金属棒在匀强磁场中的运动.docx

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金属棒在匀强磁场中的运动

对E＝BLv的理解

利用公式E＝BLv求电动势这类习题在中学物理中是常见的，但利用此公式时应注意以下几点。

1.此公式的应用对象是一部分导体在磁场中做切割磁感线运动时产生感应电动势的计算，一般用于匀强磁场（或导体所在位置的各点的磁感应强度相同）。

2.此公式一般用于导体各部分切割磁感线速度相同的情况，如果导体各部分切割磁感线的速度不同，可取其平均速度求电动势。

例1.如图1所示，导体棒AB长为L，在垂直纸面向里的匀强磁场中以A点为圆心做匀速圆周运动，角速度为

。

磁感应强度为B，求导体棒中感应电动势的大小。

图1

解析：

导体棒AB在以A点为圆心做匀速圆周运动过程中，棒上每一点切割磁感线的线速度是不同的，我们可以求出导体棒切割磁感线的平均速度为：

则导体棒中感应电动势为：

3.此公式中的L不是导体棒的实际长度，而是导体切割磁感线的有效长度，所谓有效长度，就是产生感应电动势的导体两端点的连线在切割速度v的垂直方向上投影的长度。

例2.如图2甲、乙、丙所示，导线均在纸面内运动，磁感应强度垂直纸面向里，其有效长度L分别为：

甲图：

乙图：

沿

方向运动时，L＝MN，沿

方向运动时，L＝0

丙图：

沿

方向运动时，

，沿

方向运动时，L＝0，沿

方向运动时，L＝R

甲乙丙

图2

4.在匀强磁场里，若切割速度v不变，则电动势E为恒定值，若v为时间t里的平均速度，则E为时间t里的平均电动势。

若v为瞬时值，则E为瞬时电动势。

5.若v与导体棒垂直但与磁感应强度B有夹角

时，公式中的v应是导体棒的速度在垂直于磁场方向的分速度。

此时，公式应变为：

。

例3.如图3所示，磁感应强度为B，方向竖直向下。

一导体棒垂直于磁场放置，导体棒的速度方向与磁场方向的夹角为

，大小为v。

求导体棒上感应电动势的大小。

图3

解析：

把导体棒的速度v沿垂直于磁场方向和平行磁场方向进行分解，得到分速度v1、v2，且

。

则导体棒上的感应电动势为：

。

6.E＝BLv公式中的速度v应是导体棒相对于磁场的速度。

我们常见的是磁场静止，对于这一种情况，公式中的v就是导体棒的速度v。

例4.如图4所示，水平面上有两根很长的平行直导轨，导轨间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2T，磁场运动的速度

，方向向左。

导轨上有金属棒MN以速度

向左运动。

设两根直导轨间距L＝1m，求金属棒MN上产生的感应电动势的大小，问哪一端的电势高？

图4

解析：

在本题中，磁场的运动速度为

，方向向左，金属棒的速度为

，方向向左，侧金属棒相对于磁场的速度为v＝2m/s，方向向右。

则金属棒上产生的感应电动势为：

即金属棒上产生的感应电动势为4V，由右手定则可判定M点的电势高。

对E＝BLv的应用

金属棒在匀强磁场中的运动，是电磁感应中极其重要的物理模型，是近年高考的热点问题之一。

分析其运动问题的关键是弄清金属棒运动过程中的受力情况。

结合受力情况的变化对其运动过程作动态分析，并确定金属棒的最终运动状态。

分析运动中牵涉到的动力学知识、能量守恒、电磁学知识等的综合应用，能较全面地考查学生综合应用知识的能力。

因此，掌握此类运动模型的分析方法尤为重要。

本文就几种常见的金属棒在匀强磁场中的运动问题，进行分类探讨。

1.金属棒在倾斜轨道上的运动

例1.如图1所示，有两根与水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近一个最大速度vm，则（）

A.如果B增大，vm将变大

B.如果α增大，vm将变大

C.如果R增大，vm将变大

D.如果m减小，vm将变大

图1

解析：

将导体棒受力的三维图转化为二维图（如图2所示），利用右手定则可知，感应电流方向如图中所示，利用左手定则可知磁场力沿斜面向上，开始时棒的速度由0增大，磁场力F也由0增大，由牛顿第二定律可知，加速度a将减小，当a减小到0时，棒以最大速度vm做匀速直线运动，即

，要使vm增大，正确选项为B、C。

图2

点评：

对于金属棒在磁场中的运动这类问题，一般要对杆列出牛顿第二定律的方程，讨论加速度和速度的变化时，注意加速度为零时速度最大是运动的转折点。

2.金属棒在圆环轨道上的运动

例2.如图3所示，粗细均匀的电阻为R的金属环放在磁感应强度为B的垂直环面的匀强磁场中，圆环直径为d。

长也为d、电阻为R/2的金属棒ab中点与环相切，使ab始终以垂直棒的速度v向左运动，当到达圆环直径位置时，ab棒两端的电势差大小为多少。

图3

解析：

ab到达虚线所示直径位置时，由于金属棒切割磁感线产生电动势等效于电源，等效全电路如图4所示，则

图4

点评：

当导体切割磁感线平动时，导体中产生感应电动势

，导体相当于电源。

在处理电磁感应这类问题时，明确等效电源和内外电路，准确地画出等效电路，是迅速获解的关键所在。

3.金属棒在角形轨道上的运动

例3.如图5所示，三角形导轨COD上放一根导体MN，拉动MN使它以速度v匀速平动。

如果导轨与棒都是同种材料同种规格的均匀导体，匀强磁场垂直于轨道平面，那么棒MN运动过程中，闭合回路的（）

A.感应电动势保持不变

B.感应电流保持不变

C.感应电动势逐渐增大

D.感应电流逐渐增大

图5

解析：

在时间t内棒从O前进的距离为vt，设∠COD=2θ，各段导体的电阻率均为

，横截面积为S，棒与轨道的接触点为A、B。

则∠COD内的棒长为

，则回路中的感应电动势

，由全电路欧姆定律

及

，可得

故正确答案为B、C。

点评：

棒在角形框架上滑动时，要注意审题，整个棒产生的电动势和闭合回路中产生的电流是不同的，前者变大，后者不变。

4.金属棒在轨道上涉及能量转化的运动

例4.如图6所示，MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距

为0.40m，电阻不计。

导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直。

质量m为6.0×10-3kg，电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触。

导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R1。

当杆ab达到稳定状态时以速率v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率v和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2。

图6

解析：

由功率表达式得：

代入数据得：

又

设电阻R1与R2的并联电阻为

，ab棒的电阻为r，有

，代入数据得：

点评：

电磁感应与直流电路结合的题目，首先要明确内外电路，以及外电路各部分电阻间的串并联关系。

然后利用能量守恒和全电路欧姆定律综合去处理。

例5.如图7所示，平行导轨MN和PQ相距0.5m，电阻可忽略。

其水平部分是粗糙的，置于0.60T竖直向上的匀强磁场中，倾斜部分的导轨是光滑的，且该处没有磁场。

导体棒a和b的质量均为0.20kg，电阻均为0.15Ω，a、b相距足够远，b放在水平导轨上，a从斜轨上高0.050m处无初速释放。

求：

（1）回路中的最大感应电流是多少？

（2）如果导体棒与导轨间的动摩擦因数

，当导体棒b的速度达到最大值时，导体棒a的加速度是多少？

图7

解析：

（1）a棒在没有磁场的倾斜轨道上下滑时，机械能守恒，设进入水平轨道时a棒的速度

，

此时a棒速度最大，进入磁场切割磁感线，产生的感应电流最大

（2）当a、b棒组成的闭合回路中有感应电流时，a、b棒都受安培力作用，a棒受安培力向右、摩擦力向右，b棒受安培力向左，摩擦力向右。

因为

所以b棒开始向左加速。

a棒是向左做减速运动，b棒的速度增大时，电路中的感应电流减小，b棒受的安培力在减小，当电流减为I”时b棒匀速运动，这时满足：

此时a棒受到的摩擦力和安培力方向都向右，a棒的加速度为：

金属棒在匀强磁场中的运动归类

一、滑轨上只有一个导体棒的问题

滑轨上只有一个导体棒的问题，分两类情况：

一种是含电源闭合电路的导体棒问题，另一种是闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题。

（一）含电源闭合电路的导体棒问题

例1如图1所示，水平放置的光滑导轨MN、PQ上放有长为L、电阻为R、质量为m的金属棒ab，导轨左端接有内阻不计、电动势为E的电源组成回路，整个装置放在竖直向上的匀强磁场B中，导轨电阻不计且足够长，并与电键S串联。

当闭合电键后，求金属棒可达到的最大速度。

图1

解析闭合电键后，金属棒在安培力的作用下向右运动。

当金属棒的速度为v时，产生的感应电动势，它与电源电动势为反接，从而导致电路中电流减小，安培力减小，金属棒的加速度减小，即金属棒做的是一个加速度越来越小的加速运动。

但当加速度为零时，导体棒的速度达到最大值，金属棒产生的电动势与电源电动势大小相等，回路中电流为零，此后导体棒将以这个最大的速度做匀速运动。

金属板速度最大时，有

解得

点评本题的稳定状态是金属棒最后的匀速运动；稳定条件是金属棒的加速度为零（安培力为零，棒产生的感应电动势与电源电动势大小相等）

（二）闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题

1.导体棒在外力作用下从静止运动问题

例2（全国高考题）如图2，光滑导体棒bc固定在竖直放置的足够长的平行金属导轨上，构成框架abcd，其中bc棒电阻为R，其余电阻不计。

一质量为m且不计电阻的导体棒ef水平放置在框架上，且始终保持良好接触，能无摩擦地滑动。

整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直框面。

若用恒力F向上拉ef，则当ef匀速上升时，速度多大？

图2

解析本题有两种解法。

方法一：

力的观点。

当棒向上运动时，棒ef受力如图3所示。

当ef棒向上运动的速度变大时，ef棒产生的感应电动势变大，感应电流I=E/R变大，它受到的向下的安培力F安=BIL变大，因拉力F和重力mg都不变，故加速度

变小。

因此，棒ef做加速度越来越小的变加速运动。

当a=0时（稳定条件），棒达到最大速度，此后棒做匀速运动（达到稳定状态）。

当棒匀速运动时（设速度为

），由物体的平衡条件有

图3

点评应用力学观点解导体棒问题的程度：

（a）分析棒的受力情况，判断各力的变化情况；（b）分析棒的运动情况，判断加速度和速度的变化情况；（c）分析棒的最终运动情况，依平衡条件或牛顿第二定律列方程。

方法二：

能量观点。

当导体棒ef以最大速度匀速运动以后，拉力做功消耗的能量

等于棒重力势能的增加△

和bc部分产生的热量Q之和。

设棒匀速运动的时间为t，则有

点评①ef棒的运动尽管在达到最大速度以前为变速运动，产生的感应电流及感应电动势都在变化，但达到最大速度以后，感应电流及感应电动势均恒定，故计算热量可以用

计算。

②求导体棒的最大速度问题，要会抓住速度最大之后速度不变这一关键条件，运用能量观点处理，往往会使运算过程简洁。

③求导体棒的最大速度问题，可以运用力的观点和能量观点的任一种，但两种方法所研究的运动过程却不同。

力观点研究分析的是棒达到最大速度为止的以前的运动过程，而能量观点研究的是从棒达到最大速度开始以后做匀速运动的一段过程。

要注意这两种观点所研究运动过程的不同。

2.外力作用下有初速问题

例3如图4所示，匀强磁场竖直向上穿过水平放置的金属框架，框架宽为L，右端接有电阻为R，磁感应强度为B，一根质量为m、电阻不计的金属棒受到外力冲量后，以

的初速度沿框架向左运动，棒与框架的动摩擦因数为

，测得棒在整个运动过程中，通过任一截面的电量为q，求：

（1）棒能运动的距离？

（2）R上产生的热量？

解析

（1）在整个过程中，棒运动的距离为S，磁通量的变化

通过棒的任一截面的电量

解得

（2）根据能的转化和守恒