一元二次不等式组解法.docx

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一元二次不等式组解法

一元二次不等式的解法

   一、学习目标

   1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。

   2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。

   二、例题

第一阶梯

   例1什么是一元二次不等式的一般式？

   【解】一元二次不等式的一般式是：

   ax2+bx+c（a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0）

   【评注】

   1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。

   2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。

   例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？

   【点拨】用函数的观点来回答。

   【解】

   二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：

设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。

   【评注】

   二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。

它是函数与方程思想的应用范例。

应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。

   例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。

   【解】一元二次不等式的解集表：

记忆图

分类

△＞0

△=0

△＜0

ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集

（－∞，x1）∪（x2,＋∞）

（－∞，x0）∪（x0，＋∞）

R

ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集

（x1，x2）

   【评注】

   1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。

   2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。

   例4、写出一元二次不等式的解法步骤。

   【解】一元二次不等式的解法步骤是：

   1.化为一般式ax2+bx+c＞0（a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0）。

这步可简记为“使a＞0”。

   2.计算△=b2－4ac，判别与求根：

解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。

   3.写出解集：

用区间或用大括号表示解集。

   例：

解不等式 x+2＞3x2

   解：

原不等式等价于

   3x2－x－2＜0

   解方程3x2－x－2=0得二根：

，x2=1。

   ∴原不等式的解集为（

，1）。

第二阶梯

   例1、解下列不等式：

（1）2+3x－2x2＜0；

（2）－x2+2x－3x＞0；

   （3）x2－4x+4＞0

   【解】

（1）原不等式等价于2x2-3x-2>0

   由2x2－3x－2=0得

，x2=2.

   ∴原不等式的解集是

（2）原不等式等价于:

x2-2x+3<0

   由△=

＜0，知原不等式解集为

。

   （3）△=

，方程

有等根

，

   ∴原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠2}。

   【评注】

   1.要严格按“解法步骤”求解。

   2.最后要用集合表示法表出解集。

如本倒的

（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集，该题的解集也可用区间表为

，但有的同学把第（3）题的解集表为x≠2，这是错误的。

   例2、解不等式（1+x）（2-x）（x2+x+1）＞0

   【探路】化为一元二次不等式来解。

   【解】

   ∵y=x2+x+1的判别式△=12＜0，a=1＞0

   ∴对一切x∈R恒有x2+x+1＞0，

   ∴原不等式等价于

   （1+x）（2-x）＞0

＜0

－1＜x＜2

   ∴原不等式的解集为（－1，2）。

   例3、设全集为R，已知A={

}，求

。

   【探路】解不等式化简集合A。

   【解】

，……

（1）

   方程2x2-x-1=0的两根为

   ∴不等式①的解集为[

，1]，

   ∴A=[

，1]

   ∴

   例4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围。

   【探路】列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组。

   【解】已知方程有两个负根的等价条件是

   ∴m的取值范围是（

]∪[1，＋∞）

   【评注】

   1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故△≥0，因此列成△＞0是错误的。

又若只列成△≥0也是错误的，△≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x2>0,x1+x2<0的条件。

   2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用。

第三阶梯

   例5、已知A=

，B=

。

（1）若B

A，求a的取值范围；

（2）若A∩B是单元素集合，求a取值范围。

   【探路】先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值。

   【解】解不等式

得A=[1，2]；而B={

≤0}。

（1）若B

A，如图1，得a的取值范围是1≤a＜2。

（2）若A∩B是单元素集合，如图2，A∩B只能是集合{1}  ∴a的取值范围是a≤1。

   【评注】

   集合B的最简表示只能是B={

}，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的区间；此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B={1}，也不该表示为区间。

   例6、解关于x的不等式2x2-5ax-3a2＜0（a∈R）。

   【探路】先求出不等式相应的二次方程的根，然后注意分类讨论，比较两根的大小，求出不等式的解集。

   【解】

   解方程2x2-5ax-3a2=0，得

   当a＞0时，

＜3a，原不等式的解集是（

，3a）；

   当a＜0时，

＞3a，原不等式的解集是（3a，

）；

   当a=0时，

=3a=0，原不等式的解集是

。

   【评注】解含字母系数的二次不等式，在求出相应方程的二根后，应注意对字母分类讨论两根的大小，进而确定相应的解集。

   例7已知

（且b＞0）的解集为{x|－1≤x≤2}，求实数a，b的值。

   【探路】将不等式|ax+3|≤b化为二次不等式，利用二次不等式与二次方程的关系求a、b的值。

   【解】

   ∴关于x的二次不等式

（a2＞0）的解集为[－1，2]。

   ∴－1和2是方程

的二根

   ∴

   解得

；或

   ∵b＞0，舍去后一组解。

   ∴a=-6,b=9

   【评注】本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题。

   三、练习题

A组

   1.不等式|x（x+1）|＞x（x+1）的解集是（   ）

   （A）（－∞，－1）∪（－1，+∞）   （B）（－1，+∞）

   （C）（－∞，－1）∪（－1，0）     （D）（－1，0）

   2.不等式42x2+ax＜a2（常数a＜0）的解集是（   ）

   （A）

              （B）

   （C）

    （D）

   3.不等式

＜0的解集是（   ）

   （A）（0，3）  （B）（－3，0）（C）（－3，3）（D）R

   4.若关于x的不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为

，那么（   ）

   （A）a＜0，且b2－4ac＞0    （B）a＜0，且b2－4ac≤0

   （C）a＞0，且b2－4ac≤0    （D）a＞0，且b2－4ac＞0

   5.有三个关于x的方程：

，已知其中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为（   ）

   （A）－4≤a≤4 （B）－2＜a＜4 （C）a＜0  （D）a≤－2，或a≥4

   6.不等式4≤x2-3x＜18的整数解集是            。

   7.若方程组

有两组解，则实数m的取值集合是            。

   8.集合A=

，B=

，则A∩B=           。

   9.若

的解集是{x|2＜x＜4}，则p，q的值分别是p=      ，q=     。

   10.对任何实数x，函数

的值恒为负数，则p的取值范围是        。

   【答案】

   1.D 2.B  3.C4.C    5.D  6.{－2，－1，4，5} 7.（

）

   8.（2，4） 9.

  10.－4＜p≤0   

B组

   1．解不等式：

（1）（x+1）（x+2）＞0;

（2）2x（x-

）＜0;

   （3）14-4x2≥x;

   （4）0＜x2-x-2＜4.

   2.解不等式组

   x（x2+1）≥（x+1）（x2-x+1）,

   1-2x＞3（x-9）.

   3.解不等式：

（1）

＜0                 

（2）

＞1

   4．解不等式（x+a）（x+b）＞0　（a＜b）

   5．X为何值时，抛物线y=-x2+5x-5上的点位于直线y=1的上方。

   6．已知U=R,且A={x|x2-9<0},B={x|x2-3x+2≥0}求：

（1）A∩B； 

（2）A∪B （3）Cu（A∩B） （4）（CuA）∪（CuB）

   7．不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1<0的解集为R，求a的取值范围。

   8．解不等式x>

   9.已知全集U=R，A={x|x2-x-6>0},B={x|x2+2x-8>0},C={x|x2-4ax+3a<0},若A∩BC，求实数a的取值范围。

   10．已知A={x||x-a≤1},B={x|

≥0},且A∩B=,求a的取值范围。

   答案

   1．

（1）{x|x<-2或x>-1};  

（2）{x|0

}; （3）{x|-2≤x≤

}; （4）{x|-2

   2.{x|1x<

} 

   3.

（1）{x|-

〉;

（2）{x|

}  

   4.{x|x<-b或x>-a}.

   5.{x|2

   6.易得A＝（－3，3），B＝（－∞，1）∪［2，＋∞］，则

（1）A∩B＝｛x|-3<3｝

（2）A∪B＝R

   （3）Cu（AB）={x|x≤–3或1

   （4）（CuA）∪（CuB）={x|x≤–3或1

   7．当a2-1=0时a=1,有x∈R.

   当a2-1≠0时，△＝（a-1）2+4（a2-1）=5a2-2a-3<0

   a2-1<0 即—

   综上所述：

－

   8．x>

化为

>0，化为

或

即x>1或-1所以解集为{x|-1

   9.A=（-2,3）,B=（－∞,-4） （2,+∞）,A∩B=（2,3）,C={x|（x-a）（x-3a）<0},

   当a<0时,c=（3a,a）,A∩B∈C不可能成立

   当a>0时，c=（a,3a）,由A∩B∈C得

即1≤a≤2.

   10.A=[a-1,a+1], B=[0,1]∪（3,+∞）

   a+1<0或

即a<-1.