立体几何垂直证明题常见模型及方法精编版doc.docx

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立体几何垂直证明题常见模型及方法精编版doc

 

立体几何垂直证明题常见模型及方法

证明空间线面垂直需注意以下几点:

 

①由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

 

②立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方

法之一。

 

③明确何时应用判定定理,何时应用性质定理,用定理时要先申明条件再由定理得出相应结

论。

 

垂直转化:

线线垂直线面垂直面面垂直;

 

基础篇

 

类型一:

线线垂直证明(共面垂直、异面垂直)

(1)共面垂直:

实际上是平面内的两条直线的垂直(只需要同学们掌握以下几种模型)

 

○1等腰(等边)三角形中的中线

2菱形(正方形)的对角线互相垂直○3勾股定理中的三角形

○41:

1:

2的直角梯形中○5利用相似或全等证明直角。

 

例:

在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E为CC1,求证:

A1OOE

 

(2)异面垂直(利用线面垂直来证明,高考中的意图)例1在正四面体ABCD中,求证ACBD

 

变式

1如图,在四棱锥

P

ABCD

中,底面

ABCD

是矩形,已知

AB

3,AD2,PA2,PD

22,PAB

60.

证明:

AD

PB;

 

1

 

变式2如图,在边长为

2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,

将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于A'.

A'

求证:

A'D

EF;

E

D

B

G

F

变式3如图,在三棱锥PABC中,⊿PAB是等边三角形,∠

 

PAC=∠PBC=90o证明:

AB⊥PC

 

类型二:

线面垂直证明

 

方法○1利用线面垂直的判断定理

例2:

在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E为CC1,求证:

 

A1O平面BDE

 

变式1:

在正方体ABCD

A1B1C1D1中,,求证:

AC1

平面BDC1

变式2:

如图:

直三棱柱

ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90.E为BB1

的中点,D点在AB上且DE=3.

求证:

CD⊥平面A1ABB1;

 

2

 

变式

3

如图,在四面体

ABCD

中,O、E

分别是

BD、BC

的中点,

CA

CB

CD

BD2,AB

AD

2.

A

求证:

AO

平面BCD;

 

D

O

B

E

C

变式4如图,在底面为直角梯形的四棱锥

PABCD中,

AD∥BC,

ABC90°,PA

平面ABCD.PA3,AD

2,AB

23,BC

6

1求证:

BD

平面PAC

P

 

A

D

E

利用面面垂直的性质定理

B

C

2

例3:

在三棱锥P-ABC中,PA

底面ABC,面PAC

面PBC,求证:

BC

面PAC。

 

方法点拨:

此种情形,条件中含有面面垂直。

变式1,在四棱锥PABCD,底面ABCD是正方形,侧面PAB是等腰三角形,且

面PAB底面ABCD,求证:

BC面PAB

 

变式2:

 

3

 

类型3:

面面垂直的证明。

(本质上是证明线面垂直)

例1如图,已知AB

平面ACD,DE

平面ACD,△ACD为等边三角形,

B

AD

DE2AB,F为CD的中点.

E

(1)

求证:

AF//平面BCE;

A

(2)

求证:

平面BCE平面CDE;

 

CD

F

 

例2

如图,在四棱锥

P

ABC

PA

底面

ABCD

中,

AB

AD,AC

CD,ABC60°

ABBC,E是PC的中点.

,PA

(1)证明CD

AE;

(2)证明PD

平面ABE;

P

 

E

 

变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形,

棱CC′与BB′上的点,且EC=BC=2FB=2.

(1)求证:

平面AEF⊥平面AA′C′C;

AD

C

B

ABC60,E、F分别是

 

4

 

举一反三

1.设M表示平面,a、b表示直线,给出下列四个命题:

a//b

a

M

a

M

a//M

bM

b

a//b

b

b∥M④

b⊥M.

a

M

M

a

a

b

其中正确的命题是

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②④

2.下列命题中正确的是

A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面

3.如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF

把△ADE、△CDF和△BEF折起,使A、B、C三点重合,重合后的点记为P.那么,在四面

体P—DEF中,必有()

 

A.DP⊥平面PEF

B.DM⊥平面PEF

C.PM⊥平面DEF

D.PF⊥平面DEF

4.设a、b是异面直线,下列命题正确的是

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和

a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和

a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与

b垂直

第3题图

D.过a一定可以作一个平面与

b平行

5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:

l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥m

B.α⊥γ且m∥β

C.m∥β且l⊥m

D.α∥β且α⊥γ

6.AB是圆的直径,

C是圆周上一点,PC垂直于圆所在平面,若

BC=1,AC=2,PC=1,则

P到AB的距离为

()

A.1

B.2

2

5

3

5

C.

D.

55

7.有三个命题:

①垂直于同一个平面的两条直线平行;

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a、b不垂直,那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

8.d是异面直线a、b的公垂线,平面α、β满足a⊥α,b⊥β,则下面正确的结论是

()

A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合

B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合

C.α与β必相交且交线m与d一定不平行

D.α与β不一定相交

9.设l、m为直线,α为平面,且l⊥α,给出下列命题

①若m⊥α,则m∥l;②若m⊥l,则m∥α;③若m∥α,则m⊥l;④若m∥l,则

m⊥α,

其中真命题的序号是()

...

 

5

 

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

10.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,给出下列四个命题:

①若α∥β,则l⊥m;②若α⊥β,则l∥m;③若l∥m,则α⊥β;④若l⊥m,则α∥β.

其中正确的命题是()

A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②

 

二、思维激活

11.如图所示,△ABC是直角三角形,AB是斜边,三个顶点在平面α的同侧,它们在α内的射影分别为A′,B′,C′,如果△A′B′C′是正三角形,且AA′=3cm,BB′=

5cm,CC′=4cm,则△A′B′C′的面积是.

 

第11题图

第13题图

第12

题图

12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形

ABCD满足条件

时,

有A1C⊥B1D1(注:

填上你认为正确的一种条件即可

不必考虑所有可能的情形)

13.如图所示,在三棱锥V—ABC中,当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件

时,

有VC⊥AB.(注:

填上你认为正确的一种条件即可

 

三、能力提高

14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心,BE是VC边上的

高.

(1)求证:

VC⊥AB;

(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC

所成角的大小.

 

第14题图

 

15.如图所示,PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证:

MN∥平面PAD.

(2)求证:

MN⊥CD.

(3)若∠PDA=45°,求证:

MN⊥平面PCD.

 

6

 

第15题图

 

16.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BAD=60°,AB

=4,AD=2,侧棱PB=15,PD=3.

 

(1)求证:

BD⊥平面PAD.

(2)若PD与底面ABCD成60°的角,试求二面角P—BC—A的大小.

 

第16题图

 

17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=6,M是CC1

的中点,求证:

AB1⊥A1M.

 

18.如图所示,正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a,M是AD的中点,N是BD′上一点,且D′N∶NB=1∶2,MC与BD交于P.

(1)求证:

NP⊥平面ABCD.

(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.

(3)求点C到平面D′MB的距离.

 

第18题图

 

7

 

第4课线面垂直习题解答

 

1.A两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直,垂直于同一平面的两直线平

行.

2.C

由线面垂直的性质定理可知.

3.A

折后DP⊥PE,DP⊥PF,PE⊥PF.

4.D

过a上任一点作直线

b′∥b,则a,b′确定的平面与直线b平行.

5.A

m⊥γ且m

α,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有l

γ,而m⊥γ则l⊥m,

故选A.

6.D

P作PD⊥AB于D,连CD,则CD⊥AB,AB=

2

2

ACBC

5

ACBC2

CD,

AB5

 

∴PD=PC2

CD2

4

3

5

1

.

5

5

7.D由定理及性质知三个命题均正确.

8.A显然α与β不平行.

9.D垂直于同一平面的两直线平行,两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面

垂直.

10.B∵α∥β,l⊥α,∴l⊥m

11.3cm2设正三角A′B′C′的边长为a.

2

∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB2=a2+4,又AC2+BC2=AB2,∴a2=2.

S△A′B′C′=

3a2

3cm2.

4

2

12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形

ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出

这个条件的其它条件,例如

ABCD是正方形,菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:

填上你认为正确

的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).

点评:

本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型,

此题实质考查了

 

三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.

13.VC⊥VA,VC⊥AB.由VC⊥VA,VC⊥AB知VC⊥平面VAB.

14.

(1)证明:

∵H为△VBC的垂心,

∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,

∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.

(2)解:

(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,

∴AB⊥面DEC.

∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角,∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,

 

8

 

∴VC在底面ABC上的射影为CD.

∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,

∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,

∴VC与面ABC所成角为60°.

15.证明:

(1)如图所示,取PD的中点E,连结AE,EN,

则有EN∥CD∥AB∥AM,EN=1CD=1AB=AM,故AMNE为平行四边形.

22

∴MN∥AE.

∵AE平面PAD,MN平面PAD,∴MN∥平面PAD.

(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.

又AD⊥AB,∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥AE,即AB⊥MN.

又CD∥AB,∴MN⊥CD.

第15题图解

(3)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.

又∠PDA=45°,E为PD的中点.

∴AE⊥PD,即MN⊥PD.又MN⊥CD,

∴MN⊥平面PCD.

16.如图

(1)证:

由已知AB=4,AD=2,∠BAD=60°,

2

2

2

·ABcos60°=4+16-2×2×4×

1

=12.

故BD

=AD

+AB-2AD

2

又AB2=AD2+BD2,

∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,

即AD⊥BD.在△PDB中,PD=3,PB=15,BD=12,

∴PB2=PD2+BD2,故得PD⊥BD.又PD∩AD=D,

∴BD⊥平面PAD.

(2)由BD⊥平面PAD,BD平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E,

又PE平面PAD,

 

第16题图解

∴PE⊥平面ABCD,∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.

∴∠PDE=60°,∴PE=PDsin60°=

3

3

3

.

2

2

作EF⊥BC于F,连PF,则PF⊥BF,

∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.

 

又EF=BD=12,在Rt△PEF中,

3

PE

2

3

tan∠PFE=

23

.

EF

4

故二面角P—BC—A的大小为arctan3.

4

 

9

 

17.连结AC1,∵

AC

3

2

CC1

.

MC1

6

C1A1

2

∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1,∴∠AC1C=∠MA1C1,

∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.

∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱,

∴CC1⊥B1C1,又B1C1⊥A1C1,∴B1C1⊥平面AC1M.

由三垂线定理知AB1⊥A1M.

点评:

要证AB1⊥A1M,因B1C1⊥平面AC1,由三垂线定理可转化成证

AC1⊥A1M,而

一定会成立.

AC1A1M

18.

(1)证明:

在正方形ABCD中,

∵△MPD∽△CPB,且MD=1

BC,

2

∴DP∶PB=MD∶BC=1∶2.

又已知D′N∶NB=1∶2,

由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′,又DD′⊥平面ABCD,

∴NP⊥平面ABCD.

(2)∵NP∥DD′∥CC′,

∴NP、CC′在同一平面内,CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.

又由CC′⊥平面ABCD,得CC′⊥CD,CC′⊥CM,

∴∠MCD为该二面角的平面角.

在Rt△MCD中可知

∠MCD=arctan1,即为所求二面角的大小.

2

(3)由已知棱长为

a可得,等腰△MBC面积S1=a2

,等腰△MBD′面积S2=

6

a2,设所

2

4

求距离为h,即为三棱锥

C—D′MB的高.

∵三棱锥D′—BCM体积为1SDD

1Sh,

1

2

3

3

S1a

6a.

∴h

S2

3

 

10

 

空间中的计算

 

基础技能篇

类型一:

点到面的距离

方法1:

直接法—把点在面上的射影查出来,然后在直角三角形中计算例1:

在正四面体ABCD中,边长为a,求点A到面BCD的距离。

 

变式1在正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。

 

变式2在正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。

 

方法2:

等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理,通过转换不同的底和高来达到目的。

例2已知在三棱锥V—ABC中,VA,VB,VC两两垂直,VA=VB=3,VC=4,求点V到面ABC的距离。

 

变式1:

如图所示的多面体是由底面为

ABCD的长方体被截面

AEC1F所截而得到的,其

中AB4,BC2,CC13,BE1.

(1)求BF的长;

 

(2)求点C到平面AEC1F的距离.

 

变式2

如图,在四棱锥O

ABCD中,底面ABCD是四边长为

1的菱形,ABC

O

4

OA

面ABCD,OA

2,.求点B到平面OCD的距离.

 

11

AD

 

BC

 

变式3在正四面体ABCD中,边长为a,求它的内切求的半径。

类型二:

其它种类的距离的计算(点到线,点到点)

例3如图,在四棱锥O

ABCD中,底面ABCD是四边长为

1的菱形,ABC,OA

4

面ABCD,OA2

M为OC的中点,求AM和点A到直线OC的距离.

 

O

 

A

 

BC

 

举一反三

1.正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为45,则点A到侧面PBC的距离是

A.45B

.65

C.6D.46

2.如图,已知正三棱柱

ABC

A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A点

出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周..到达A1点的最短路线的长为

A.10B.20

C

.30D.40

二、填空题:

3.太阳光照射高为

3

m的竹竿时,它在水平地面上的射影

为1m,同时,照射地面上一圆球时,如图所示,其影子

的长度AB等于3

3cm,则该球的体积为_________.

4.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___

 

2

 

23

主视图

左视图俯视图

 

D

 

三、解答题:

5.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=2C1N.求点B1到平面AMN的距离.

 

6.一个多面体的直观图及三视图如图所示:

(其中M、N分别是AF、BC的中点).

 

12

 

(1)求证:

MN∥平面CDEF;

(2)求多面体A—CDEF的体积.

 

7.一个多面体的直观图和三视图如图所

示,其中M、N分别是AB、AC的中点,

G是DF上的一动点.

(1)求证:

GNAC;

 

(2)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP//平面FMC,并给出证明.

 

F

E

a

G

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