集合与简易逻辑.docx

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集合与简易逻辑

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1.【2012高考真题浙江理1】设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|-2x-3≤0},则A∩（CRB）=

　　A.（1,4）B.（3,4）C.（1,3）D.（1,2）∪（3,4）

【答案】B

【解析】B={x|-2x-3≤0}=，A∩（CRB）={x|1＜x＜4}=。

故选B.

2.【2012高考真题新课标理1】已知集合；,则中所含元素

　　　的个数为（）

【答案】D

【解析】要使,当时，可是1，2，3，4.当时，可是1，2，3.当时，可是1，2.当时，可是1，综上共有10个，选D.

3.【2012高考真题陕西理1】集合，，则（）A.B.C.D.

【答案】C.

【解析】，

，故选C.

4.【2012高考真题山东理2】已知全集，集合，则为

　　（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】,所以,选C.

5.【2012高考真题辽宁理1】已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则为

（A）{5,8}（B）{7,9}（C）{0,1,3}（D）{2,4,6}

【答案】B

【解析】1.因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以，所以为{7,9}。

故选B

2.集合为即为在全集U中去掉集合A和集合B中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B

【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。

采用解析二能够更快地得到答案。

6.【2012高考真题辽宁理4】已知命题p：

x1，x2R，（f（x2）f（x1））（x2x1）≥0，则p是

（A）x1，x2R，（f（x2）f（x1））（x2x1）≤0

（B）x1，x2R，（f（x2）f（x1））（x2x1）≤0

（C）x1，x2R，（f（x2）f（x1））（x2x1）<0

（D）x1，x2R，（f（x2）f（x1））（x2x1）<0

【答案】C

【解析】命题p为全称命题，所以其否定p应是特称命题，又（f（x2）f（x1））（x2x1）≥0否定为（f（x2）f（x1））（x2x1）<0，故选C

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题。

7.【2012高考真题江西理1】若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为

A．5B.4C.3D.2

【答案】C

【命题立意】本题考查集合的概念和表示。

【解析】因为，所以当时，，此时。

当时，，此时，所以集合共三个元素，选C.

8.【2012高考真题江西理5】下列命题中，假命题为

A．存在四边相等的四边形不是正方形

B．为实数的充分必要条件是为共轭复数

C．若R，且则至少有一个大于1

D．对于任意都是偶数

【答案】B

【命题立意】本题考查命题的真假判断。

【解析】对于B,若为共轭复数，不妨设，则，为实数。

设，则，若为实数，则有，当没有关系，所以B为假命题，选B.

9.【2012高考真题湖南理1】设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=

A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}

【答案】B

【解析】M={-1,0,1}M∩N={0,1}.

【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出,再利用交集定义得出M∩N.

10.【2012高考真题湖南理2】命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是

A.若α≠，则tanα≠1B.若α=，则tanα≠1

C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α=

【答案】C

【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”.

【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.

11.【2012高考真题湖北理2】命题“，”的否定是

　　A．，B．，

　　C．，D．，

【答案】D

【解析】根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。

因此选D

12.【2012高考真题广东理2】设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，则CuM=

A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}

【答案】C

【解析】，故选C.

13.【2012高考真题福建理3】下列命题中，真命题是

A.

B.

C.a+b=0的充要条件是=-1

D.a>1,b>1是ab>1的充分条件

【答案】D.

【解析】此类题目多选用筛选法，因为对任意恒成立，所以A选项错误；因为当时且8<9,所以选项B错误；因为当时而无意义，所以选项C错误；故选D.

14.【2012高考真题北京理1】已知集合A={x∈R|3x+2＞0}B={x∈R|（x+1）（x-3）＞0}则A∩B=

A（-，-1）B（-1，-）C（-,3）D（3,+）

【答案】D

【解析】因为，利用二次不等式可得或画出数轴易得：

．故选D．

15.【2012高考真题安徽理6】设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（）

　　充分不必要条件必要不充分条件

　　充要条件即不充分不必要条件

【答案】A

【命题立意】本题借助线面位置关系考查条件的判断

【解析】①，②如果，则与条件相同．

16.【2012高考真题全国卷理2】已知集合A＝{1.3.}，B＝{1，m},AB＝A,则m=

A0或B0或3C1或D1或3

【答案】B

【解析】因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.

.17【2012高考真题四川理13】设全集，集合，，则___________。

【答案】

【命题立意】本题考查集合的基本运算法则，难度较小.

【解析】，，

18.【2012高考真题上海理2】若集合，，则。

【答案】

【解析】集合，，所以，即。

19.【2012高考真题天津理11】已知集合集合且则m=__________，n=__________.

【答案】

【解析】由，得，即，所以集合，因为，所以是方程的根，所以代入得，所以，此时不等式的解为，所以，即。

20.【2012高考江苏1】（5分）已知集合，，则▲．

【答案】。

【考点】集合的概念和运算。

【分析】由集合的并集意义得。

21.【2012高考江苏26】（10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：

①；②若，则；③若，则。

（1）求；

（2）求的解析式（用表示）．

【答案】解：

（1）当时，符合条件的集合为：

，

∴=4。

（2）任取偶数，将除以2，若商仍为偶数．再除以2，···经过次以后．商必为奇数．此时记商为。

于是，其中为奇数。

由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。

于是是否属于，由是否属于确定。

设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。

当为偶数〔或奇数）时，中奇数的个数是（）。

∴。

【考点】集合的概念和运算，计数原理。

【解析】

（1）找出时，符合条件的集合个数即可。

（2）由题设，根据计数原理进行求解。

22.【2012高考真题陕西理18】（本小题满分12分）

（1）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真。

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

【答案】

2012高考真题分类汇编：

二、函数与方程

一、选择题

1.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的

（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件

（C）必要而不充分的条件（D）充要条件

【答案】D

【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数.若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件，选D.

2.【2012高考真题北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。

m值为（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】C

【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。

3.【2012高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：

的是（）

【答案】C

【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。

【解析】与均满足：

得：

满足条件．

4.【2012高考真题天津理4】函数在区间（0,1）内的零点个数是

　　（A）0（B）1

（C）2（D）3

【答案】B

【解析】因为函数的导数为，所以函数单调递增，又，，所以根据根的存在定理可知在区间内函数的零点个数为1个，选B.

5.【2012高考真题全国卷理9】已知x=lnπ，y=log52，，则

（A）x＜y＜z（B）z＜x＜y（C）z＜y＜x（D）y＜z＜x

【答案】D

【解析】，，，，所以，选D.

6.【2012高考真题新课标理10】已知函数；则的图像大致为（）

【答案】B

【解析】排除法，因为，排除A.，排除C,D，选B.

7.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A.B.C.D.

【答案】D.

【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D.

8.【2012高考真题重庆理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】由可知或者，在同一坐标系中做出平面区域如图：

，由图象可知的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D.

9.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数”，是“函数在上是增函数”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若函数在R上为减函数，则有。

函数为增函数，则有，所以，所以“函数在R上为减函数”是“函数为增函数”的充分不必要条件，选A.

10.【2012高考真题四川理3】函数在处的极限是（）

A、不存在B、等于C、等于D、等于

【答案】A.

【解析】即为，故其在处的极限不存在，选A.

11.【2012高考真题四川理5】函数的图象可能是（）

【答案】D

【解析】当时单调递增，，故A不正确；

因为恒不过点，所以B不正确；

当时单调递减，，故C不正确；D正确.

12.【2012高考真题山东理8】定义在上的函数满足.当时，，当时，。

则

（A）335（B）338（C）1678（D）2012

【答案】B

【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，，，所以在一个周期内有，所以，选B.

13.【2012高考真题山东理9】函数的图像大致为

【答案】D

【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令得，所以，，函数零点有无穷多个，排除C,且轴右侧第一个零点为，又函数为增函数，当时，，，所以函数，排除B，选D.

14.【2012高考真题山东理12】设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是

　A.当时，

　B.当时，

　C.当时，

　D.当时，

【答案】B

【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当时，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为，由图象知即，同理当时，则有，故答案选B.

另法：

，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B.

15.【2012高考真题辽宁理11】设函数f（x）满足f（）=f（x），f（x）=f（2x），且当时，f（x）=x3.又函数g（x）=|xcos|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在上的零点个数为

（A）5（B）6（C）7（D）8

【答案】B

【解析】因为当时，f（x）=x3.所以当，f（x）=f（2x）=（2x）3，

当时，g（x）=xcos；当时，g（x）=xcos，注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0），f

（1）=g

（1），，作出函数f（x）、g（x）的大致图象，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B

【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大。

16.【2012高考真题江西理2】下列函数中，与函数定义域相同的函数为

A．B.C.y=xexD.

【答案】D

【命题立意】本题考查函数的概念和函数的性质定义域。

【解析】函数的定义域为。

的定义域为,的定义域为，函数的定义域为，所以定义域相同的是D,选D.

17.【2012高考真题江西理3】若函数，则f（f（10）=

A.lg101B.2C.1D.0

【答案】B

【命题立意】本题考查分段函数的概念和求值。

【解析】，所以，选B.

18.【2012高考真题江西理10】如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为

【答案】A

【解析】（定性法）当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.

【点评】对于函数图象的识别问题，若函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间.

19．【2012高考真题湖南理8】已知两条直线：

y=m和：

y=（m＞0），与函数的图像从左至右相交于点A，B，与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为

A．B.C.D.

【答案】B

【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=（m＞0），图像如下图，

由=m，得，=，得.

依照题意得.

，.

【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=（m＞0），图像，结合图像可解得.

20.【2012高考真题湖北理9】函数在区间上的零点个数为

　　A．4B．5

　　C．6D．7

【答案】C

【解析】，则或，，又，

所以共有6个解.选C.

21.【2012高考真题广东理4】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是

A.y=ln（x+2）B.y=-C.y=（）xD.y=x+

【答案】A

【解析】函数y=ln（x+2）在区间（0，+∞）上为增函数；函数y=-在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=（）x在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=x+在区间（0，+∞）上为先减后增函数．故选A．

22.【2012高考真题福建理7】设函数则下列结论错误的是

A.D（x）的值域为{0,1}

B.D（x）是偶函数

C.D（x）不是周期函数D.

D（x）不是单调函数

【答案】Ｃ．

【解析】根据解析式易知Ａ和Ｄ正确；若是无理数，则和也是无理数，若是有理数，则和也是有理数，所以，从而可知Ｂ正确，Ｃ错误．故选Ｃ．

23.【2012高考真题福建理10】函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：

①f（x）在[1,3]上的图像时连续不断的；

②f（x2）在[1,]上具有性质P；

③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；

④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有

其中真命题的序号是

A.①②B.①③C.②④D.③④

【答案】D．

【解析】若函数在时是孤立的点，如图，则①可以排除；函数具有性质p，而函数不具有性质p，所以②可以排除；设，则,

即，又，所以，因此③正确；

所以④正确.故选D.

二、填空题

24.【2012高考真题福建理15】对于实数a和b，定义运算“﹡”：

，

设，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________.

【答案】．

【命题立意】本题属于新概念型题目，考查了根据条件确定分段函数解析式的能力，以及数形结合的思想和基本推理与计算能力，难度较大．

【解析】由新定义得，所以可以画出草图，若方程有三个根，则，且当时方程可化为，易知；当时方程可化为，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即.

25.【2012高考真题上海理7】已知函数（为常数）。

若在区间上是增函数，则的取值范围是。

【答案】

【解析】令，则在区间上单调递增，而为增函数，所以要是函数在单调递增，则有，所以的取值范围是。

26.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数，且，若，则。

【答案】

【解析】因为为奇函数，所以，所以，，

所以。

27.【2012高考江苏5】（5分）函数的定义域为▲．

【答案】。

【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得

　　　　。

28.【2012高考真题北京理14】已知，，若同时满足条件：

①，或；

②,。

则m的取值范围是_______。

【答案】

【解析】根据，可解得。

由于题目中第一个条件的限制，或成立的限制，导致在时必须是的。

当时，不能做到在时，所以舍掉。

因此，作为二次函数开口只能向下，故，且此时两个根为，。

为保证此条件成立，需要，和大前提取交集结果为；又由于条件2：

要求，0的限制，可分析得出在时，恒负，因此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，当时，，解得，交集为空，舍。

当时，两个根同为，舍。

当时，，解得，综上所述．

29.【2012高考真题天津理14】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.

【答案】或

【解析】函数，当时，，当时，，综上函数，做出函数的图象（蓝线），要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在四边形区域ABCD内（和直线平行的直线除外，如图，则此时当直线经过，，综上实数的取值范围是且，即或。

30.【2012高考江苏10】（5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，

其中．若，

则的值为▲．

【答案】。

【考点】周期函数的性质。

【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。

又∵，，

∴②。

联立①②，解得，。

∴。

三、解答题

31.【2012高考真题江西理22】（本小题满分14分）

若函数h（x）满足

（1）h（0）=1，h

（1）=0；

（2）对任意，有h（h（a））=a；

（3）在（0,1）上单调递减。

则称h（x）为补函数。

已知函数

（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；

（2）若存在，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记时h（x）的中介元为xn，且，若对任意的，都有Sn<,求的取值范围；

（3）当=0，时，函数y=h（x）的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。

【答案】

【点评】本题考查导数的应用、函数的新定义，函数与不等式的综合应用以及分类讨论，数形结合的数学思想.高考中，导数解答题一般有以下几种考查方向：

一、导数的几何意义，求函数的单调区间；二、用导数研究函数的极值，最值；三、用导数求最值的方法证明不等式.来年需要注意用导数研究函数最值的考查.

32.【2012高考真题上海理20】（6+8=14分）已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数（）的反函数.

【答案】

【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．

33.【2012高考真题上海理21】（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：

以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：

①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．

（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求

救援船速度的大小和方向；

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

【答案】

34.【2012高考真题陕西理21】（本小题满分14分）

设函数

（1）设，，证明：

在区间内存在唯一的零点；

（2）设，若对任意，有，求的取值范围；

（3）在

（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。

【答案】

35.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，

炮弹可以击中它？

请说明理由．

【答案】解：

（1）在中，令，得。

由实际意义和题设条件知。

∴，当且仅当时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

（2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，

即关于的方程有正根。

由得。

此时，（不考虑另一根）。

∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

【解析】

（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。

36．【2012高考真题湖南理20】（本小题满分13分）

某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：

件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.

（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；

（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.