应用FFT对信号进行频谱分析.docx
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应用FFT对信号进行频谱分析
课程名称：
数字信号处理
实验项目：
应用FFT对信号进行频谱分析
实验地点：
专业班级：
学号：
学生姓名：
ALXB
指导教师：
年月日
实验二应用FFT对信号进行频谱分析
1、实验目的
1、加深对离散信号的DTFT和DFT的及其相互关系的理解。
2、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写。
3、熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。
4、了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际应用中正确应用FFT。
2、实验原理及方法
一个连续信号的频谱可以用它的傅里叶变换表示为
（2—1）
如果对信号进行理想采样，可以得到采样序列：
（2—2）
同样可以对该序列进行Z变换，其中T为采样周期
（2—3）
当Z=
的时候，我们就得到了序列的傅里叶变换
（2—4）
其中
成为数字频率，它和模拟频域的关系为
（2—5）
式中的
是采样频率，上式说明数字频率是模拟频率对采样频率的归一化。
同模拟域的情况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅里叶变换称为序列的频谱。
序列的傅里叶变换和对应的采样信号频谱具有下式的对应关系。
（2—6）
即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。
从上式可看出，只要分析采样序列的频谱,就可以得到相应的连续信号的频谱。
在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。
无限长的序列往往可以用有限长序列来逼近。
对于有限长的序列我们可以用离散傅里叶变换（DFT），这一变换可以很好的反映序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机中实现当序列长度是N时，我们定义离散傅里叶变换为
（2—7）
其中
=
，它的反变换定义为：
（2—8）
根据以上两式，令Z=Z=
，则有
X（z）
=
=DFT[x（n）]（2—9）
可以得到X（k）=X（z）
，
是Z平面单位圆上幅角为
ω=2πk/n的点，就是将单位圆进行N等分以后第K个点。
所以是Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅里叶变换的等距采样。
时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发生频谱混淆；同样地，在频率域进行采样的时候，只要采样间隔足够小，也不会发生时域序列的混淆。
DFT时对序列傅里叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。
三实验内容及步骤
（2）上机实验内容
1、观察高斯序列的时域和频域特性
（1）固定信号xa（n）的参数p=8，改变q的值，使q分别等于2,4,8。
观察它们的时域和幅频特性，了解q取不同值的时候，对信号时域特性和幅频特性的影响。
>>n=0:
15;
p=8;q=2;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;%利用fft函数实现傅里叶变换
closeall;
subplot（3,2,1）;stem（x）;title（'信号图形（p=8,q=2）'）;
subplot（3,2,2）;stem（abs（fft（n）））;title（'信号的频谱（p=8,q=2）'）;
p=8;q=4;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
subplot（3,2,3）;stem（x）;title（'信号图形（p=8,q=4）'）;
subplot（3,2,4）;stem（abs（fft（x）））;title（'信号的频谱（p=8,q=4）'）;
p=8;q=8;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
subplot（3,2,5）;stem（x）;title（'信号图形（p=8,q=8）'）;
subplot（3,2,6）;stem（abs（fft（x）））;title（'信号的频谱（p=8,q=8）'）;
>>
（2）固定q=8，改变p，使p分别等于8,13,14，观察参数p变化对信号序列时域及幅频特性的影响。
注意p等于多少时，会发生明显的泄露现象，绘制相应的时域序列和幅频特性曲线。
>>n=0:
15;
p=8;q=8;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;%利用fft函数实现傅里叶变换
closeall;
subplot（3,2,1）;stem（x）;title（'信号图形（p=8,q=8）'）;
subplot（3,2,2）;stem（abs（fft（n）））;title（'信号的频谱（p=8,q=8）'）;
p=13;q=8;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
subplot（3,2,3）;stem（x）;title（'信号图形（p=13,q=8）'）;
subplot（3,2,4）;stem（abs（fft（x）））;title（'信号的频谱（p=13,q=8）'）;
p=14;q=8;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
subplot（3,2,5）;stem（x）;title（'信号图形（p=14,q=8）'）;
subplot（3,2,6）;stem（abs（fft（x）））;title（'信号的频谱（p=8,q=8）'）;
>>
P=14时会发生明显的泄漏现象
2、观察衰减正弦序列的时域和幅频特性
（1）令a=0.1，并且f=0.0625，检查谱峰出现的位置是否正确，注意谱峰的形状，绘制幅频特性曲线。
>>n=015;
a=0.1;f=0.0625;x=exp（-an）.sin（2pifn）;
closeall;
subplot（2,1,1）;stem（n,x）;title（'信号图形'）;
subplot（2,1,2）;stem（n,abs（fft（x）））;title（'信号的频谱'）;
>>
（2）改变f=0.4375,再变化f=0.5625,观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现的位置，有无混淆和泄露现象发生？
说明产生现象的原因。
f=0.4375
>>n=0:
15;
a=0.1;f=0.4375;x=exp（-a*n）.*sin（2*pi*f*n）;
closeall;
subplot（2,1,1）;stem（n,x）;title（'信号图形'）;
subplot（2,1,2）;stem（n,abs（fft（x）））;title（'信号的频谱'）;
>>
f=0.5625
>>n=0:
15;
a=0.1;f=0.5625;x=exp（-a*n）.*sin（2*pi*f*n）;
closeall;
subplot（2,1,1）;stem（n,x）;title（'信号图形'）;
subplot（2,1,2）;stem（n,abs（fft（x）））;title（'信号的频谱'）;
>>
3、观察三角波序列和反三角波序列的时域和幅频特性
（1）用8点FFT分析信号xc（n）和xd（n）的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？
绘制两者的序列和幅频特性曲线
>>fori=1:
4;%设置信号前4个点的数值
x（i）=i;
end
fori=5:
8;
x（i）=9-i;
end
closeall;
subplot（2,2,1）;stem（x）;title（'xc[n]信号图形'）;
subplot（2,2,2）;stem（abs（fft（x,16）））;title（'xc[n]信号的频谱'）
fori=1:
4;%设置信号前4个点的数值
x（i）=5-i;
end
fori=5:
8;
x（i）=i-4;
end
subplot（2,2,3）;stem（x）;title（'xd[n]信号图形'）;
subplot（2,2,4）;stem（abs（fft（x,16）））;title（'xd[n]信号的频谱'）;
>>
xc（n）和xd（n）的信号图形的波峰位置不一样，并且它们的频谱图上5~10的值也不一样。
（2）在xc（n）和xd（n）末尾补零，用16点FFT分析这两个信号的幅频特性，观察幅频特性发生了什么变化？
两个信号之间的FFT频谱还有没有相同之处？
这些变化说明了什么？
>>fori=1:
4;%设置信号前4个点的数值
x（i）=i;
end
fori=5:
8;
x（i）=9-i;
end
fori=9:
16;
x（i）=0;
end
closeall;
subplot（2,2,1）;stem（x）;title（'xc[n]信号图形'）;
subplot（2,2,2）;stem（abs（fft（x,16）））;title（'xc[n]信号的频谱'）;
fori=1:
4;%设置信号前4个点的数值
x（i）=5-i;
end
fori=5:
8;
x（i）=i-4;
end
fori=9:
16;
x（i）=0;
end
subplot（2,2,3）;stem（x）;title（'xd[n]信号图形'）;
subplot（2,2,4）;stem（abs（fft（x,16）））;title（'xd[n]信号的频谱'）;
>>
16点FFT时xc（n）和xd（n）变化不大，两个信号在<0n<4,16>=n>=15时图形相似。
4、思考题
1、实验中的信号序列Xc（n）和Xd（n），在单位圆上的Z变换频谱会相同吗？
如果不同，你能说出那一个低频分量更多一些吗？
为什么？
答：
不相同，它们在单位圆上的Z变换频谱中，xc（n）的低频分量比xd（n）的多一些。
2、对一个有限长序列进行离散傅里叶变换，等价于将该序列周期延拓后进行傅里叶级数展开。
因为DFS也只是取其中一个周期来运算，所以FFT在一定条件下也可以分析周期信号序列。
如果正弦信号sin（2πfn）,f=0.1,用16点的FFT来做DFS运算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗？
答：
得到的频谱不是信号本身的真实谱。
只应为有当DFS变换的点数N与进行FFT变换的点数K相同的时候，才可以认为DFS与FFT的变换是等价的，可以用DFS来分析FFT。
但是在N与K不相等的时候，DFS与FFT变换不等价。
在这里N=10，K=16，N不等于K，所以得到的频谱不是信号本身的真实谱。
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