最新试题库含答案立体几何练习题与答案0.docx
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立体几何练习题与答案
：
篇一：
立体几何试题及答案
【模拟试题】
一.选择题（每小题5分，共60分）1.给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱。
其中正确命题的个数是（）A.02.下列四个命题：
B.1
C.2
D.3
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有面可能都是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。
正确的命题有________个A.1B.2C.3
D.4
3.长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：
2：
3，它的表面积为88，则它的对角线长为（）A.12
B.24
C.2
D.414
4.湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（）A.8cm
B.12cm
C.13cm
D.82cm
5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（）
1?
2?
1?
4?
1?
2?
1?
4?
A.
2?
B.
4?
C.
?
D.
2?
6.已知直线l?
平面?
，直线m?
平面?
，有下面四个命题：
①?
//?
?
l?
m；②?
?
?
?
l//m；③l//m?
?
?
?
；④l?
m?
?
//?
。
其中正确的两个命题是（）A.①②B.③④
C.②④D.①③
7.若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）A.63cm
B.6cm
C.2
2
3
D.312
8.设正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）
32
A.6?
cm
3
B.3
?
cm
3
8
C.3
?
cm
3
4
D.3
?
cm
3
9.对于直线m、n和平面?
、?
能得出?
?
?
的一个条件是（）A.m?
n，m//?
，n//?
C.m//n，n?
?
，m?
?
B.m?
n，?
?
?
?
m，n?
?
D.m//n，m?
?
，n?
?
10.如果直线l、m与平面?
、?
、?
满足：
l?
?
?
?
，l//?
，m?
?
，m?
?
，那么必有（）A.?
?
?
和l?
m
B.?
//?
，和m//?
D.?
?
?
且?
?
?
C.m//?
，且l?
m
11.已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（）A.1：
3
B.1：
2
C.2：
3
D.1：
3
12.向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）
二.填空题（每小题4分，共16分）
13.正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。
14.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：
2：
8，体积为14cm3，则棱台的高为____________。
15.正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。
16.已知?
、?
是两个不同的平面，m、n是平面?
及?
之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n，②?
?
?
，③n?
?
，④m?
?
。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。
三.解答题（共74分）
17.（12分）正方体ABCD?
A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱DA、DC、DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。
18.（12分）球内有相距1cm的两个平行截面，截面的面积分别是
5?
cm和8?
cm
2
2
，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19.（12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
3
20.（12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的2，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（5?
2）?
，求这个旋转体的体积。
21.（12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下来一个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。
（如图）试求
（1）AD应取多长？
（2）容器的容积。
22.（14分）如图，正四棱柱ABCD?
A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，EF?
BD?
G。
（1）求证：
平面B1EF?
平面BDD1B；
（2）求点D1到平面B1EF的距离d；（3）求三棱锥B1?
EFD1的体积V。
【试题答案】一.
1.B7.B二.
?
2.B8.D
3.C9.C
4.C10.A
5.A11.D
6.D12.B
13.2
a
2
14.2cm15.3ab
16.m?
n，m?
?
，n?
?
?
?
?
?
（或m?
?
，n?
?
，?
?
?
?
m?
n）
三.
17.证明：
过A、C、D1的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、
DD1的中点可得GE//AD1，GF//CD1，GE?
平面EFG，GF?
平面EFG
∴AD1//平面AEG，CD1//平面EFG又AD1?
CD1?
D1∴平面EFG//平面ACD1
18.解：
如图，设两平行截面半径分别为r1和r2，且r2?
r1
22
依题意，?
r1?
5?
，?
r2?
8?
?
r1?
5，r2?
8
?
OA1和OA2都是球的半径ROO1?
OO2?
?
22
R?
r1?
R?
r2?
R?
5?
222
2
22
R?
5R?
8R?
8?
1?
R?
3
2
2
2
解得R?
9
2
?
S球?
4?
R
?
36?
（cm）
3
2
V球?
43
?
R?
36?
（cm）
2
19.解：
由三视图知正三棱锥的高为2mm
由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm
3
a?
23
?
a?
4
设底面边长为a，则2∴正三棱柱的表面积
篇二：
立体几何练习题及答案
数学立体几何练习题
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上
的点，A1M＝AN＝
a
，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）3
A．相交B．平行C．垂直D．不能确定
2．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则?
AED的大小为（）
A.45?
B.30?
C.60?
D.90?
3．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB
所成的角的余弦值为（）
A．
12
B
。
2
C
3
D
3
4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的余弦值是
A．
15
13
12
2
B。
C。
D
5．在棱长为2的正方体ABCD?
A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、
AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）
A．
5
B．
23
C．
55
D．
5
）
6．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为（
A．
34
B．
32
C．
334
D．3
7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=1,则AB1与C1B所成的角的大小为（）
A.60oB.90oC.105oD.75o
8．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面
A1ECF成60°角的对角线的数目是（）
A．0B．2C．4D．6二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sin〈CM，D1N〉的值为_________.
10．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，
那么点M到截面ABCD的距离是.
C
MB
11．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为．
12．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面
B1DC所成角的正弦值为.13
．已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，
且PA=2，设平面?
过PF且与AE平行，则AE与平面?
间的距离为．14．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为________.
三、解答题:
本大题共6小题，共80分。
解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.
15．如图，直三棱柱ABC
?
A1B1C1，底面?
ABC
中，CA＝CB＝1，?
BCA
?
90
?
，棱AA1
?
2
，M、
N分别A1B1、A1A是的中点．
（1）求BM的长；
（2）求cos?
BA1,CB1?
的值；（3）求证：
A1B?
C1N．
y
16．如图，三棱锥P—ABC中，PC?
平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，xD是PB上一点，且CD?
平面PAB．
（1）求证：
AB?
平面PCB；P
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；（3）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
C
17．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a0），PA⊥平面AC，且PA=1．
P
（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；
（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，
使得PQ⊥QD？
（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，求二面角Q-PD-A的余弦值大小．
18.如图，在底面是棱形的四棱锥P?
ABCD中，?
ABC
A
Q
D
C
?
60,PA?
AC?
a,PB?
PD?
?
2a
，点E
在PD上，且PE:
ED＝2:
1．
（1）证明PA?
平面ABCD；
（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角?
的大小；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？
证明你的结论．
19.如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG?
20.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面
ABCD，E是SC上的任意一点．
（1）求证：
平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；SA
（3）的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？
AB
理科立体几何训练题（B）答案
一、选择题
二、9.
填空题
E
CD
13
GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
C
（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
（2）求点D到平面PBG的距离；
（3）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求
PFFC
的值．
3452234
10．°12．13．1493543
三、解答题
15解析：
以C为原点建立空间直角坐标系O?
xyz.
（1）依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．?
（1?
0）?
（0?
1）?
（1?
0）
2
2
2
?
3
.
y
（2）依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，
1，2）
.
?
BA
1?
（1,?
1,2）,CB1?
（0,1,2）,BA1?
CB1?
3?
6?
5
?
cos?
BA1,CB1?
?
?
3010
.
（3）证明：
依题意得C1（0，0，2），N（
?
A1B?
C1N?
?
12?
12
?
0?
0,?
A1B?
C1N
1111
,2）,?
A1B?
（?
1,1,?
2）,C1N?
（,,0）2222
.
16．解析：
（1）∵PC⊥平面ABC,AB?
平面ABC，∴PC?
AB.∵CD?
平面PAB，AB?
平面PAB，∴CD?
AB．又PC?
CD?
C，∴AB?
平面PCB．（2由（I）AB?
平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０,2,０），Ｂ（0,0,0），C（０,0），P（０,2）．
?
?
?
?
?
?
?
?
=（2,－，=（．BCAP?
?
?
?
?
则AP?
BC=．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2AP?
BCcos?
AP,BC?
==
AP?
BC22?
P
z
=2
12
．
∴异面直线AP与BC所成的角为
?
3
．
?
?
?
?
?
?
?
?
（3）设平面PAB的法向量为m=（x，y，z）．AB=（0,AP=（
－2,2），
x
y
?
?
?
?
?
?
?
?
y?
0,?
AB?
m?
0,?
?
0,则?
?
?
?
即解得?
令z=-1,得m=（?
x?
?
?
?
?
?
2z?
0.?
AP?
m?
0.
2，0，-1）．
?
由PC?
平面ABC易知：
平面PAC?
平面ABC，取AC的中点E，连接BE，则BE为
?
平面PAC的一个法向量，BE?
（为n=（1，1，0）．
cos?
m,n?
?
m?
nmn
223
22
0）?
22
（1,1,0），故平面PAC的法向量也可取
=
23?
2
?
3
.∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为
33
．
17．解析：
（1）以A为坐标原点，AB、AD、
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．∵PA=AB=1，BC=a，
∴P（0，0，1），B（1，0，0），
D（0，a，0）．
（2）设点Q（1，x，0），则
?
?
?
?
?
?
?
?
DQ?
（1,x?
a,0）,QP?
（?
1,?
x,1）．
由DQ?
QP?
0，得x2-ax+1=0．
显然当该方程有非负实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故只须⊿=a2-4≥0．因a0，故a的取值范围为a≥2．
（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．∵D、N、P三点共线，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
MD?
?
MP（0,1,0）?
?
（0,?
1,1）（0,1?
?
?
）∴MN?
．?
?
1?
?
1?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
又PD?
（0,2,?
1），且MN?
PD?
0，
?
?
?
?
?
?
?
?
故
（0,1?
?
?
）1?
?
?
（0,2,?
1）?
2?
3?
1?
?
?
0?
?
?
23
．
?
?
?
?
?
于是MN?
（0,1?
1?
22,）
?
（0,1,2）
．
255
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
12
故NQ?
NM?
MQ?
?
MN?
AB?
（1,?
?
）．
55
?
?
?
?
?
?
?
?
12
∵PD?
NQ?
0?
2?
（?
）?
（?
1）?
（?
）?
0，
55
∴PD?
NQ．（资料来源：
）∴∠MNQ为所求二面角的平面角．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
NM?
NQ∵cos?
MNQ?
?
，
6|NM|?
|NQ|
?
?
?
?
?
?
?
?
注：
该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.
18解析：
（1）传统方法易得证明（略）
（2）传统方法或向量法均易解得?
?
30?
；
（3）解以A为坐标原点，直线AD,AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为
A（0,0,0）,B（
32a,?
12a,0）,C（
23
13
32
a）
a,
12
a,0）
D（0,a,0）,P（0,0,a）,E（0,a,
32a,12a,0）
所以
AE?
（0,
23
a,
13
a），AC?
（，
B
篇三：
高一必修二立体几何练习题（含答案）
《立体几何初步》练习题
一、选择题
1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（）A、垂直B、平行C、相交不垂直D、不确定2.在正方体ABCD?
A1B1C1D1中,与A1C垂直的是（）
A.BDB.CDC.BCD.CC13、线m,n和平面?
、?
，能得出?
?
?
的一个条件是（）
A.m?
n,m//?
n//?
B.m⊥n,?
∩?
=m,n?
?
C.m//n,n?
?
m?
?
D.m//n,m?
?
n?
?
4、平面?
与平面?
平行的条件可以是（）
A.?
内有无穷多条直线与?
平行；B.直线a//?
a//?
C.直线a?
?
直线b?
?
且a//?
b//?
D.?
内的任何直线都与?
平行5、设m、n是两条不同的直线，?
?
?
是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m?
?
，n//?
，则m?
n②若?
//?
，?
//?
，m?
?
，则m?
?
③若m//?
，n//?
，则m//n④若?
?
?
，?
?
?
，则?
//?
其中正确命题的序号是（）A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
6.点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O,若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（）
A.内心B.外心C.重心D.垂心
7.若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）
A．若?
//?
l?
?
n?
?
，则l//nB．若?
?
?
l?
?
，则l?
?
C.若l?
?
l//?
，则?
?
?
D．若l?
n,m?
n，则l//m
8.已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（）
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.A.3B.2C.1D.09．（2013浙江卷）设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,A．若m∥α,n∥α,则m∥nB．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β
）
（
10．（2013广东卷）设l为直线,?
?
是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A．若l//?
l//?
则?
//?
C．若l?
?
l//?
则?
//?
B．若l?
?
l?
?
则?
//?
D．若?
?
?
l//?
则l?
?
（）
二、填空题
11、在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B—B1EF的体积为
12．对于空间四边形ABCD，给出下列四个命题：
①若AB=AC，BD=CD则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC则BC⊥AD；其中真命题序号是．
13.已知直线b//平面?
，平面?
//平面?
，则直线b与?
的位置关系
P
为.
14.如图，△ABC是直角三角形，?
ACB=90?
，PA?
平面ABC，此图形
A中有个直角三角形
三、解答题
15.如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求证：
AB⊥BCP
A
F16.如图，ABCD和ABEF都是正方形，M?
AC，且，N?
FBAM?
FN。
求证：
MN//平面BCE。
17.如图，P为?
ABC所在平面外一点，PA?
平面ABC，
F
E
C
P
?
ABC?
90?
，AE?
PB于E，AF?
PC于F
求证：
（1）BC?
平面PAB；
（2）平面AEF?
平面PBC；（3）PC?
EF．
A
E
C
B
18、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO?
底面ABCD，E是PC的中点。
求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC?
平面BDE.
19、如图，长方体ABCD?
A1B1C1D1中，AB?
AD?
1，AA1?
2，点P为DD1的中点。
求证：
（1）直线BD1∥平面PAC；
（2）平面PAC?
平面BDD1；（3）直线PB1?
平面PAC.
20．如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中AC=3，
AB=5，CB?
4,AA1?
4,点D是AB的中点.
（Ⅰ）求证：
AC?
BC1（Ⅱ）求证：
AC1//平面CDB1；（Ⅲ）求三棱锥A1—B1CD的体积.
C
C1
D1
B1
A1
P
D
B
A
21．如图，在几何体ABCDE中，AB=AD=2，AB丄AD,AE
丄平面ABD,M为线段BD的中点，
（I）求证:
平面BCD丄平面CDE；（II）若N为线段DE的中点,求证:
平面AMN//平面BEC．
22．（2013年北京卷）如图,在四棱锥P?
ABCD中
AB//CD,AB?
AD,CD?
2AB,平面PAD?
底面ABCD,PA?
AD,E和F分别是CD和PC的中点,
求证:
（1）PA?
底面ABCD;
（2）BE//平面PAD;
（3）平面BEF?
平面PCD
23．（2013年山东卷）如图,四棱锥P?
ABCD
中,AB?
AC,AB?
PA,AB∥CD,AB?
2CD,
E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点
求证:
（Ⅰ）CE∥平面PAD;
（Ⅱ）求证:
平面EFG?
平面EMN
24．（2013年大纲卷）如图,四棱锥P?
ABCD中，?
ABC?
?
BAD?
90?
，BC?
2AD
?
PAB与?
PAD都是边长为2的等边三角形.
（I）证明:
PB?
CD;
（II）求点A到平面PCD的距离.
参考答案
选择题：
AACDA,BCCCB填空题：
11、
1
12、①④13、b//?
或b?
?
14、43
解答题：
15、作AD?
PB,16、
作MG//AB交CB于G,NH//EF交BE于H,连接GH,证明四边形MGHN是平行四边形
17、
（2）证AE?
平面PBC（3）证PC?
平面AEF18、
（1）连接OE,OE//PA,
（2）证BD?
平面PAC
19、
（1）设AC?
BD?
O,连接OP,OP//BD1,
（2）证AC?
平面BDD1（3）由AC?
平面BDD1得AC?
B1P,计算可以得到?
B1PO?
90?
B1P?
PO20、
（1）AC?
平面BB1C1C
（2）
（1）设B1C?
BC1?
O,连接OD,OD//AC1
（3）
VA1?
B1CD?
VC?
A1DB1?
8,
21、
（1）计算得?
BCD?
90?
BC?
CD,?
BCE?
90?
BC?
CE,BC?
平面CDE
（2）AM//EC,MN//BE
22、（I）因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于两平面的交线AD
所以PA垂直底面ABCD.
（II）因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点所以AB∥DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD,又因为BE?
平面PAD,AD?
平面PAD所以BE∥平面PAD.
（III）因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由（I）知PA⊥底面ABCD,所以P
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