二次函数中的三角形问题二.docx
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二次函数中的三角形问题二
二次函数综合（动点）问题——三角形存在问题
（二）
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
全国新课标
课时时长（分钟）
120分钟
知识点
1、利用待定系数法求抛物线解析式
2、抛物线上两点的关系
3、三角形面积最大、周长最小时点的坐标
4、两个三角形面积存在倍数关系、三角形面积为固定值时点的坐标
学习目标
一、知识与技能
1、会用待定系数法通过设二次函数不同形式求抛物线解析式；
2、会运用抛物线上两点间的关系求作未知点的坐标，或者两点间的距离；
3、根据题意，会求三角形面积最大、周长最小时点的坐标，两个三角形面积存在倍数关系、三角形面积为固定值时点的坐标。
二、过程与方法
1、创设情境，让学生用不同方法求二次函数解析式；
2、在图像上清晰明了的研究两点间的坐标关系、距离关系，再将这种关系应用于二次函数的具体题目中；
3、先由浅入深、由简单到复杂，然后再通过例题精讲精练，最后课堂训练；让学生掌握三角形面积最大、周长最小时点的坐标的求法、两个三角形面积存在倍数关系、三角形面积为固定值时点的坐标的求法；
4、充分运用数学结合、转化、方程等数学思想来帮助解题。
三、情感、态度与价值观
1、培养学生的处理图像综合运用的能力；
2、让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；
3、形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心。
学习重点
是否存在一点使得一个三角形面积是另一个三角形面积的几倍（三角形周长最小、面积最大、三角形面积为固定值），如果存在求出点的坐标。
学习难点
是否存在一点使得一个三角形面积是另一个三角形面积的几倍（三角形周长最小、面积最大、三角形面积为固定值），如果存在求出点的坐标。
学习过程
一、复习预习
（一）三角形的性质和判定：
1、等腰三角形
性质：
两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：
两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形
性质：
满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形
性质：
具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：
具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形
4、等边三角形
性质：
三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：
三边相等，三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（二）求作等腰三角形、直角三角形的方法：
图一两圆一线图解图二两线一圆图解
总结：
（1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上
（2）通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。
（三）等腰三角形、直角三角形可能的情况：
A
（1）当所求三角形是等腰三角形时，可以是三角形任意两边相等，即：
AB=AC、AB=BC、AC=BC如图；
C
B
（2）当所求三角形是直角三角形时，可以是三角形任意的内角为直角,即：
∠A=90°、∠B=90°、∠C=90°，如图所示；
A
C
B
（四）二次函数中三角形的存在性问题解题思路：
（1）先分类，罗列线段的长度，如果是等腰三角形则分别令三边两两相等去求解；如果是直角三角形则分别令每个内角等腰90°去分类讨论；
（2）再画图；
（3）后计算。
二、知识讲解
考点/易错点1
利用待定系数法求抛物线解析式的三种常用形式：
（1）【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；
（2）【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；
（3）【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为。
考点/易错点2
抛物线上两个点A（x1，y），B（x2，y）之间的关系：
（1）如果两点关于对称轴对称，则有对称轴
；
（2）两点之间距离公式：
已知两点
，
则由勾股定理可得：
练一练：
已知A（0，5）和B（－2，3），则AB＝。
（3）中点公式：
已知两点
，则线段PQ的中点M为
。
练一练：
已知A（0，5）和B（－2，3），则线段AB的中点坐标是
（4）如图：
PG∥X轴，QG∥Y轴，P点的横坐标为，G点的横坐标为，纵坐标为，Q点的纵坐标为，则线段PG=，QG=。
考点/易错点3
求三角形的面积：
（1）直接用面积公式计算；
（2）割补法；（3）铅垂高法；
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
S△ABC=ah，即
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
考点/易错点4
二次函数中三角形面积、周长的存在性问题解题思路：
（1）如果是一个三角形面积为一个三角形面积的多少倍，则分别表示出每个三角形的面积去求解；如果是一个三角形面积为固定值，则用含有未知数的式子去表示面积去求解；如果是三角形周长最小，则做对称点去求解；如果是三角形面积最大，则划归为二次函数最值问题去求解。
（2）再画图；
（3）后计算。
三、例题精析
【例题1】
【题干】（孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．
（1）二次函数的解析式为；
（2）证明：
点（-m，2m-1）不在
（1）中所求的二次函数的图象上；
（3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．
①y轴上存在点K，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是；
②二次函数的图象上是否存在点p，使得S三角形POE=2S三角形ABD？
求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）y=x2-x+1；
（2）见解析；（3）①K（0，-3）或（0，5）；②P（-6，16）和P（10，16）.
【解析】
（1）解：
顶点坐标为（2，0），可设解析式为：
y=a（x-2）2（a≠0），
把x=0代入y=x+1得y=1，则A（0，1）
再代入y=a（x-2）2得：
1=4a，则a=．
故二次函数的解析式为：
y=（x-2）2=x2-x+1．
（2）证明：
设点（-m，2m-1）在二次函数y=x2-x+1的图象上，
则有：
2m-1=m2+m+1，
整理得m2-4m+8=0，
∵△=（-4）2-4×8=-16＜0
∴原方程无解，
∴点（-m，2m-1）不在二次函数y=x2-x+1的图象上．
（3）解：
①K（0，-3）或（0，5）；
②二次函数的图象上存在点P，使得S△POE=2S△ABD，
如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，
∴OE=EF，由于y=x2-x+1和y=x+1可求得点B（8，9）
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），
∴AD∥x轴，
∴S△ABD=2S△ACD=2××4×4=16．
设P（x，x2-x+1），
由题意有：
S△POE=×4（x2-x+1）=x2-2x+2，
∵S△POE=2S△ABD
∴x2-2x+2=32
解得x=-6或x=10，
当x=-6时，y=×36+6+1=16，
当x=10时，y=×100-10+1=16，
∴存在点P（-6，16）和P（10，16），使得S△POE=2S△ABD．
【例题2】
【题干】（衡水一模）如图，已知二次函数y＝−x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积；
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）y=-x2+4x-6；
（2）6；（3）存在，点P的坐标为（0，）．
【解析】解：
（1）将点A（2，0）、B（0，-6）代入得：
，
解得：
，
故这个二次函数的解析式为：
y=-x2+4x-6.
（2）∵二次函数的解析式为：
y=-x2+4x-6，
∴二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
∴AC=2，
故S△ABC=AC×BO=6．
（3）存在，点P的坐标为（0，）．
AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置，
∵点A'与点A关于y轴对称，
∴点A'的坐标为（-2，0），
又∵顶点D的坐标为（4，2），
∴直线A'D的解析式为：
y=x+，
令x=0，则y=，即点P的坐标为（0，）．
【例题3】
【题干】（黔东南州）已知二次函数y=x2+ax+a-2．
（1）求证：
不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为3？
若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）见解析；
（2）y=x2-x-3；（3）P点坐标是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）。
【解析】解：
（1）因为△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4＞0，
所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．
（2）设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a，x1•x2=a-2，因两交点的距离是，所以|x1−x2|＝＝．
即：
（x1-x2）2=13
变形为：
（x1+x2）2-4x1•x2=13
即（-a）2-4（a-2）=13
整理得：
（a-5）（a+1）=0
解方程得：
a=5或-1
又∵a＜0
∴a=-1
∴此二次函数的解析式为y=x2-x-3．
（3）设点P的坐标为（x0，y0），
∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，
∴AB=
∴S△PAB=AB•|y0|=
∴=
即：
|y0|=3，则y0=±3
当y0=3时，x02-x0-3=3，即（x0-3）（x0+2）=0
解此方程得：
x0=-2或3
当y0=-3时，x02-x0-3=-3，即x0（x0-1）=0
解此方程得：
x0=0或1
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）．
四、课堂运用
【基础】
1.（铜仁）已知：
直线y=ax+b与抛物线y=ax2-bx+c的一个交点为A（0，2），同时这条直线与x轴相交于点B，且相交所成的角β为45°．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线y=ax2-bx+c的解析式；
（3）判断抛物线y=ax2-bx+c与x轴是否有交点，并说明理由．若有交点设为M，N（点M在点N左边），将此抛物线关于y轴作轴反射得到M的对应点为E，轴反射后的像与原像相交于点F，连接NF，EF得△NEF，在原像上是否存在点P，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；
（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．
【巩固】
1.（六盘水）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．
（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在
S△ADP=S△BCD？
若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．
2.（昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：
S△PBQ=5：
2，求K点坐标．
【拔高】
1.（黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：
当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？
并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
2.（重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在
（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．
课程小结
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