辽宁省辽阳市学届高三第一次模拟考试数学理试题Word版含答案.docx
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辽宁省辽阳市学届高三第一次模拟考试数学理试题Word版含答案
辽宁省辽阳市2019学届高三第一次模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.设复数
（
），且
为纯虚数，则
（）
A．
B．
C．
D．
3.如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到
环）的概率是（）
A．
B．
C．
D．
4.已知函数
满足
，则函数
的图象在
处的切线斜率为（）
A．
B．
C.
D．
5.已知
是双曲线
：
（
，
）的一个焦点，点
到
的一条渐近线的距离为
，则双曲线
的离心率为（）
A．
B．
C.
D．
6.在
中，
，
，且
，则
（）
A．
B．
C.
D．
7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．
B．
C.
D．
8.
的展开式中，
的系数为（）
A．
B．
C.
D．
9.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解程中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学中上第一道数列题，其规律是：
偶数项是序号平方再除以
，奇数项是序号平方减
再除以
其前
项依次是
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前
项而设计的，那么在两个“
”中，可以先后填入（）
A．
是偶数，
B．
是奇数，
C.
是偶数，
D．
是奇数，
10.已知函数
为偶函数，当
时，
.设
，
，
，则（）
A．
B．
C.
D．
11.将函数
的图象向左平移
（
）个单位长度后得到
的图象，若
在
上单调递减，则
的取值范围为（）
A．
B．
C.
D．
12.已知抛物线
：
，
为
轴负半轴上的动点，
，
为抛物线的切线，
，
分别为切点，则
的最小值为（）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设向量
，
，
，若
，则实数
．
14.设
，
满足约束条件
，则
的最大值为．
15.已知
，则
．
16.如图，圆形纸片的圆心为
，半径为
cm，该纸片上的正方形
的中心为
，
，
，
，
为圆
上的点，
，
，
，
分别以
，
，
，
为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以
，
，
，
为折痕折起
，
，
，
，使得
，
，
，
重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的
倍时，该四棱锥的外接球的体积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设
为数列
的前
项和，已知
，
（
）.
（1）证明：
为等比数列；
（2）求
18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众帐号，用户只需以运动手环或手机协处理器的运动教据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现，现随机选取朋友圈中的50人记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下:
步数/步
以上
男性人数/人
女性人数/人
规定:
人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.
（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率,记
表示随机抽取
人中被系统评为“积极性”的人数，求
和X的数学期望.
（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）
其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为
;
其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为
；
求
的概率.
19.如图，在直角梯形
中，
，
，且
，
，
分别为线段
，
的中点，沿
把
折起，使
，得到如下的立体图形.
（1）证明：
平面
平面
；
（2）若
，求二面角
的余弦值.
20.已知椭圆
：
（
）的离心率为
，且
点过
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线
与椭圆
交于
，
两点（点
，
均在第一象限），且直线
，
，
的斜率成等比数列，证明：
直线
的斜率为定值.
21.已知函数
.
（1）讨论函数
（
）的单调性；
（2）若
时，对
恒成立，求
的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，圆
：
，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
：
（
）.
（1）求
的极坐标方程和
的平面直角坐标系方程；
（2）若直线
的极坐标方程为
（
），设
与
的交点为
、
，
与
的交点为
，
求
的面积.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数
，
.
（1）求不等式
的解集；
（2）若存在
，使得
和
互为相反数，求a的取值范围.
辽宁省辽阳市2019学届高三第一次模拟考试
数学（理）试题答案
一、选择题
1-5:
ADBCC6-10:
ABBDA11、12：
DA
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.
（1）证明：
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
则
（
），
∴
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）解：
由
（1）知
，则
.
∴
.
18.解：
（1）被系统评为“积极性”的概率为
，
故
.
的数学期望
.
（2）“
”包含“
，
”，“
，
”，“
，
”，“
，
”，“
，
”，“
，
”.
，
，
，
，
，
，
所以
.
19.
（1）证明：
由题可得
，则
，
又
，且
，所以
平面
.
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）解：
（方法一）过点
作
交
于点
，连接
，则
平面
，
.
又
，
，所以
平面
，
.
易得
，则
，得
.
以
为坐标原点，
的方向为
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
.
故
，
，
，
.
设
是平面
的法向量，则
令
，得
.
设
是平面
的法向量，则
令
，得
.
因为
，所以二面角
的余弦值为
.
（方法二）依题意可得
平面
，
.
即
平面
，所以平面
平面
.
取
的中点
，
的中点
，连接
，
，
，
因为
，所以
.
又平面
平面
，所以
平面
.
因为
，且
，
，且
，
所以
，即四边形
是平行四边形.
所以
.从而
平面
.所以
.
作
交
于点
，连接
，因为
，
，所以
平面
.所以
，所以
是二面角
的平面角.
过点
作
交
于点
，连接
，则
平面
，
.
又
，
，所以
平面
，
.
易证
，则
，得
.
易得
，
，
，
在
中，
，则
.
由
，得
.
所以
.则
.
所以二面角
的余弦值为
.
20.解：
（1）由题意可得
，
解得
，故椭圆
的方程为
.
（2）由题意可知，直线
的斜率存在且不为
，
故可设直线
的方程为
（
）.点
，
的坐标分别为
，
，
由
，消去
得
，
则
，且
，
故
又直线
，
，
的斜率成等比数列，则
，
即
，所以
.又结合图象可知
，所以直线
的斜率为定值.
21.解：
（1）
，
当
时，
，∴
在
上单调递增.
当
时，
，故当
或
时，
在
上单调递增.
当
时，令
，得
或
；
令
，得
.
∴
在
上单调递减，在
，
上单调递增.
（2）设
.则
，
当
时，
，若
，
，则
，∴
在
上单调递增，从而
.此时，
在
上恒成立.
若
，令
，当
时，
；‘
当
时，
.∴
，
则
不合题意.
故
的取值范围为
.
22.解：
（1）因为圆
的普通方程为
，
把
，
代入方程得
.
所以
的极坐标方程为
，
的平面直角坐标系方程为
.
（2）分别将
，
代入
，得
，
.
则
的面积为
.
23.解：
（1）由题意可得
，
当
时，
，得
，无解.
当
时，
，得
，即
.
当
时，
，得
.
综上，
的解集为
（2）因为存在
，
，使得
成立.
所以
.
又
，
由
（1）可知
，则
.
所以
，解得
.
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