第31讲 matlab插值计算.docx
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第31讲matlab插值计算
插值方法
晚上做一个曲线拟合，结果才开始用最小二乘法拟合时，拟合出来的东西太难看了！
于是尝试用其他方法。
经过一番按图索骥，终于发现做曲线拟合的话，采用插值法是比较理想的方法。
尤其是样条插值，插完后线条十分光滑。
方法付后，最关键的问题是求解时要积分，放这里想要的时候就可以直接过来拿，不用死去搜索啦。
呵呵
插值方法的Matlab实现
一维数据插值
MATLAB中用函数interp1来拟合一维数据，语法是YI=INTERP1（X,Y,XI,方法）
其中（X，Y）是已给的数据点，XI是插值点，
其中方法主要有
'linear' -线性插值，默认
'pchip' -逐段三次Hermite插值
'spline' -逐段三次样条函数插值
其中最后一种插值的曲线比较平滑
例：
x=0:
.12:
1;x1=0:
.02:
1;%（其中x=0:
.12:
1表示显示的插值点，x1=0:
.02:
1表示插值的步长）
y=（x.^2-3*x+5）.*exp（-5*x）.*sin（x）;
plot（x,y,'o'）;holdon;
y1=interp1（x,y,x1,'spline'）;
plot（x1,y1,':
'）
如果要根据样本点求函数的定积分，而函数又是比较光滑的，则可以用样条函数进行插值后再积分，在MATLAB中可以编写如下程序：
functiony=quadspln（x0,y0,a,b）
f=inline（'interp1（x0,y0,x,''spline''）','x','x0','y0'）;
y=quadl（f,a,b,1e-8,[],x0,y0）;
现求sin（x）在区间[0，pi]上的定积分，只取5点
x0=[0,0.4,1,2,pi];
y0=sin（x0）;
I=quadspln（x0,y0,0,pi）
结果得到的值为2.01905，精确值为2
求一段matlab插值程序
悬赏分：
20-解决时间：
2009-12-2619:
57
已知5个数据点：
x=[0.250.50.751]y=[00.31040.61770.78861]，求一段matlab插值程序，求过这5个数据点的插值多项式，并在x-y坐标中画出y=f（x）图形，并且求出f（x）与x轴围成图形的面积（积分），不胜感激！
使用Lagrange插值多项式的方法：
首先把下面的代码复制到M文件中，保存成lagran
function[C,L]=lagran（X,Y）
%input-Xisavectorthatcontainsalistofabscissas
%-Yisavectorthatcontainsalistofordinates
%output-Cisamatrixthatcontainsthecoefficientsofthelagrangeinterpolatorypolynomial
%-Lisamatrixthatcontainsthelagrangecoefficientspolynomial
w=length（X）;
n=w-1;
L=zeros（w,w）;
fork=1:
n+1
V=1;
forj=1:
n+1
ifk~=j
V=conv（V,poly（X（j）））/（X（k）-X（j））;
end
end
L（k,:
）=V;
end
C=Y*L;
然后在命令窗口中输入以下内容：
x=[00.250.50.751];
y=[00.31040.61770.78861];
lagran（x,y）
ans=
3.3088-6.38513.31640.75990
得到的数据就是多项式各项的系数，注意最后一个是常数项，即x^0，
所以表达式为:
f=3.3088*x.^4-6.3851*x.^3+3.3164*x.^2+0.7599*x
求面积就是积分求解
>>f=@（x）3.3088*x.^4-6.3851*x.^3+3.3164*x.^2+0.7599*x;
>>quad（f,0,1）
ans=
0.5509
这些点肯定是通过这个多项式的！
MATLAB插值与拟合
§1曲线拟合
实例：
温度曲线问题
气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T
13
15
17
14
16
19
26
24
26
27
29
试描绘出温度变化曲线。
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。
曲线拟合有多种方式，下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合，最后给出拟合的多项式系数。
1.线性拟合函数：
regress（）
调用格式：
b=regress（y,X）
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X）
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X,alpha）
说明：
b=regress（y,X）返回X与y的最小二乘拟合值，及线性模型的参数值β、ε。
该函数求解线性模型：
y=Xβ+ε
β是p´1的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的n´1的向量；y为n´1的向量；X为n´p矩阵。
bint返回β的95%的置信区间。
r中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。
Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。
例1：
设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。
即y=10+x+ε；求线性拟合方程系数。
程序：
x=[ones（10,1）（1:
10）'];
y=x*[10;1]+normrnd（0,0.1,10,1）;
[b,bint]=regress（y,x,0.05）
结果：
x=
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
y=
10.9567
11.8334
13.0125
14.0288
14.8854
16.1191
17.1189
17.9962
19.0327
20.0175
b=
9.9213
1.0143
bint=
9.7889 10.0537
0.9930 1.0357
即回归方程为：
y=9.9213+1.0143x
2.多项式曲线拟合函数：
polyfit（）
调用格式：
p=polyfit（x,y,n）
[p,s]=polyfit（x,y,n）
说明：
x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
矩阵s用于生成预测值的误差估计。
（见下一函数polyval）
例2：
由离散数据
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
拟合出多项式。
程序：
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52];
n=3;
p=polyfit（x,y,n）
xi=linspace（0,1,100）;%linspace用于创建向量，如：
x=linspace（a1,a2,a3）;
a1为第一个元素，a2为最末一个元素，a3表示x共有a3个元素，每个元素间距相等。
z=polyval（p,xi）;%多项式求值
plot（x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b'）
legend（'原始数据','3阶曲线'）
结果：
p=
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035
多项式为：
16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035
曲线拟合图形：
如果是n=6，则如下图：
也可由函数给出数据。
例3：
x=1:
20,y=x+3*sin（x）
程序：
x=1:
20;
y=x+3*sin（x）;
p=polyfit（x,y,6）
xi=linspace（1,20,100）;
z=polyval（p,xi）; %多项式求值函数
plot（x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b'）
legend（'原始数据','6阶曲线'）
结果：
p=
0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304
再用10阶多项式拟合
程序：
x=1:
20;
y=x+3*sin（x）;
p=polyfit（x,y,10）
xi=linspace（1,20,100）;
z=polyval（p,xi）;
plot（x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b'）
legend（'原始数据','10阶多项式'）
结果：
p=
Columns1through7
0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360
Columns8through11
-42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671
可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。
3. 多项式曲线求值函数：
polyval（）
调用格式：
y=polyval（p,x）
[y,DELTA]=polyval（p,x,s）
说明：
y=polyval（p,x）为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计YDELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。
则YDELTA将至少包含50%的预测值。
（未完）
4. 多项式曲线拟合的评价和置信区间函数：
polyconf（）
调用格式：
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s）
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s,alpha）
说明：
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间YDELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。
1-alpha为置信度。
例4：
给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。
程序：
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]
n=3;
[p,s]=polyfit（x,y,n）
alpha=0.05;
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s,alpha）
结果：
p=
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035
s=
R:
[4x4double]
df:
7
normr:
1.1406
Y=
Columns1through9
-0.0035 0.8538 1.2970 1.4266 1.3434 1.1480 0.9413 0.8238 0.8963
Columns10through11
1.2594 2.0140
5. 稳健回归函数：
robust（）
稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言，受异常值的影响较小。
调用格式：
b=robustfit（x,y）
[b,stats]=robustfit（x,y）
[b,stats]=robustfit（x,y,’wfun’,tune,’const’）
说明：
b返回系数估计向量；stats返回各种参数估计；’wfun’指定一个加权函数；tune为调协常数；’const’的值为’on’（默认值）时添加一个常数项；为’off’时忽略常数项。
例5：
演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。
首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集，然后改变一个y的值形成异常值。
调用不同的拟合函数，通过图形观查影响程度。
程序：
x=（1:
10）’;
y=10-2*x+randn（10,1）;
y（10）=0;
bls=regress（y,[ones（10,1）x]）%线性拟合
brob=robustfit（x,y）%稳健拟合
scatter（x,y）
holdon
plot（x,bls
（1）+bls
（2）*x,’:
’）
plot（x,brob
（1）+brob
（2）*x,’r’）
结果：
bls=
8.4452
-1.4784
brob=
10.2934
-2.0006
分析：
稳健拟合（实线）对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。
最小二乘拟合（点线）则受到异常值的影响，向异常值偏移。
6. 向自定义函数拟合
对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。
所用函数：
nlinfit（）
调用格式：
[beta,r,J]=nlinfit（X,y,’fun’,beta0）
说明：
beta返回函数’fun’中的待定常数；r表示残差；J表示雅可比矩阵。
X,y为数据；‘fun’自定义函数；beta0待定常数初值。
例6：
在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降，假定在x≥8时，y与x之间有如下形式的非线性模型：
现收集了44组数据，利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。
x y x y x y
8 0.49 16 0.43 28 0.41
8 0.49 18 0.46 28 0.40
10 0.48 18 0.45 30 0.40
10 0.47 20 0.42 30 0.40
10 0.48 20 0.42 30 0.38
10 0.47 20 0.43 32 0.41
12 0.46 20 0.41 32 0.40
12 0.46 22 0.41 34 0.40
12 0.45 22 0.40 36 0.41
12 0.43 24 0.42 36 0.36
14 0.45 24 0.40 38 0.40
14 0.43 24 0.40 38 0.40
14 0.43 26 0.41 40 0.36
16 0.44 26 0.40 42 0.39
16 0.43 26 0.41
首先定义非线性函数的m文件：
fff6.m
functionyy=model（beta0,x）
a=beta0
（1）;
b=beta0
（2）;
yy=a+（0.49-a）*exp（-b*（x-8））;
程序：
x=[8.008.0010.0010.0010.0010.0012.0012.0012.0014.0014.0014.00...
16.0016.0016.0018.0018.0020.0020.0020.0020.0022.0022.0024.00...
24.0024.0026.0026.0026.0028.0028.0030.0030.0030.0032.0032.00...
34.0036.0036.0038.0038.0040.0042.00]';
y=[0.490.490.480.470.480.470.460.460.450.430.450.430.430.440.43...
0.430.460.420.420.430.410.410.400.420.400.400.410.400.410.41...
0.400.400.400.380.410.400.400.410.380.400.400.390.39]';
beta0=[0.300.02];
betafit=nlinfit（x,y,@model,beta0）
结果：
betafit=
0.3896
0.1011
即：
a=0.3896，b=0.1011拟合函数为：
yy=0.3896+0.1004*exp（-0.1011*（x-8））
excell数据调入matlab中的方法：
importdata→data→x=data（:
所调出数据的列数）
如果想调出某列数据中间隔相等的数据则：
x=data（1:
2:
10,colume2）则调用原始数据的第二列中前十个数据中1、3、5、7、9行数据。
§2插值问题
在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
实例：
海底探测问题
某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。
并绘出较细致的海底曲面图。
一、一元插值
一元插值是对一元数据点（xi,yi）进行插值。
1． 线性插值：
由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。
一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。
调用格式：
yi=interp1（x,y,xi,’linear’） %线性插值
zi=interp1（x,y,xi,’spline’） %三次样条插值
wi=interp1（x,y,xi,’cubic’） %三次多项式插值
说明：
yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。
x、y为已知数据点。
例1：
已知数据：
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
求当xi=0.25时的yi的值。
程序：
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.6.4.81.52];
yi0=interp1（x,y,0.025,'linear'）
xi=0:
.02:
1;
yi=interp1（x,y,xi,'linear'）;
zi=interp1（x,y,xi,'spline'）;
wi=interp1（x,y,xi,'cubic'）;
plot（x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-'）
legend（'原始点','线性点','三次样条','三次多项式'）
结果：
yi0= 0.3500
要得到给定的几个点的对应函数值，可用：
xi=[0.2500 0.3500 0.4500]
yi=interp1（x,y,xi,'spline'）
结果：
yi=1.2088 1.5802 1.3454
（二）二元插值
二元插值与一元插值的基本思想一致，对原始数据点（x,y,z）构造见世面函数求出插值点数据（xi,yi,zi）。
一、单调节点插值函数，即x,y向量是单调的。
调用格式1：
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,’linear’）
‘liner
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