

∴所求抛物线为：

y=-3（x-1）2+2即y=-3x2+6x-1

（2）∵y=2x+k过（2，-1）

∴-1=4+k∴k=-5∴y=2x-5

2．二次函数y=x2+px+q的图象通过R（2，-1）点与x轴交于A（a，0），B（b，0），设图象顶点为M，求使△AMB面积最小时二次函数解析式.

分析：

不妨设N=S△AMB，本题是求N的最小值时y=x2+px+q.则应考虑建立N与P（或q）的二次函数关系求出P（或q）的值使N最小.

解：

依题意画出示意图.

∵抛物线y=x2+px+q与x轴交于A（a;0）B（b,0）

∴a、b是对应方程x2+px+q=0的二根.

∴a+b=-p.ab=q.

∵抛物线y=x2+px+q过R（2，-1）

∴4+2p+q=-1即q=-2p-5

（2）

将

（2）代入

（1）得：

∴当p=-4时q=-[2×（-4）+5]=+3

∴当△AMB面积最小且过R（2，-1）的抛物线y=x2+px+q应为：

y=x2-4x+3

说明：

（2）解二次函数的有关问题时，依题意画出示意图，使条件具体地描述出来，便于分析，求解.

分析：

解：

说明：

由

（1）

（2）（3）的公共部分可画图求解：

分析：

解：

设y=-x2+ax+b-b2的顶点为C（x,y）

说明：

求两个变量建立一个方程，应考虑将变量移至等式左边使右边为零，再将方程左边变形为两个“非负数”和的形式，便可转化为两个方程，进而求出参数a、b.

5．已知抛物线y=x2-（m2+4）x-2m2-12，求：

（1）求证：

不论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）m为何值时，抛物线与x轴交点间距离为12；

（3）m取何值时，抛物线与x轴交点间距离最小？

最小距离是多少？

解：

（1）∵△=[-（m2+4）]2-4（-2m2-12）

∴△=m4+8m2+16+8m2+48

=m4+16m2+64=（m2+8）2

∵不论m为任何实数，m2≥0

∴（m2+8）2>0∴△>0

∴不论m为任何实数，抛物线y=x2-（m2+4）x-2m2-12总与x轴有两个交点.

（2）设抛物线y=x2-（m2+4）x-2m2-12与x轴交于A、B两点

（3）依题意得：

M=AB=m2+8

答：

略.

分析：

解：

∴2a2-16a+32

说明：

（2）当抛物线自变量取值范围为全体实数时，其最大（最小）值即为顶点纵坐标.

7．已知x1和x2是方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0（k为实数）的两个实数根，x12+x22的最大值是什么？

分析：

设M=x12+x22，欲求x12+x22的最大值，不妨建立x12+x22与k的函数关系，而x1,x2存在着：

x1+x2=k-2x1x2=k2+3k+5，显然很易建立x12+x22与k的函数关系。

解：

∵x1，x2是x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0的二根

∴x1+x2=k-2x1x2=k2+3k+5

设M=x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2

∴M=x12+x22=（k-2）2-2（k2+3k+5）

=k2-4k+4-2k2-6k-10

=-k2-10k-6

又△=（k-2）2-4（k2+3k+5）>0

∴3k2+16k+16≤0

∴（k+4）（3k+4）≤0

∴

∴综上可述：

当k=-4时，x12+x22最大值为18.

说明：

（1）当二次函数自变量取值范围为某一区间时，函数的最大（最小）值不仅与顶点纵坐标有关还与自变量所取区间的端点的函数值有关.本题M=x12+x22的最大值是当k=-5时

（2）可借助于图来观察更直观：

∵:

M=x12+x22=-k2-10k-6=-（k+5）2+19.