高等代数北大版第6章习题参考答案.docx
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高等代数北大版第6章习题参考答案
第六章
线性空间
1•设MuN,证明：
MRN=M、MUN=N。
证任取aeM，由MuN,得awN,所以awMDN,即证又因MflNuM,故Mp|N=M。
再证第二式，任取a^M或a已N,但MuN,因此无论哪一种情形，都有aeN,此即。
但NuMUN,所以MUN=N°
2.证明Mp|（NUD=（MriN）U（MrU）,MU（NfU）=（MUN）n（MUD。
证VxwMCl（NUD，则在后一情形，于是xeMflN佥
所以xe（MC\N）\J（MC\L）,由此得MCl（NUD=（MnN）U（Mri厶）。
反之，若xw（MnN）U（MfU），则xwMCIN或iwMClL.在前一情形，x已M、x已N、因此x^N\JL.故得xeMCl（NUE）,在后一情形，因而xeM,xeL,x^N\jL,得xwMCl（NU厶），故（MnN）U（MClDuMri（NU厶），
于是Mn（NUD=（MriN）u（Mru）。
若xwMU（NDZJ,贝ijxeM,xeNf）厶。
在前一情形XxwMUN,且XwMU厶,因而xw（MUN）n（MUL）。
在后一情形，xwN,xwL,因而xiWUN,且XwMU厶，即Xw（MUN）n（MUL）所以（MUN）n（MUL）uMU（NUL）
故MU（Np|L）=（MUN）pl（MUL）
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1）次数等于n（n>l）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2）设A是一个nXn实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数呈乘法；
3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向疑的加法和数量乘法；
5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（?
勺2（。
+"（4+9,9+2+吧）
ko（a,勺）=（kaP込+°：
6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
£。
=0；
7）集合与加法同6）,数量乘法定义为：
k。
a=a；
8）全依正实数r,加法与数量乘法定义为：
a®b=ah,k°a=ak；
解1）否。
因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如
（*+5）+（-£一2）=3。
2）令匸{f（A）|f（x）为实数多项式，八是nXn实矩阵}因为
f（x）+g（x）=h（x）,kf（x）=d（x）
所以
f（A）+g（A）=h（A）,kf（A）=d（A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的广8条，故v构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的广8条性质，只需证明对称矩阵（上三
角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。
下面仅对反对称矩阵证明：
当A,B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
（A+B）'二A'+B'二-A-B二-（A+B）,A+B仍是反对称矩阵。
（K4）'=KA'=K（—4）=一（山），所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。
例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0,0）是零元，任意（a,b）的负元是
（-a,（厂-b）。
对于数乘：
L（d,"）=（1。
a,l。
b=~d'）=（a,Z?
）,
2
k・（L（a、b）=k.（lajb+^—12a2）=伙匕k[lb+a2]+（/«）2）
222
={kla,k[lb+必丄a2]+（la）2）=（kla,空—a2+巴二12（/«）2）
2222
=（kla.kl（kl~i}a2+klh）=伙/）©"）,
2
（k+/）.（«,b）=[（k+l）a,伙‘）伙+/_）2a2+伙+/）/?
]
2
b）㊉/.（«,b）=（ka.kb+■—_—a2）©（la.lb+—~~—a2
22
z/...k伙一1）2k（k_l）.门"
=（ka+la.kb+cr+—a"+klcr）
22
=[伙+/）«,伙+水+/一"a2+伙+l）b].
2
即伙+/）o（ayb）=ko（a.b）©/o（a.b）。
上。
[（%也）®（a29b2）]=ko（a}+a2.b{+b2+axa2）
=[k（®+“2），k®+b2+“心2+川：
一"（q+a2）2）],
2
koabi）㊉ko（a2,b2）=（g,kt\+虫；—!
■）a：
）㊉（ka2,kb2+纟（；」）a}）
22
z..,fk（k—V）.k（k—Y）•>.、
=（ka、+ka2,kb{+a[+kb2+a；+k^a}a2）
22
z.zx.zr,、k（k—\）yk（k—\）•>.>.、
=（K（6Zj+a2）.k（b[+b2+““）+百++a；+k^axa1一kqa?
）
即ko（a^b.）®（a2.b2）=ko（a}b}）㊉/:
叽①厶）.所以，所给集合构成线性空间。
6）否.因为lo7）否，因为（k+l）oa=a.koa+1oa=a+a=2a,所以伙+/）©«H伙。
a）+（/。
a）,所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
i）a®b=ah=ba=b㊉a\
ii）（a㊉/?
）㊉e=（ab）㊉c=abc=a㊉（be）=a㊉（Z?
㊉c）;
i〃）l是零兀：
a㊉1=o・l=a;
的负元是—:
«©—=«•—=1,且丄㊉a=1;
aaaa
u）l㊉a=a=a\
vi）（ko（/oa））=ko（（/）=（a）;=/=『=（kl）oa;
vii）（k+/）oa=aJ=ak・a!
=（ka）㊉（la）;
viii）ko（a®b）=ko（ab）=（ab）k=akbk=（koa）®（kob）.
所以，所给集合/T构成线性空间。
4在线性空间中，证明：
1）k0=02）k（a-p）=ka-kp.
证1）kO=k（a+（-a））=ka+k（-a）=ka+k（-Y）a=（k+（-k））a=Oa=0<>
2）因为k（a一0）+£0=k（a一/?
+0）=ka、所以k（a一卩）=ka-k卩。
3）
5证明：
在实函数空间中，1,cos2cos2/式线性相关的。
证因为cos2/=2cos，/—1,所以1,cos2r,cos2r式线性相关的。
6如果是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证若有不全为零的数広北2北3flM+k2f2（X）+k3f3（X）=0,
不妨设人工0,则/1（x）=-7^/2（x）--^/3（x）,这说明f2（x\f3（x）的公因式也是兀（劝的因式，即/,（x）,/2（A/3U）有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以t（X）,/2（X），厶CO线性无关。
7在P4中，求向量：
在基刍,02,乙，6下的坐标。
设
1）设有线性关系f=Ci£}+bs2+C£3+ds4,贝卜
可得歹在基斫心心召下的坐标为a=-,b=-,c=--
444
可得歹在基习，£2,6,6下的坐标为a=l.b=O.c=-l.d=0°
8求下列线性空间的维数于一组基：
1）数域P上的空间P/,x/r；2）中全体对称（反对称,上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3）第3题8）中的空间；4）实数域上由矩阵八的全体实
解1）严〃的基是｛Q｝（iJ=12・・・,心且dim（pM）=&
是对称矩阵所成线性空间的一组基，所以是
ii）令Gy=
即%=-ciji=1,（/H丿），其余元素均为零，则
・-1
｛G2,…仇2少…©2小…QlS｝是反对称矩阵所成线性空间S〃的一组基，所以它是巴二维的。
2
ill）｛気,…俎工艺—旦^…厶枷｝是上三角阵所成线性空间的一组基•所以它是巴凹维的。
2
3）任一不等于1的正实数都是线性无关的向量•例如取2,且对于任一正实数"•可经2线性表出，即・d=（log2d）o2・所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
1,77=3q
4）因为所以
con=co.n=3q+\>
a）2ji=3g+2
<1、
fl]
E,n=3q
于是A2=
M?
=
1
=E,而A"=<
A.n=3g+1。
<
、1>
=3q+2
9•在P*中•求由基气，馮厲宀，到基〃的过渡矩阵，并求向量纟在所指基下的坐标。
设
®=（1,0,o,o）A勻=（0,1,0,0）巧=（0,0,1,0）耳=（0,0,0,1）,
=（XPX2,X3,X4）在下的坐标;
7=（2,1-04）
%=（0,1,2,2）
7/3=（-2,1,1,2）
久=（134.2）
•斫=（12-10）、
J^2=（1,-1,1,1）[6=（-1,2丄1）
04=（-1,-1,。
1）丿
M=（1,0,0,0）在列下的坐标;
M=（1,0,0,-1）在〃］,〃2，〃3昇74下的坐标;
056、
3
I）（77】,〃2,773，〃4）=（£「£2，巧，£4，）
36
121
013丿
这里A即为所求由基®,6心,匂，到〃的过渡矩阵，将上式两边右乘得A=
得（気、乙心心）=A"1,
于是
/\
州1
\
=（£[,^29^3*^4）
E丿
=（弘，〃2，〃3，〃4）A'*
所以在基下的坐标为
I左ah
X3
丄9-||2一3兰刃
-34-9O
这里A'l=
2）令e=（1,0AO）,e2=（0,1,0,0）,e3=（0,0J,0）,e4=（0,0,0J）则
a
1
（〃］刀2刀3，〃4）=（如勺角"4）0
<1
1-1
-12
—1
11
0=（“2・SSA,
11
1>
0-21>
113
211
二（勺，勺s，勺）B,
222丿
将（5勺勺，5）=（£］,勺吗，®）代入上式，得
（〃］，〃2，〃皿）=（%6,$3,6）“B,
这里
且A^B即为所求由基“匂禺％到基7，〃2，〃3皿的过渡矩阵，进而有
§=（1,0,0,0）二（,e2e3,e4）
0
0
<0；
rr
0
0
<0>
3
13
5
13
2_
13
2
13>
所以歹在£},£2,£^£4下的坐标为（看，A
2
13
3
13
3）e^e2e3,e4同2）,
"1
1
1
J
A'1
1
1、
仃
2
1
0）
-1
-1
B=
1
1
1
1
-1
0
3
0
-1
-1
1
0
1>
1
1
1
、
1
-1
-
1
-1
1
—
1
9
-1
-1
1
丿
同理可得
£
4
q
1
1
1
\
1
1
-1
-1
则所求由习，勺，$3,6到771'〃2卯3刀4的过渡矩阵为
AhB=
4
丄
4
1
7
4
£
4
3
4
£
4
再令M="〃］+b〃2+c〃3+d〃4，即
（1,OQO）=仏hc,〃）弘
〃3
=（a,b、c、d）]
<0
1
1
1
1
0
3
0
-1
1
1
0
-1>
由上式可解得f在下的坐标为下的坐标为
10.继第9题1）求一非零向量§,它在基与耳胡2山3山4下有相同的坐标。
解设纟在两基下的坐标为（羽*2，屯.七），则
（£],$2，£3，£4）
（、
X\
-V2
X3
/\
州
X2
X3
宀丿
又因为
所以
f、
册
\
西1
X
x2
x2
=>（A-E）
X2
=A
X3
尤3
占丿
占丿
于是只要令七=一。
就有
X）+2x2+3牙3=6c
<-X）+x2+x3=C,
x}+x3=2c
解此方程组得
（xj,x2.x3x4）=（c,c,c-c）（c为任意非零常数）,
取c为某个非零常数5,则所求歹为
11.证明：
实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。
证因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。
12•设Vp%都是线性空间V的子空间，且Xu%,证明：
如果％的维数与岭的维数相等，那么
证设dim（岭）二r,则由基的扩充定理，可找到叫的一组基5勺，••…因叫<=匕，且它们的唯数相等，故角卫2,••…。
八，也是匕的一组基，所以岭=叫。
13.恥严。
1）证明：
全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；
2）当A二E时，求C（A）；
<1]
2
3）当A-时，求C（A）的维数和一组基。
••••••••—••••••••••
证1）设与A可交换的矩阵的集合记为C（A）O若B,D属于C（A）,可得
A（B+D）二AB+AD二BA+DA二（B+D）A,
故B+DeC（A）o若k是一数，BeC（A）,可得
A（kB）=k（AB）=k（BA）=（kB）A,
所以kBeC（A）o故C（A）构成P”x“子空间。
2）当A=E时,C（A）=PnXno
4）设与A可交换的矩阵为B=（btj）,则B只能是对角矩阵，故维数为n,E,p£：
22,...Ezfn即为它的一组基。
14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。
解若记
5
0
ol
0
0）
A=
0
1
0
+
0
0
0
=E+S,
0
1」
1
1
abc
并设B二axbxc,与A可交换，即AB二BA,则SB二BS°且由
4Xc2>
5
该方程组的系数矩阵的秩为2,所以解空间的维数为5。
取自由未知量并
令b二1,其余为0,得c2=3ta=3；
r0
0
0、
z
a
b
c、
70
0
0
SB二
0
0
0
hx
q
=
0
0
0
、3
1
b
山2
C2）
^3a+a}+a2
3b+b}+b2
3c+c}+c2
令方]=1,其余为0,得c2=lfa=l;
令心二1，其余为0,得c，=0,a=-一；「•3
令b2=l9其余为0,得c2=lta=l；
则与A可交换的矩阵为
'ab0、
B=⑷b、0,
"Xc2>
其中，a,c?
可经b9a}.a2.b[9h2表示，所求子空间的一组基为
且维数为5。
15.如果54+50+3=0,且心心工。
证明：
L（a,0）=L（0』）。
证由c^hO,知qHO,所以a可0,卩经线性表岀，即Z0可经0』线性表出,
同理，0』也可经a,0线性表出。
故L@,0）=L（0』）。
16.在中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。
设
ci\=（2,1,3,1）
5=（120,1）
=（-1,1-3,0）
5=（1J丄1）
«i=（2丄3,-1）
a丄=（—1,1,—3,1）
c<3=（4,5,3,-1）
«4=（1,5,-3,1）
解1）aXya2>a3,a4的一个极大线性无关组a},a2,a4,因此a},a2,a4为L（q,"2,6，"4）的一组基，且的维数是3。
2）绚,"2，"3，"4的一个极大线性无关组为故绚，。
2是L（"],“2，"3，d4）的一组基，且维数为2。
17.在中，由齐次方程组
3Xj+2x2-5x3+4x4=0
<3xl-x2+3x3一3x4=0
3“+5x2一13x3+1lx4=0
确定的解空间的基与维数。
解对系数矩阵作行初等变换，有
2
-5
4、
"3
2
-5
4「
2
-5
4
3
-1
3
-3
0
-3
8
-7
0
-3
8
-7
5
-13
I
<0
3
一8
7丿
0
0
0
0
/
1&求由向生成的子空间与由向呈0,02生成的子空间的交的基与维数，设
=（1,2丄0）胡=（2,-1,0,1）
勺=（-1丄1」）[02=（1，-1，3,7）‘
“P，=（1JAO）=（0AU）
//2=（1AU）102=（0」丄0）‘
解1）设所求交向量
y=h%+焉a2=i{a+/2灼，
则有
匕a}+k2a2-/t0]+J02=0,
k、——2/]—/、=
0
即
<
2k、++，1+?
2=
0
k、+k2-3/2=0
^2-/,-7Z2=0
1
-1
-2-1
1-1-2
2
1
11
可算得D=
=0,
且
211
HO,
1
1
0—3
110
0
1
-1-7
因此方程组的解空间维数为1,故交的维数也为1。
任取一非篆解（=
（—1,4,—.3,1）,得一组基y=—a、4-4tz2=（—5,2,3,4）,
所以它们的交L（力是一维的，/就是其一组基。
2）设所求交向量了=匕+忍=厶01+厶02，
«+匕=0
k.-L=0
则有彳-,
—°
為-/产0
因方程组的系数行列式不等于0,故方程组只有零解，即=k2=/,=/2=0,从而
交的维数为0。
3）设所求交向量为卩=匕©+他冬二人0|+厶02，
kx+3k2一£3—2人+厶=0
2匕+他-5厶-2厶=0
刃5*9
—k]+k]+為+6/]+7/?
=0
—2k、+—k、+5/]—3/、—0
13-11
工0知解空间是一维的，因此交的维数是1。
令厶=1,,可
210-2
-1117
-21-1-3
得/2=0,因此交向量/=/,/?
+i2p2=px就是一组基。
19.设岭与分别是齐次方程组山+X2+...4-xn=0,=x2=...=X„_］=xn的解空间，
证明：
Pn=v}㊉匕
证由于勿+七+•••+%“=0的解空间是你n—l维的，其基为al=（-1,1,0,...,0）,a2=（一1,0丄=（一1,0,0,...,1）而由x}=x2=...=xn_,=xn知其解空间是1维的,令兀=1,则其基为0=（1,1,...1）.且內心?
...,即为P"的一组基，从而Pn=Vl+V2.Xdin20.证明：
如果V=V1+V2,V1|㊉％?
那么V=Vt］㊉％2㊉匕。
证由题设知v=VH+vi2+v2,因为V=V］㊉匕，所以
diin（V）=dindinXV,）=din故dim（V）=dim（VJj）+dim（V12）+dim（V2）,即证V=Vl|©V12®V20
21.证明：
每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。
证设勺,/，…,匕是n维线性空间V的一组基。
显然厶（？
）,厶（02），•••，厶（乙）都是V的一维子空间，且^（6?
!
）+L（a2）+...+L（a/Z）=L（a^a2,...,a„）=V,又因为din<厶（a】））+dim（L（a2y）+...+dim（L{an））=din故V=L（a{）®L{a2）©...©L（an）<>
22.证明：
和是直和的充分必要条件是={0}（/=2,...,5）o
i-lj-l
J—I
证必要性是显然的。
这是因为u%n工匕•={0},所以
片1
皿壬匕={0}。
J-1
充分性设不是直和，那么0向量还有一个分解0=冬+6/2+“・+0『，
1-1
其中勺已匕（j=l,2,...,s）。
在零分解式中，设最后一个不为0的向量是（k<5）,则0=勺+a?
+…++Qr,即a}+a2+...+ak_{=-ak,
因此乙已£匕,匕已匕，这与匕门£匕={0}矛盾，充分性得证。
j-ij-i
23.再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性空间R’。
1）问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？
2）设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间厶，厶2,厶，问厶+厶2,厶+厶2+厶能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来；
3）就用该三维空间的例子来说明，若U.V.X.V是子空间，满足U+V=X,XnY,是否一定有Y=YC\U+YC\V.
解1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。
2）厶+厶2
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