届高联高钻学员考研数学学习计划基础阶段数学一高数一.docx

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届高联高钻学员考研数学学习计划基础阶段数学一高数一

总体说明：

与高联专职教师交流后，计划在年里复习完高数，高数上下册共12章，这样分下来的话内容少的每周一章，内容多，需要花时间的重点章两周复习一章，高数以前基本都学习了一次，这次复习请你把教材仔细读一遍，边看边思考，理清头绪，概念的引出，定理、公理的推导证明都是要看的地方，书上的例题要看懂，及时做课后习题来巩固。

之前准备根据大家课表的空余时间，安排几点几分到几点几分看哪一节，但我想了下，这样不太合理，跟机器似的，可能我估计这部分完成的时间跟你的实际完成时间有差距，加上个人作息习惯和效率的因素，这样做可能误导你了。

因此，我给以周来安排复习工作，具体的时间分配你自己来安排，但自己要大体有个度，比如这章6节，那么周三晚上之前应该就是完成3节这个样子，考研是为自己考，这个自觉能力应当具备，要这么小的时间这么明确的任务也安排不好，我给你安排了几点几分到几点几分看什么的话，你落实也是形式，效果值得商榷。

要是你自制力很不好，需要我根据你课表来安排的话，跟我回复下，下次我具体安排。

要求：

复习的内容课本要精看一遍，适当的做点笔记，遇到问题先要自己思考，不会的再联系答疑，高联有个QQ在线答疑的，课后要求做的题要动手做，不能看看好像会就算了，眼高手低是大忌，为了防止在做课后习题时边看答案变做，缺少思考，我每一章的习题答案会迟后几天发给你，请自觉的复习，细节决定成败。

第一单元、函数极限连续

核心掌握知识点：

1.函数的概念及表示方法；

2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；

3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；

4.基本初等函数的性质及其图形；

5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；

6.极限的性质及四则运算法则；

7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；

8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；

9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第1章第1节

映射与函数

函数的概念

函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

复合函数、反函数、分段函数和隐函数

初等函数具体概念和形式，函数关系的建立

习题

1－1

4（3）（6）（8）,5（3）★,9

（2）,15（4）★,17★

4（4）（7）,5

（1）,7

（2）,15

（1）

本节有两部分内容考研不要求，不必学习：

1.“二、映射”；

2.本节最后——双曲函数和反双曲函数

第1章第2节

数列的极限

数列极限的定义

数列极限的性质（唯一性、有界性、保号性）

习题

1－2

1

（2）（5）（8）★

3

（1）

1.大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；

2.对于用数列极限的定义证明，看懂即可。

第1章第3节

函数的极限

函数极限的概念

函数的左极限、右极限与极限的存在性

函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）

习题

1－3

2,4★

3,

1.大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；

2.对于用函数极限的定义证明，看懂即可。

第1章第4节

无穷小与无穷大

无穷小与无穷大的定义

无穷小与无穷大之间的关系

习题

1－4

4,6★

1,5

大家要搞清楚无穷大与无界的关系

第1章第5节

极限运算法则

极限的运算法则（6个定理以及一些推论）

习题

1－5

1（5）★（11）（13）★,3,5

1（9）（10）（14）,2

（1）,4

有理分式函数当

的极限要记住结论，以后直接使用。

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第1章第6节

极限存在准则两个重要极限

函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）

两个重要极限（注意极限成立的条件，熟悉等价表达式）

利用函数极限求数列极限

习题

1－6

1

（2）（6）★,2

（1）（4）★,4

（1）（3）★

4（5）

1.利用单调有界原理推导第二个重要极限可以不用细看；

2.“柯西极限存在准则”考研不要求.

第1章第7节

无穷小的比较

无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小）及其应用

一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法

习题

1－7

1,2★,3

（1）,4（3）★（4）★

3

（2）

例1和例2中出现的所有等价无穷小都要求熟记.

第1章第8节

函数的连续性与间断点

函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）

判断函数的连续性和间断点的类型

习题

1－8

3（4）,4★,5

1

熟记：

1.连续性的定义；

2.间断的定义与间断点的分类

第1章第9节

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的、和、差、积、商的连续性

反函数与复合函数的连续性

初等函数的连续性

习题

1－9

3（4）（6）（7）★,4（4）★（6）★,6★

1,3（5）,4（3）,5

——

第1章第10节

闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

零点定理与介值定理（零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法）

习题

1－10

1,3★

5

考研不要求的内容：

1.“三、一致连续性”

第1章

总复习题

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题一

3

（2）,9

（2）（4）（6）,10,13

1,2

——

本单元中我们应当学习——

1.导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；

2.导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；

3.高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；

4.会求以下函数的导数：

分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；

5.罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，会用这四个定理证明；

6.会用洛必达法则求未定式的极限；

7.函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；

8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；

9.曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

第2章第1节

导数概念

导数的定义、几何意义、物理意义

单侧与双侧可导的关系

可导与连续之间的关系

函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质

按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限

会求平面曲线的切线方程和法线方程

习题

2－1

2,6,7,8,13★,16

（2）★,17

9

（2）（5）,11,14

第2章第2节

函数的求导法则

导数的四则运算公式（和、差、积、商）

反函数的求导公式

复合函数的求导法则

基本初等函数的导数公式

分段函数的求导

习题

2－2

2（9）★,3

（2）,4,7（8）★,8（5）,11（6）（9）

2（6）（7）,6（4）（8）,7（4）,9,10

（2）,11（4）

第2章第3节

高阶导数

高阶导数

n阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式）

习题

2－3

1（3）,3

（2）,4

（1）,8★,10

（2）★,

1（9）（10）,7,9,11（3）

第2章第4节

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

隐函数的求导方法，对数求导法

由参数方程确定的函数的求导方法

习题

2－4

1

（1）,2,3（4）★,4

（1）,5

（2）,10

1（4）,8（3）

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

第2章第5节

函数的微分

函数微分的定义，几何意义

基本初等函数的微分公式

微分运算法则，微分形式不变性

一元函数微分在函数近似计算中的应用

习题

2－5

2★,6

1,3（3）（6）,4（4）（6）（7）

第2章

总复习题二

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题二

1,3★,6

（1）,7,11,13,14★

9

（1）,

希望在数学的复习过程中多思考，理解课本上的内容，力争都看懂。

英语单词要经常回顾记忆，天道酬勤，付出总会有收获的。

核心掌握知识点：

1.罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，会用这四个定理证明；

2.会用洛必达法则求未定式的极限；

3.函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；

4.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题

（选做）

备注

第3章第1节

微分中值定理

费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义

构造辅助函数

习题

3－1

6,8★,11

（1）★,12,15★

4,5,10

——

第3章第2节

洛必达法则

洛必达法则及其应用

习题

3－2

1（10）（13）（15）★,4★

1（3）（6）（16）

——

第3章第3节

泰勒公式

泰勒中值定理

麦克劳林展开式

习题

3－3

5,7,10

（2）★（3）

3,4

不用仔细看的内容：

1.泰勒中值定理的证明

第3章第4节

函数的单调性与曲线的凹凸性

函数的单调区间，极值点

函数的凹凸区间，拐点

习题

3－4

3（6）★,5（4）,6,9（5）★,10（3）,12

1,3

（2）,5（3）,9

（1）,13

1.总结求单调区间的步骤；

2.总结求拐点的步骤。

数学这一章比较重要，要好好看。

英语任务单词要保障，语法看明白即可。

数学

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题

（选做）

备注

第3章第5节

函数的极值与最大值最小值

函数极值的存在性：

一个必要条件，两个充分条件

最大值最小值问题

函数类的最值问题和应用类的最值问题

习题

3—5

1（8）★,

4（3）,10,11

1

（2）（4）（10）,4

（1）,6

1.总结求极值与最值的步骤；

2.例5例6不用看；

3.例7需重点搞懂。

第3章第6节

函数图形的描述

利用导数作函数图形（一般出选择题）：

函数

的间断点、

和

的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内

和

的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点

习题

3－6

1,4★

——

——

第3章第7节

曲率

弧微分曲率的定义，曲率的计算公式曲率圆、曲率半径

习题

3－7

5

1,4

1.记住“弧微分公式”和“曲率计算公式”；

2.考研不要求的内容：

“四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线”。

第3章

总复习题三

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题三

1,2

（2）,6,7,9,10（4）,11（3）,12,17

4,10

（2）,18

本周数学

本周安排复习第四章的内容，这一章只有四节，安排一周的时间，要好好看，积分部分是下册的基石。

本单元中我们应当学习——

1.原函数、不定积分的概念；

2.不定积分的基本公式，不定积分的性质，不定积分的换元积分法与分部积分法；

3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第4章第1节

不定积分的概念与性质

原函数和不定积分的概念与基本性质（之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系）

基本的积分公式

原函数的存在性、几何意义和力学意义

习题

4－1

1

（1）,2

（1）（6）（8）（13）（17）★（19）★（21）★（25）,5★

2（3）（11）（14）（16）（20）（26）

熟记“基本积分表”，公式1—13

第4章第2节换元积分法

第一类换元积分法（凑微分法）第二类换元积分法

习题4－2

2

（1）（3）（6）（9）（13）（15）（16）★（17）★（19）★（21）★（30）★（32）（34）★（36）（37）

2（4）（10）（14）（18）（20）（22）（23）（38）（39）

1.注意：

204页小字部分不用看；

2.熟记P205公式16—24.

第4章第3节分部积分法

分部积分法

习题

4－3

2,5,6★,9★,14,17,18★,19,22,24★

3,10,15,20,23

——

第4章第4节

有理函数积分

有理函数积分法，可化为有理函数的积分

习题

4－4

2,4★,8,20★,23

12

注意：

仅“例4”不在考研范围之内。

第4章

总复习题四

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题四

1,2,5,9,10★,12,14★,16,21,23★,33★,35,38

8,15,19,25,30

——

本单元中我们应当学习——

1.定积分的概念和性质，定积分中值定理；

2.定积分的换元积分法与分部积分法；

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第5章第1节

定积分的概念与性质

定积分的定义与性质（7个性质）

函数可积的两个充分条件

习题

5—1

2

（1）★,3

（2）★（3）,11★,12

（2）,13（5）

3（4）,4（4）,13（4）

考研不要求的内容：

1.“三、定积分的近似计算”。

第5章第2节

微积分的基本公式

积分上限函数及其导数

牛顿－莱布尼兹公式

习题

5—2

5

（2）,6（5）（8）（11）★（12）★，

9

（2）,10★,12★,13★

5（3）,6（6）（10）,9

（1）,11

可以不看的内容：

1.“一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系”；

2.“例5”.

第5章第3节

定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法

定积分的分部积分法

习题

5—3

1

（2）（4）（6）★（10）（12）（19）（21）★（24）（26）★,5,6,7（11）★

1（3）（7）（13）（20）（22）,7（10）

以后可以直接使用的结论：

例5，例6，例7，例12.

第5章第4节

反常积分

无穷限的反常积分

无界函数的反常积分

习题

5—4

1（4）（8）（10）,2★

1（6）（9）

——

第5章

总复习题五

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题五

1

（1）

（2）（4）★,3

（2）,4

（2）★,10（7）★（9）（10）,11,12,13,14★

3

（1）,4

（1）,7,10（4）（6）

——

本单元中我们应当学习——

1.积分上限的函数的概念和它的导数，牛顿-莱布尼茨公式；

2.反常积分的概念与计算；

3.用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力，函数的平均值．

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第6章第1节

定积分的元素法

元素法

——

——

——

——

第6章第2节

定积分在几何学上的应用

求平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）

旋转体的体积及侧面积

平行截面面积为已知的立体的体积

平面曲线的弧长

习题

6—2

1

（1）（4）,2

（1）,4,5

（1）,9,12★,15

（1）（3）★,16★,19,21

1（3）,2（4）,3,5（3）,15

（2）

1.能够自己推导各个计算公式.

第6章第3节

定积分在物理学上的应用

用定积分求功、水压力、引力

习题

6—3

5,11

——

——

第6章

总复习题

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题六

2,3,5

——

——

第七章、常微分方程

计划对应教材：

高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版

本单元中我们应当学习——

1.微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；

2.变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；

3.齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程的解法；

4.可降阶微分方程：

的解法；

5.线性微分方程解的性质及解的结构；

6.二阶常系数齐次线性微分方程的解法；

7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

8.会解欧拉方程．

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第7章第1节

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念：

微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解

习题

7—1

1

（1）（4）,2

（2）（4）,4

（2）,5

（2）

1（5）（6）,2（3）,4（3）,5

（1）

——

第7章第2节

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程的概念及其解法

习题

7—2

1

（1）（3）（4）（7）★,2（3）★,4,6★

1（5）（10）,2（4）

可以不用看的内容：

例2例3例4

第7章第3节

齐次方程

一阶齐次微分方程的形式及其解法

可化为齐次的方程

习题

7—3

1

（1）★（4）,2

（1）★,3★

1（5）,2

（2）

考研不要求的内容：

“二、可化为齐次的方程”

第7章第4节

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的形式和解法

伯努利方程的形式和解法

习题

7—4

1

（2）（3）（7）（10）★,2

（1）★（4）,3,4,7（3）,8（5）

1（4）（8）（9）,2（3）（5）,7

（1）

1.可以不用看的内容：

例2；

2.考研不要求的内容：

“二、伯努利方程”.

第7章第5节

可降阶的高阶微分方程

用降阶法解下列微分方程：

，

和

习题

7—5

1

（1）（4）（7）,2

（2）,3

1（5）（10）,2（4）

可以不用看的内容：

例2例4例6.

第7章第6节

高阶线性微分方程

n阶线性微分方程的形式

线性微分方程的解的结构：

齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质

习题

7—6

1

（1）（3）（6）,4

（2）,

1

（2）（8）（9）,4（4）

可以不用看的内容：

1.“一、二阶线性微分方程举例”；

2.“三、常数变易法”.

第7章第7节

常系数齐次线性微分方程

特征方程

特征方程的根与微分方程通解中的对应项

微分方程的通解

习题

7—7

1

（1）★（4）★（5）,2

（2）★（3）,

1（6）（9）（10）,2

（1）（6）

可以不用看的内容：

例4例5.

第7章第8节

常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程，其中自由项为：

多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积

习题

7—8

1

（1）（3）（7）★（9）★,2

（2）★,6★

1

（2）（4）（6）,2

（1）（4）

可以不用看的内容：

例6.

第7章第9节

欧拉方程

欧拉方程的形式和通解

习题

7—9

6

7

——

第7章

总复习题

总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总复习题七

1

（1）

（2）★（3）（4）,2,3

（1）

（2）★（7）★,4（4）★,7★

3（3）,4（3）,8

——

第八章、向量代数和空间解析几何

计划对应教材：

高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版

本单元中我们应当学习——

1.空间直角坐标系，向量的概念及其表示；

2.向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件；

3.单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标表达式，用坐标表达式进行向量运算；

4.平面方程和直线方程及其求法；

5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会判断平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）；

6.会求点到直线以及点到平面的距离；

7.根据二次曲面的方程能判断出它的图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.

8.会求空间曲线在坐标平面上的投影.

学习章节

学习知识点

习题章节

必做题目

巩固习题（选做）

备注

第8章第1节

向量及其线性运算

向量概念和线性运算，空间直角坐标系

利用坐标作向量的线性运算

向量的模、方向角、投影

习题

8—1

13,15★

18,19

重点内容：

1.向量的模；

2.方向角与方向余弦.

第8章第2节

数量积、向量积、混合积

向量积、数量积、混合积的概念、性质、运算律、物理意义

两向量平行、垂直的充要条件

习题

8—2

3,7★,9

（1）★

（2）★（3）★,10★

1,2

总结比较数量积、向量积、混合积：

1.定义和性质；

2.运算律；

3.计算公式.

第8章第3节

曲面及其方程

曲面方程的概念

旋转曲面的概念，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程

柱面的概念及二次曲面的概念与常用二次曲面（锥面、椭球面、双曲面、抛物面）的方程及其图形

习题

8—3

2,7★,10

（1）（4）,11（3）

6,10

（2）（3）

要求：

1.能根据所给方程判断出曲面的类型；

2.能由母线和轴得到旋转曲面方程；能根据旋转曲面方程判断出它的母线和轴；

3.能根据柱面方程判断出该柱面的准线和母线；

第8章第4节

空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程、参数方程

空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

习题

8—4

3★,5

（1）,8

4,5

（2）

1.螺旋线方程；

2.会计算空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.

第8章第5节

平面及其方程

平面的点法式方程、一般方程

两平面的夹角，两平面垂直、平行或重合的充要条件

习题

8—5

1★,3★,5,9★

2,6,8

（1）

例7的结论要求作为公式记住，以后直接利用。

第8章第6节

空间直线及其方程

空间直线的一般方程、对称式方程、参数方程

两直线的夹角，两直线垂直、平行或重合的充要条件

直线与平面的夹角，直线与平面垂直、平行的充要条件

平面束

习题

8—6

1★,3,4★,5,8★,14

9,12

——

第8章

总复习题