立体几何垂直证明题常见模型及方法精编版doc.docx
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立体几何垂直证明题常见模型及方法精编版doc
立体几何垂直证明题常见模型及方法
证明空间线面垂直需注意以下几点：
①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方
法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结
论。
垂直转化：
线线垂直线面垂直面面垂直；
基础篇
类型一：
线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
（1）共面垂直：
实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）
○1等腰（等边）三角形中的中线
2菱形（正方形）的对角线互相垂直○3勾股定理中的三角形
○
○41:
1:
2的直角梯形中○5利用相似或全等证明直角。
例：
在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1,求证：
A1OOE
（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1在正四面体ABCD中，求证ACBD
变式
1如图，在四棱锥
P
ABCD
中，底面
ABCD
是矩形，已知
AB
3,AD2,PA2,PD
22,PAB
60．
证明：
AD
PB；
1
变式2如图，在边长为
2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于A'.
A'
求证:
A'D
EF；
E
D
B
G
F
变式3如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠
PAC=∠PBC=90o证明：
AB⊥PC
类型二：
线面垂直证明
方法○1利用线面垂直的判断定理
例2：
在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1,求证：
A1O平面BDE
变式1：
在正方体ABCD
A1B1C1D1中，,求证：
AC1
平面BDC1
变式2：
如图：
直三棱柱
ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90.E为BB1
的中点，D点在AB上且DE=3.
求证：
CD⊥平面A1ABB1；
2
变式
3
：
如图，在四面体
ABCD
中，O、E
分别是
BD、BC
的中点，
CA
CB
CD
BD2,AB
AD
2.
A
求证：
AO
平面BCD；
D
O
B
E
C
变式4如图，在底面为直角梯形的四棱锥
PABCD中，
AD∥BC，
ABC90°，PA
平面ABCD．PA3，AD
2，AB
23，BC
6
1求证：
BD
平面PAC
P
A
D
E
○
利用面面垂直的性质定理
B
C
2
例3：
在三棱锥P-ABC中，PA
底面ABC,面PAC
面PBC，求证：
BC
面PAC。
方法点拨：
此种情形，条件中含有面面垂直。
变式1,在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且
面PAB底面ABCD,求证：
BC面PAB
变式2：
3
类型3：
面面垂直的证明。
（本质上是证明线面垂直）
例1如图，已知AB
平面ACD，DE
平面ACD，△ACD为等边三角形，
B
AD
DE2AB，F为CD的中点.
E
（1）
求证：
AF//平面BCE；
A
（2）
求证：
平面BCE平面CDE；
CD
F
例2
如图，在四棱锥
P
ABC
PA
底面
ABCD
中，
，
AB
AD，AC
CD，ABC60°
ABBC，E是PC的中点．
，PA
（1）证明CD
AE；
（2）证明PD
平面ABE；
P
E
变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，
棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．
（1）求证：
平面AEF⊥平面AA′C′C；
AD
C
B
ABC60，E、F分别是
4
举一反三
1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：
a//b
a
M
a
M
a//M
①
bM
②
b
a//b
③
b
b∥M④
b⊥M.
a
M
M
a
a
b
其中正确的命题是
（
）
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④
2.下列命题中正确的是
（
）
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF
把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面
体P—DEF中，必有（）
A.DP⊥平面PEF
B.DM⊥平面PEF
C.PM⊥平面DEF
D.PF⊥平面DEF
4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是
（
）
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和
a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和
a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与
b垂直
第3题图
D.过a一定可以作一个平面与
b平行
5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:
l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有（）
A.α⊥γ且l⊥m
B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m
D.α∥β且α⊥γ
6.AB是圆的直径，
C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若
BC=1,AC=2,PC=1，则
P到AB的距离为
（）
A.1
B.2
2
5
3
5
C.
D.
55
7.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直
其中正确命题的个数为（）
A.0B.1C.2D.3
8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是
（）
A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合
B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合
C.α与β必相交且交线m与d一定不平行
D.α与β不一定相交
9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题
①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则
m⊥α，
其中真命题的序号是（）
．．．
5
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.
其中正确的命题是（）
A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②
二、思维激活
11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝
5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是.
第11题图
第13题图
第12
题图
12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形
ABCD满足条件
时,
有A1C⊥B1D1（注:
填上你认为正确的一种条件即可
不必考虑所有可能的情形）
13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件
时，
有VC⊥AB.（注：
填上你认为正确的一种条件即可
）
三、能力提高
14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的
高.
（1）求证:
VC⊥AB;
（2）若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC
所成角的大小.
第14题图
15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：
MN∥平面PAD.
（2）求证：
MN⊥CD.
（3）若∠PDA＝45°，求证：
MN⊥平面PCD.
6
第15题图
16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB
＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.
（1）求证：
BD⊥平面PAD.
（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.
第16题图
17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1
的中点，求证：
AB1⊥A1M．
18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.
（1）求证：
NP⊥平面ABCD.
（2）求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.
（3）求点C到平面D′MB的距离.
第18题图
7
第4课线面垂直习题解答
1.A两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平
行.
2.C
由线面垂直的性质定理可知.
3.A
折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.
4.D
过a上任一点作直线
b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.
5.A
m⊥γ且m
α,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有l
γ,而m⊥γ则l⊥m,
故选A.
6.D
P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=
2
2
，
ACBC
5
ACBC2
CD，
AB5
∴PD=PC2
CD2
4
3
5
1
.
5
5
7.D由定理及性质知三个命题均正确.
8.A显然α与β不平行.
9.D垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面
垂直.
10.B∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m
11.3cm2设正三角A′B′C′的边长为a.
2
∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．
S△A′B′C′=
3a2
3cm2．
4
2
12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形
ABCD满足条件AC⊥BD（或任何能推导出
这个条件的其它条件，例如
ABCD是正方形，菱形等）时,有A1C⊥B1D1（注:
填上你认为正确
的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形）.
点评：
本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，
此题实质考查了
三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.
13.VC⊥VA，VC⊥AB.由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.
14.
（1）证明:
∵H为△VBC的垂心,
∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,
∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.
（2）解:
由
（1）知VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,
∴AB⊥面DEC.
∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角，∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,
8
∴VC在底面ABC上的射影为CD.
∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,
∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,
∴VC与面ABC所成角为60°.
15.证明：
（1）如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，
则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝1CD＝1AB＝AM，故AMNE为平行四边形.
22
∴MN∥AE.
∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AE，即AB⊥MN.
又CD∥AB，∴MN⊥CD.
第15题图解
（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
又∠PDA＝45°，E为PD的中点.
∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，
∴MN⊥平面PCD.
16.如图
（1）证：
由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，
2
2
2
·ABcos60°＝4+16-2×2×4×
1
＝12.
故BD
＝AD
+AB-2AD
2
又AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝3，PB＝15，BD＝12，
∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，
∴BD⊥平面PAD.
（2）由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，
又PE平面PAD，
第16题图解
∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.
∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝
3
3
3
.
2
2
作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF，
∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.
又EF＝BD＝12，在Rt△PEF中，
3
PE
2
3
tan∠PFE＝
23
.
EF
4
故二面角P—BC—A的大小为arctan3.
4
9
17.连结AC1，∵
AC
3
2
CC1
.
MC1
6
C1A1
2
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C=∠MA1C1，
∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.
∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.
由三垂线定理知AB1⊥A1M.
点评：
要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证
AC1⊥A1M，而
⊥
一定会成立．
AC1A1M
18.
（1）证明：
在正方形ABCD中，
∵△MPD∽△CPB，且MD＝1
BC，
2
∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2.
又已知D′N∶NB＝1∶2，
由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD，
∴NP⊥平面ABCD.
（2）∵NP∥DD′∥CC′，
∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.
又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，
∴∠MCD为该二面角的平面角.
在Rt△MCD中可知
∠MCD＝arctan1，即为所求二面角的大小.
2
（3）由已知棱长为
a可得，等腰△MBC面积S1＝a2
，等腰△MBD′面积S2＝
6
a2，设所
2
4
求距离为h，即为三棱锥
C—D′MB的高.
∵三棱锥D′—BCM体积为1SDD
1Sh，
1
2
3
3
S1a
6a.
∴h
S2
3
10
空间中的计算
基础技能篇
类型一：
点到面的距离
方法1：
直接法—把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算例1：
在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。
变式1在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。
变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。
方法2：
等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。
例2已知在三棱锥V—ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求点V到面ABC的距离。
变式1：
如图所示的多面体是由底面为
ABCD的长方体被截面
AEC1F所截而得到的，其
中AB4,BC2,CC13,BE1．
（1）求BF的长；
（2）求点C到平面AEC1F的距离．
变式2
如图，在四棱锥O
ABCD中，底面ABCD是四边长为
1的菱形，ABC
O
4
OA
面ABCD,OA
2,．求点B到平面OCD的距离．
11
AD
BC
变式3在正四面体ABCD中，边长为a，求它的内切求的半径。
类型二：
其它种类的距离的计算（点到线，点到点）
例3如图，在四棱锥O
ABCD中，底面ABCD是四边长为
1的菱形，ABC,OA
4
面ABCD,OA2
M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离．
O
A
BC
举一反三
1．正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是
A．45B
．65
C．6D．46
2．如图，已知正三棱柱
ABC
A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点
出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长为
A．10B．20
C
．30D．40
二、填空题：
3．太阳光照射高为
3
m的竹竿时，它在水平地面上的射影
为1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子
的长度AB等于3
3cm,则该球的体积为_________．
4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___
2
23
主视图
左视图俯视图
D
．
三、解答题：
5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．求点B1到平面AMN的距离．
6．一个多面体的直观图及三视图如图所示：
（其中M、N分别是AF、BC的中点）.
12
（1）求证：
MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A—CDEF的体积．
7．一个多面体的直观图和三视图如图所
示，其中M、N分别是AB、AC的中点，
G是DF上的一动点.
（1）求证：
GNAC;
（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明．
F
E
a
G
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