椭圆离心率值和范围类型.docx
《椭圆离心率值和范围类型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆离心率值和范围类型.docx（58页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
椭圆离心率值和范围类型
圆锥曲线5椭圆离心率值和范围类型
一．选择题〔共40小题〕
1．假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是〔〕
A．
B．
C．
D．
1、F2是椭圆的两个焦点，满足
?
=0的点M总在椭圆内部，那么椭圆离心
2．F
率的取值范围是〔
〕
A．〔0，1〕B．〔0，]
C．〔0，
〕
D．[
，1〕
3．椭圆C：
+=1〔a＞b＞0〕的左右焦点为
F1，F2，假设椭圆C上恰好有6个不同
的点，使得△F1F2P为等腰三角形，那么椭圆
C的离心率的取值范围是〔
〕
A．
B．
C．
D．
4．设椭圆C：
=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为
F1、F2，P是C上的点，PF2⊥
F1F2，∠PF1F2=30°，那么C的离心率为〔
〕
A．
B．
C．
D．
5．椭圆C：
=1〔a＞b＞0〕的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两
点，连接AF，BF，假设|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，那么C的离心率为〔〕
A．
B．
C．
D．
6．设椭圆C：
=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为
F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，
∠PF1F2=30°，那么C的离心率为〔
〕
A．
B．
C．
D．
〔﹣c，0〕，F〔c，0〕为椭圆
的两个焦点，P为椭圆上一点且
，
7．F1
2
那么此椭圆离心率的取值范围是〔
〕
A．
B．
C．
D．
第1页〔共36页〕
8．O为坐标原点，F是椭圆C：
+=1〔a＞b＞0〕的左焦点，A，B分别为C的
左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交
于点E．假设直线BM经过OE的中点，那么C的离心率为〔〕
A．B．C．D．
9．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x
轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，那么该椭圆的离心率为〔〕
A．B．C．D．
10．椭圆C1：
2
C2：
2
+y=1〔m＞1〕与双曲线
﹣y=1〔n＞0〕的焦点重合，e1，
e2分别为C1，C2的离心率，那么〔
〕
12＞1
B．m＞n且e12＜1
C．m＜n且e12＞1
D．m＜n且e12＜1
A．m＞n且ee
e
e
e
11．椭圆
+
=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为
F1，F2，过F2的直线与椭圆交于
A、B两点，假设△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，那么离心率为
〔
〕
A．B．2﹣
C．﹣2D．﹣
12．F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，
P是它们的一个公共点．且∠
F1PF2=，那么
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔
〕
A．
B．
C．3
D．2
13．椭圆
的两顶点为A〔a，0〕，B〔0，b〕，且左焦点为
F，△FAB
是以角B为直角的直角三角形，那么椭圆的离心率
e为〔
〕
A．
B．
C．
D．
14．椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴
端点外的任一点，△
F1PF2的重心为G，内心I，且有
〔其中λ为实数〕，椭圆
C的离心率e=〔
〕
A．B．
C．D．
第2页〔共36页〕
15．椭圆〔a＞b＞0〕的半焦距为c〔c＞0〕，左焦点为F，右顶点为A，抛
物线
与椭圆交于B、C两点，假设四边形
ABFC是菱形，那么椭圆的离心率是
〔
〕
A．
B．
C．D．
16．实数
4，m，9构成一个等比数列，那么圆锥曲线
2
的离心率为〔
〕
+y=1
A．B．C．或
D．或7
17．椭圆〔a＞b＞0〕与双曲线〔m＞0，n＞0〕有相同的焦点
〔﹣c，0〕和〔c，0〕，假设c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，那么椭圆的离
心率是〔〕
A．B．C．D．
18．设F1、F2是椭圆E：
+=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，P为直线x=
上一点，△
F2PF1是底角为
30°的等腰三角形，那么E的离心率为〔
〕
A．
B．
C．
D．
19．点F1、F2分别是椭圆
的左、右焦点，过
F1且垂直于x轴的
直线与椭圆交于
A、B两点，假设△ABF2是锐角三角形，那么该椭圆的离心率
e的取值范围是
〔
〕
A．〔0，
﹣1〕B．〔
﹣1，1〕C．〔0，
﹣1〕D．〔
﹣l，1〕
20．椭圆C：
的左焦点
F，C与过原点的直线相交于
A，B两点，
连结AF，BF，假设|AB|=10，|AF|=6，，那么C的离心率为〔〕
A．B．C．D．
21．椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直
线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，假设△ABF2的面积是△BCF2
的面积的2倍，那么椭圆的离心率为〔〕
第3页〔共36页〕
A．B．C．D．
2
22．抛物线y=4x的准线过椭圆=1〔a＞b＞0〕的左焦点，且准线与椭圆交于
A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为
，那么椭圆的离心率为〔
〕
A．
B．
C．
D．
23．在区间[1，5]
和[2，4]分别取一个数，记为
a，b，那么方程
表示焦点在x轴
上且离心率小于
的椭圆的概率为〔
〕
A．
B．
C．
D．
24．从椭圆
上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点
F1，A是椭圆
与x轴正半轴的交点，
B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP〔O是坐标原点〕，那么该
椭圆的离心率是〔
〕
A．B．
C．
D．
25．椭圆C的两个焦点分别是
F1，F2，假设C上的点P满足
，那么椭圆C
的离心率e的取值范围是〔
〕
A．
B．
C．
D．
或
26．在Rt△ABC中，AB=AC=1，假设一个椭圆通过A、B两点，它的一个焦点为
C，另一个
焦点F在AB上，那么这个椭圆的离心率为〔
〕
A．
B．
C．
D．
27．直线l：
y=kx+2〔k为常数〕过椭圆=1〔a＞b＞0〕的上顶点B和左焦点F，
且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，假设L≥，那么椭圆离心率e的取值范围是〔〕
A．B．C．D．
2
2
2
2
2
〔0＜r＜2〕，动圆M
与圆O1、圆
28．圆O1：
〔x﹣2〕+y=16
和圆O2：
x
+y=r
相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为
e、e〔e＞e〕，那么
1
2
1
2
的最小值是〔
〕
O2都
e1+2e2
第4页〔共36页〕
A．B．C．D．
29．椭圆+=1〔a＞b＞0〕上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，假设AF⊥
BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，那么该椭圆离心率的取值范围为〔〕
A．[，1]B．[，]C．[，1〕D．[，]
30．F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，那么
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕
A．3B．C．2D．
31．椭圆〔a＞b＞0〕上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，
假设AF⊥BF，设∠ABF=α，且
，那么该椭圆离心率
e的取值范围为〔
〕
A．
B．
C．
D．
32．中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为
F1、F2，且两条曲线
在第一象限的交点为
P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．假设
|PF1|=10，椭圆与双曲
线的离心率分别为
e1、e2，那么e1?
e2+1的取值范围为〔
〕
A．〔1，+∞〕
B．〔，+∞〕
C．〔，+∞〕
D．〔，+∞〕
33．椭圆
+=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别是
F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线
与椭圆的一个交点为
M，假设MF1垂直于x轴，那么椭圆的离心率为〔
〕
A．
B．2﹣
C．2〔2﹣〕D．
34．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A〔0，3〕和C〔0，﹣3〕，顶点B在
椭圆
=1上，那么
=〔
〕
A．
B．
C．
D．
35．椭圆
的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在
点P满足线段AP的垂直平分线过点
F，那么椭圆离心率的取值范围是〔
〕
A．〔0，
]B．〔0，]C．[
，1〕D．[
，1〕
第5页〔共36页〕
36．椭圆
的左焦点F1，O为坐标原点，点
P在椭圆上，点Q在
椭圆的右准线上，假设
那么椭圆的离心率
为〔
〕
A．
B．C．
D．
1、F2是椭圆C1：
+y2
2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第
37．如图F
=1与双曲线
C
二、四象限的公共点，假设四边形
AF1BF2为矩形，那么C2的离心率是〔
〕
A．B．C．D．
38．设A1，A2分别为椭圆=1〔a＞b＞0〕的左、右顶点，假设在椭圆上存在点P，使
得＞﹣，那么该椭圆的离心率的取值范围是〔〕
A．〔0，〕B．〔0，
〕C．
D．
39．A、B是椭圆
长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于
x轴对
称的两点，直线
AM，BN的斜率分别为
k1，k2，且k1k2≠0．假设|k1|+|
k2|的最小值为
1，那么
椭圆的离心率〔
〕
A．
B．
C．
D．
40．设F1，F2分别为椭圆C1：
+
=1〔a＞b＞0〕与双曲线C2：
﹣
=1〔a1＞
b1＞0〕的公共焦点，它们在第一象限内交于点
M，∠F1MF2=90°，假设椭圆的离心率
e∈[，
]，那么双曲线C2的离心率e1的取值范围为〔
〕
A．[
，
]
B．[
，
〕
C．[
，]D．[
，+∞〕
第6页〔共36页〕
第7页〔共36页〕
圆锥曲线5椭圆离心率值和范围类型
参考答案与试题解析
一．选择题〔共40小题〕
1．〔2021?
广东〕假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心
率是〔〕
A．B．C．
D．
【分析】先设长轴为
2a，短轴为
2b，焦距为2c，由题意可知：
a+c=2b，由此可以导出该椭
圆的离心率．
【解答】解：
设长轴为2a，短轴为
2b，焦距为
2c，
那么2a+2c=2×2b，
2
2
2
2
2
2
2
即a+c=2b?
〔a+c〕
=4b=4〔a
﹣c〕，所以3a﹣5c
=2ac，同除a，
整理得
5e2+2e﹣3=0，∴
或e=﹣1〔舍去〕，
应选B．
2．〔2021?
江西〕F1、F2是椭圆的两个焦点，
满足
?
=0的点M总在椭圆内部，
那么椭圆离心率的取值范围是〔
〕
A．〔0，1〕B．〔0，]
C．〔0，
〕D．[
，1〕
【分析】由
?
=0知M点的轨迹是以原点
O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点
2
2
2
2
．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．
总在椭圆内部，∴c＜b，c
＜b=a
﹣c
【解答】解：
设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为
a，b，c，
∵
?
=0，
∴M点的轨迹是以原点
又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即
O为圆心，半焦距c为半径的圆．
2222
c＜b，c＜b=a﹣c．
2
，∴0＜e＜．
∴e=＜
应选：
C．
3．〔2021?
潍坊模拟〕椭圆
C：
+=1〔a＞b＞0〕的左右焦点为
F1，F2，假设椭圆C
上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，那么椭圆C的离心率的取值范围是〔
〕
A．
B．
C．
D．
第8页〔共36页〕
【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭
圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得
到椭圆C的离心率的取值范围．
【解答】解：
①当点P与短轴的顶点重合时，
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，
以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，
∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上
因此，当以F1为圆心，半径为
2c的圆与椭圆C有2交点时，
存在2个满足条件的等腰△F1F2P，
在△F121中，F12+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，
FP
F
由此得知3c＞a．所以离心率e＞．
当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠
同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e
且e≠
时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P
这样，总共有
6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形
综上所述，离心率的取值范围是：
e∈〔，
〕∪〔
，1〕
4．〔2021?
淮南一模〕设椭圆
C：
=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为
F1、F2，P是
C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，那么C的离心率为〔
〕
A．B．C．
D．
【分析】设|PF2|=x，在直角三角形
PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心
率的性质即可求得答案．
【解答】解：
设|PF2|=x，
∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，
∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，
又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c
∴2a=3x，2c=x，
第9页〔共36页〕
∴C的离心率为：
e==．
应选A．
5．〔2021?
南阳校级三模〕椭圆C：
=1〔a＞b＞0〕的左焦点为F，C与过原点
的直线相交于
A，B两点，连接AF，BF，假设|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=
，那么C的离
心率为〔
〕
A．B．
C．D．
【分析】由条件，利用余弦定理求出
|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接
BF′，AF′．根
据对称性可得四边形
AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．
【解答】解：
如下图，
在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，
由余弦定理得
2
2
2
﹣2|AB||BF|cos∠ABF
|AF|=|AB|
+|BF|
=100+64﹣2×10×8×
=36，
∴|AF|=6，∠BFA=90°，
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．
根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=6，|FF′|=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．
∴e==．
应选B．
第10页〔共36页〕
6．〔2021?
新课标Ⅱ〕设椭圆C：
=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为
F1、F2，P是
C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，那么C的离心率为〔
〕
A．B．C．
D．
【分析】设|PF2|=x，在直角三角形
PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心
率的性质即可求得答案．
【解答】解：
|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，
∴|PF1|=2x，|F1F2|=
x，
又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c
∴2a=3x，2c=x，
∴C的离心率为：
e==．
应选D．
7．〔2021?
长沙模拟〕F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕为椭圆的两个焦点，P为椭
圆上一点且
，那么此椭圆离心率的取值范围是〔
〕
A．
B．
C．
D．
【分析】设P〔m，n〕，由
得到n2
=2c
2﹣m2
①．把P〔m，n〕代入椭圆
得到
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
bm+an=ab
②，把①代入②得到m
的解析式，由m≥0
及m
≤a求得的
范围．
【解答】解：
设P〔m，n〕，
=〔﹣c﹣m，﹣n〕?
〔c﹣m，﹣n〕=m2﹣c2+n2，
2
2
2
2
2
2
①．
∴m+n
=2c
，n
=2c
﹣m
把P〔m，n〕代入椭圆
2
2
2
2
2
2
得bm+an=ab
②，
2
2
2
2
2
把①代入②得m=
≥0，∴ab≤2ac，
2
≤2c
2
2
2
2
b
，a
﹣c≤2c
，∴≥．
2
2
2
2
﹣2c
2
又m≤a，∴
≤a，∴
≤0，故a
≥0，∴≤．
综上，≤≤，
第11页〔共36页〕
应选：
C．
8．〔2021春?
德宏州校级期末〕O为坐标原点，F是椭圆C：
+=1〔a＞b＞0〕的
左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥
升级会员 