数学建模校内赛深圳市人口问题的分析.docx
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数学建模校内赛深圳市人口问题的分析
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
10338
所属学校（请填写完整的全名）：
西安交通大学
参赛队员（打印并签名）：
1.马博
2.杨橹
3.许婷
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2012年5月7日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
深圳人口与医疗需求预测
目录
1摘要1
2问题的重述2
2.1背景2
3符号说明2
4模型假设2
5问题分析2
6模型建立与分析4
6.1预测未来10年深圳人口数量发展趋势4
6.2预测未来10年深圳户籍人口与非户籍人口的发展趋势10
6.3预测未来10年深圳床位需求量的发展趋势11
6.4预测几种疾病在不同类型的医疗机构就医的床位需求13
7模型评价16
8参考文献17
9附录18
1摘要
深圳时我国发展最快的城市之一，现有人口结构中年轻人占绝对优势，总体发病较少，故虽然目前深圳人均医疗设施低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求，但是随着时间政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，此外，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量，这些都可能导致深圳市未来的医疗设施难以满足人口哦的就医需求，因此，本文就此问题产生讨论，分析和建立数学模型，利用数学知识联系实际问题，做出相应的解答。
对于问题一：
分析深圳近十年来常住人口，非常主人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，并以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求。
①我们采用线性回归模型、灰色系统GM（1,1）模型，logistic模型分别对深圳人口进行分析，然后将这三种模型的分析结果进行线性拟合，由多元线性回归模型得最优组合模型，利用此模型我们可以预测未来十年深圳市人口数量的变化。
②根据以往数据，我们可以对非户籍人口与户籍人口的比值随时间的变化趋势进行直线拟合，从而可以预测到未来十年深圳市非户籍人口与户籍人口的比值的发展趋势。
③首先，我们对人口结构进行划分，求得不同人口结构的增长率、所占总人口的比例以及不同人口结构的患病率，然后根据上述所得深圳市未来人口的预测值，即可对深圳市未来的床位需求进行预测。
对于问题二：
根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，我们选择风分娩进行建模，预测分娩在不同类型的医疗机构就医的床位需求，分娩的过程即对应于新生儿的诞生，因此，在模型建立过程中，可用深圳每年的出生率来近似代替妇女分娩数量的增长率。
有了分娩率之后，我们就可以根据女性人数对分娩人群数也即分娩所需床位进行预测。
关键字:
线性回归模型，灰色系统GM（1,1）模型，logistic模型，直线拟合
2问题的重述
2.1背景
深圳市自从改革开放之后，一直迅猛发展，成为我国经济发展最快的城市之一，随着经济和人口的增长，深圳市卫生医疗事业也在长足发展。
随着时代的发展，人们生活水平不断提高，对健康的要求也随之提高，所以医疗水平也必须不断提高。
如果能够对人口结构，变化趋势及常见疾病发病率有较准确的预测，将有利于制定更合理的人口计划，更合理的人口布局，同时对于制定更适当的医疗发展计划有着重大意义。
3符号说明
具体见各预测方法。
4模型假设
1.不考虑战争，瘟疫，大规模流行病对人口的影响。
2.假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄女性生育率相同。
3.假设当地人们的生育观念不发生太大变化。
4.假设各年龄段的育龄女性生育率成正态分布。
5.假设本问题中采用的数据均真实有效。
6.假设深圳市的产业结构不发生巨大变化。
7.在短期内，人口的生育率、死亡率的总体水平不变。
5问题分析
这是一个关于人口数量和结构以及医疗机构的医疗床位需求量的预测问题，本问题的研究和分析需要根据中国特殊的国情进行，通过对问题的分析并结合实际情况我们认为对人口数量和结构产生主要影响的因素有以下四个：
生育率、死亡率、年龄结构、男女比例。
对医疗机构床位需求量产生影响的因素有：
年龄结构，人口增长，生育率，男女比例，患病率。
在这里需要说明的是对于人口或医疗机构床位需求量产生影响的一些其它因素，如经济发展状况，生态环境情况、已婚夫妇对生育所持的态度、医疗技术的发展、当地的医疗保险制度等，我们认为它们是通过作用于以上指标而间接发挥作用的。
而对于诸如战争爆发、疾病流行等突发因素，由于其不可预测性，我们不考虑。
我们队以上要素做如下诠释：
1．生育率
生育率代表育龄妇女生育人口的能力，从一定意义上讲生育率的高低控制着人口增长率高低，通常来说生育率越高人口增长率越高，所以说生育率是人口增长的源头。
生育率的影响因素很多，首先是年龄因素，不同年龄段的育龄妇女的生育率不同，通常20岁至30岁的育龄妇女的生育率最强；此外是地域因素，受政策因素、观念认识、周边环境等影响乡村育龄妇女的生育率高于城市育龄妇女的生育率；还有其它因素的影响，比如大规模疾病会降低育龄妇女的生育率。
2．死亡率
死亡率表示一定时期内一个人口群体中死亡的人数占该人口群体的比值，和生育率一样死亡率的高低同样控制着人口增长率高低，如果说生育率是人口增长的源头，则死亡率是人口增长的汇点。
同样影响死亡率的因素很多，首先不同年龄段的死亡率不同，通常老年人和刚出生的婴儿的死亡率较高；从长远来看，随着医疗水平的提高，整个人口群体的死亡率将会成下降趋势；此外一些突发事件，如战争、疾病等，将会使使那一段的人口死亡率大幅度提高。
3．年龄结构
年龄结构反映了总体人口在各年龄段分布情况，年龄结构蕴涵的信息量很大，从其中我们可以实现对很多问题的分析，比如从年龄结构我们可以分析出社会的老年化程度，此外从年龄结构我们可以判断出不同时间段人口出生的情况，比如年龄结构不仅反映了总体人口在各年龄段分布情况，而且考虑到不同年龄段人口生育率、死亡率不同等情况，我们可以在年龄结构中有效反映这些差异
4．男女比例
男女比例反映了总体人口中男性与女性人数的比较关系，男女比例值能反映出体人口中男性与女性人数是否协调，男女比例主要受男女出生比和男女死亡率的影响，男女出生比正常范围在103－107，也就是说出生100个女儿的同时会有103—107个男儿出生，但是在现实社会中，女性死亡率低于男性，所以男性与女性人数大致相等，社会维持在一个稳定状态。
但目前我国男女出生比超过110，这不仅将导致男女比例失调，还会对人口的预测产生影响，所以在人口预测时必须将男女比例问题考虑进去。
5．人口增长
人口增长的变化率叫做人口自然增长率，是指一定时间内人口出生率和死亡率相间的得数，结合我国实际情况而言，人口增长率受到社会经济、国家制度以及计划生育等因素的影响。
我国现阶段处于人口增长的“低模式”阶段，即人口出生率开始明显下降，死亡率继续下降并达到低水平。
考虑到人口预测分为中短期预测和长期预测，两类预测因为涉及的时间长短不同，所以考虑的因素不同，采用的方法不同。
对于中短期预测，我们假设生育率、死亡率、年龄结构、男女比例均维持在同一稳定水平，这样我们采用方法有很多，。
对于长期预测，我们需要考虑生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等因素随时间变化，此外城乡人口迁移对城乡人口结构产生影响，尽管以上因素短期内积累效应较小，但在长期中必须考虑。
6模型建立与求解
6.1预测未来10年深圳市人口数量发展趋势
人口预测是指以规划区域或单位人口现状为基础，并对未来人口的发展趋势提出合理的控制要求和假定条件即参数条件，来获得对未来人口数据预报的技术或方法。
6.1.1人口预测模型
目前，人口预测模型有很多，主要有一般预测方法（如线性回归模型，指数模型，自然回归模型），灰色系统GM（1,1）模型，logistic模型等，各个模型的特点以及适用范围如下：
（1）一般预测方法
一般预测方法包括线性回归模型、指数模型和自然回归模型。
线性回归模型是将各个时期的人口发展速度看成是不变的，即在人口发展过程曲线上每一点斜率基本是一个定量。
如果人口数量在后期的变化受到前期人口数据的影响，且后期的人口数量与前期的人口数量呈一定的线性关系，可以用自然回归模型来预测后期的人口数量。
如果人口数量的发展先是缓慢增长，随着时间的推移，增长的速度越来越快，在这种情况下，可以用指数模型来预测。
有些人口发展曲线开始时斜率较大，后期增长比较缓慢，此时应该选择幂指数模型。
当然，一般预测方法必须进行F检验。
（2）灰色系统GM（1,1）模型
在现实世界中，并不是所有的人口发展都是以简单的线性或非线性曲线来显示，无规律可循或资料不是很全的情况下可以用灰色系统GM（1,1）模型来进行预测。
灰色系统GM（1,1）模型克服了最小二乘法对资料的随机波动完全盲目的被动局势，对于预测对象不全和资料波动太大不平稳的人口发展趋势效果较好。
但是灰色模型预测的几何曲线往往呈单调递增或递减趋势，对人口总量变化的随机波动则反映较弱。
（3）logistic模型
Logistic模型体现了自然生态的平衡，克服了用其他模型预测表现出来的人口无限增长趋势，其缺点在于短期内人口增长可能呈现上升趋势。
6.1.2最优组合模型
（1）说明
以上所述的各种单一模型都有其自身的优点和缺陷，现实世界受各种因素影响，人口发展过程也不是呈现单一的变化，而呈现出一个复杂的过程，用单一的模型并不能完全反映这种变化，因此，为了避免单一模型预测所带来的局限性，充分利用原始数据中的信息，提高模型的预测精度，减少预测误差，避免单一模型的局限性，可以对同一预测对象运用几种不同预测模型进行预测，然后将几种不同预测模型的结果进行一定的组合，形成最优组合模型，能够大幅度提高预测的精度，尽量避免误差，从而实现预测模型的优化。
为此，本文在对现有模型分析的基础上，针对现有模型的不足，试图寻找预测人口的最佳模型组合，为深圳市总人口预测提供一种理想的人口预测模型。
（2）最优组合模型的建立：
设原始数据为
，t=1,2,3,…,N,
为组合模型的预测值，
为组合模型的预测误差。
为第i种方法的预测值，
为第i种方法的预测误差，
表示第i种预测方法的预测值在组中模型中的权系数，并且有：
式中，n为参加组合模型的个数。
则预测组合模型为：
如果找到一组ｋ＝
，使得组合模型的误差平方和最小，则称为最优组合模型。
＝
误差平方和为：
Ｒ＝
显然，通过对单个模型的优化组合，最优组合模型能够克服单个模型预测的不足，能够反映出人口数量变化的复杂性，预测精度有大的提高。
由于该模型对优化组合的系数有一定的限制，且没有常数项对模型进行修正，所以该模型不能实现真正意义上的优化。
（3）最优组合模型的改进：
由于最优组合模型存在一定局限性，故对最优组合模型进行改进，即将单个模型预测的结果进行多元线性组合，以获得最优组合模型的改进模型。
为此利用多元线性回归中最小二乘法求得，得到如下的改进模型：
其中，
为组合模型的预测值，
为第i种方法的预测值，
表示第i种预测方法的预测值在组中模型中的权系数，n为参加组合模型的个数。
同理利用最小二乘法来求出其参数ｋ＝
（4）线性回归模型
根据数据，首先建立线性回归模型，选择1996年—2010年共15年的数据，用SPSS软件进行线性拟合：
左图所示为残差直方图，残差分布大致均匀，右图为学生化残差散点图，由图各学生残差的绝对值都不大于2，未发现有极端值，符合线性回归的前提。
模型相关系数R=0.994，决定系数
统计意义。
拟合模型为：
（5）灰色系统GM（1,1）模型
用Matlab编程实现预测，程序见附录程序。
灰色系统GM（1,1）模型为：
（6）Logistic模型：
模型相关系数R=0.981，决定系数
统计意义。
拟合模型为：
（7）由多元线性回归模型得最优组合模型
根据以上分析，可建立由线性回归模型，灰色系统GM（1,1）模型和logistic模型预测结果的多元线性回归模型，获得改进的最优组合模型如下：
左图所示为残差直方图，残差分布大致均匀，右图为学生化残差散点图，由图各学生残差的绝对值除过一个点外都不大于2，未发现有极端值，符合线性回归的前提。
模型相关系数R=0.995，决定系数
统计意义。
我们可得改进的最优组合模型为
其中，
为对应年份的人口预测数据，
，
，
分别为用线性回归模型，灰色系统GM（1,1）模型和logistic模型预测的t年份人口总数。
（8）由最优组合模型进行预测
利用线性回归模型、灰色系统GM（1,1）模型以及logistic模型改进的最优组合模型分别对深圳市常住人口进行模拟和预测，结果如表所示：
年份
实际人口
线性回归模型
GM（1,1）
Logistic模型
改进的优化模型
预测人口（万）
相对误差（%）
预测人口（万）
相对误差（%）
预测人口（万）
相对误差（%）
预测人口（万）
相对误差（%）
1996
482.89
510.45
5.7063
482.9
0.0021
505.31
4.6423
494.58
2.4210
1997
527.75
547.74
3.7880
579.8
9.8626
543.05
2.8986
555.37
5.2331
1998
580.33
585.04
0.8111
606.8
4.5612
581.63
0.2233
589.89
1.6468
1999
632.56
622.33
1.6168
635.1
0.4015
620.79
1.8605
625.31
1.1466
2000
701.24
659.63
5.9339
664.6
5.2250
660.28
5.8416
661.41
5.6803
2001
724.57
696.93
3.8154
695.6
3.9982
699.81
3.4179
698.11
3.6513
2002
746.62
734.22
1.6607
727.9
2.5073
739.10
1.0071
735.16
1.5350
2003
778.27
771.52
0.8677
761.8
2.1162
777.89
0.0486
772.47
0.7448
2004
800.8
808.81
1.0006
797.3
0.4371
815.92
1.8883
809.88
1.1340
2005
827.75
846.11
2.2179
834.4
0.8034
852.95
3.0449
847.22
2.3521
2006
871.1
883.41
1.4126
873.3
0.2526
888.78
2.0294
884.42
1.5293
2007
912.37
920.70
0.9131
913.9
0.1677
923.21
1.1885
921.33
0.9815
2008
954.28
958.00
0.3895
956.5
0.2326
956.11
0.1919
957.94
0.3839
2009
995.01
995.29
0.0284
1001
0.6020
987.36
0.7692
994.16
0.0855
2010
1037.2
1032.59
0.4446
1047.6
1.0027
1016.87
1.9602
1029.99
0.6947
从表中可以看出，就单个模型而言，线性回归模型，GM（1,1）模型和logistic模型预测的相对平均误差分别为2.0404%，2.1448%，2.0675%，都具有较高的精度，都可以作为深圳市人口预测模型，而在这几种预测模型中，改进的优化组合模型的精度最大，其平均相对误差为1.9480%，改进的优化模型中各权系数有正有负，说明深圳市的人口发展受到多种因素影响，这也充分说明人口发展的复杂性。
通过改进的优化模型预测2011年—2020年这十年的深圳市人口如下表：
年份（年）
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
人口（万）
1059.15
1093.50
1127.48
1161.15
1194.57
1227.84
1261.05
1294.31
1327.71
1361.39
6.2预测未来10年深圳市户籍人口和非户籍人口的发展趋势
具体分析同以上所述人口数量的分析一致。
观察附表中1996年—2010年深圳市户籍人口和非户籍人口数，根据已有数据作图如下：
非户籍人口与户籍人口的比值变化曲线
由上图可以发现，从1996年—2010年，非户籍人口和户籍人口总数虽然有显著增长，但各自所占比例均未有显著变化，其中，非户籍人口所占比例有下降趋势，户籍人口所占比例有上升趋势，非户籍人口与户籍人口的比值有下降的趋势。
对此，对非户籍人口与户籍人口的比值随时间的变化趋势进行直线拟合。
可得方程式为：
其中x表示年份；
y表示非户籍人口数与户籍人口数的比值。
根据已有数据我们可求得各个年份的非户籍人口与户籍人口的实际比值如下：
年份
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
y
3.67
3.82
4.06
4.28
4.61
4.49
4.35
4.16
3.85
3.55
3.43
3.3
3.18
3.12
3.13
根据方程式
，我们可以很容易的预测未来十年非户籍人口与户籍人口的比例如下表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
Y
3.171
3.092
3.013
2.934
2.855
2.776
2.697
2.618
2.539
2.46
6.3预测未来10年深圳市床位需求量的发展趋势
6.3.1划分人口结构
根据人口年龄，把深圳市人口分为三类结构：
年龄（岁）
0-19
20-59
60以上
人口结构类型
少年
中年
老年
6.3.2求得各人口结构所占人数及比例
根据附表中深圳市2000,2005和2010年三年各年龄段的人口数据，可得如下表格：
年份
2000
2005
2010
少年人口（万）
162.68
186.45
179.59
中青年人口（万）
523.89
621.32
825.85
老年人口（万）
8.59
19.98
30.34
比例如下：
年份（年）
2000
2005
2010
少年比例（%）
23.40
22.52
17.34
中年比例（%）
75.36
75.06
79.73
老年比例（%）
1.24
2.41
2.93
分析以上数据可知，从2000年到2010年，老年人口和中年人口占总人口比例呈正增长趋势，而少年人口占总人口比例呈现递减趋势。
这主要是因为深圳市作为我国改革开放以后开始发展的新型城市，建市至今将近30年，加之计划生育等国家政策的影响，出生率下降，人口逐渐凸显老龄化趋势。
通过绘制散点图可以看出老年人口比例基本呈正增长趋势。
为了研究问题方便，我们做如下假设：
假设深圳市老年人口、中年人口以及少年人口占总人口比例逐年呈正比例增长。
6.3.3求得各人口结构的人口增长率
根据以上数据，我们可得中年人口增长速率为：
0.169%（/年）
同理，求得少年人口递减速率和中年人口递增速率，列表如下：
人口结构
少年
中青年
老年
年增长速率（%）
-0.606
0.437
0.169
6.3.4求得各人口结构的患病系数
分析题意，深圳市医疗配给目前是能够满足医疗需求的，以医疗床位需求代表医疗需求，
设各少年、中年、老年年龄段的患病系数为分别为
。
为了求出其各年龄段的患病系数建立如下三元方程：
其中，方程式右边为根据不同年龄结构的人数及其患病率求得的当年的全市医疗床位供给量，方程式左边为当年全市医疗床位的实际供给量。
联立求解上述方程可得：
=6.29,
分析求解结果，老年患病系数最大，其次是少年，最后是中青年，这也符合现实情况，老年人和少年人免疫力较低。
6.3.5计算床位需求量
求得不同人口结构的患病率之后，由此得到医疗床位需求函数为：
其中，x（t）是第t年的深圳市人口数；
为第t年的医疗床位需求量；
根据预测的2011年—2020年深圳市人口数x（t），代入上式可求的医疗床位需求量
如下表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
床位需求
24311
25909
27548
29230
30955
32726
34544
36413
38336
40315
6.3.6模型的比较
为了通过对比说明此模型的优越性，我们在不考虑年龄结构发展趋势的情况下建立模型，
模型中只考虑床位随年份一个因素的变化趋势。
用SPSS软件对历史数据（2000年—2010年）线性拟合，发现R=0.997，F值通过检验，具有统计意义
线性拟合回归方程为：
·
采用两个模型对未来10年的医疗床位需求预测结果进行对比
年份
2011
2012
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