椭圆离心率值和范围类型.docx
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椭圆离心率值和范围类型
圆锥曲线5椭圆离心率值和范围类型
一.选择题〔共40小题〕
1.假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,那么该椭圆的离心率是〔〕
A.
B.
C.
D.
1、F2是椭圆的两个焦点,满足
?
=0的点M总在椭圆内部,那么椭圆离心
2.F
率的取值范围是〔
〕
A.〔0,1〕B.〔0,]
C.〔0,
〕
D.[
,1〕
3.椭圆C:
+=1〔a>b>0〕的左右焦点为
F1,F2,假设椭圆C上恰好有6个不同
的点,使得△F1F2P为等腰三角形,那么椭圆
C的离心率的取值范围是〔
〕
A.
B.
C.
D.
4.设椭圆C:
=1〔a>b>0〕的左、右焦点分别为
F1、F2,P是C上的点,PF2⊥
F1F2,∠PF1F2=30°,那么C的离心率为〔
〕
A.
B.
C.
D.
5.椭圆C:
=1〔a>b>0〕的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两
点,连接AF,BF,假设|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,那么C的离心率为〔〕
A.
B.
C.
D.
6.设椭圆C:
=1〔a>b>0〕的左、右焦点分别为
F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,
∠PF1F2=30°,那么C的离心率为〔
〕
A.
B.
C.
D.
〔﹣c,0〕,F〔c,0〕为椭圆
的两个焦点,P为椭圆上一点且
,
7.F1
2
那么此椭圆离心率的取值范围是〔
〕
A.
B.
C.
D.
第1页〔共36页〕
8.O为坐标原点,F是椭圆C:
+=1〔a>b>0〕的左焦点,A,B分别为C的
左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交
于点E.假设直线BM经过OE的中点,那么C的离心率为〔〕
A.B.C.D.
9.斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点,且这两个交点在x
轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,那么该椭圆的离心率为〔〕
A.B.C.D.
10.椭圆C1:
2
C2:
2
+y=1〔m>1〕与双曲线
﹣y=1〔n>0〕的焦点重合,e1,
e2分别为C1,C2的离心率,那么〔
〕
12>1
B.m>n且e12<1
C.m<n且e12>1
D.m<n且e12<1
A.m>n且ee
e
e
e
11.椭圆
+
=1〔a>b>0〕的左、右焦点分别为
F1,F2,过F2的直线与椭圆交于
A、B两点,假设△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,那么离心率为
〔
〕
A.B.2﹣
C.﹣2D.﹣
12.F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,
P是它们的一个公共点.且∠
F1PF2=,那么
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔
〕
A.
B.
C.3
D.2
13.椭圆
的两顶点为A〔a,0〕,B〔0,b〕,且左焦点为
F,△FAB
是以角B为直角的直角三角形,那么椭圆的离心率
e为〔
〕
A.
B.
C.
D.
14.椭圆,F1,F2为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴
端点外的任一点,△
F1PF2的重心为G,内心I,且有
〔其中λ为实数〕,椭圆
C的离心率e=〔
〕
A.B.
C.D.
第2页〔共36页〕
15.椭圆〔a>b>0〕的半焦距为c〔c>0〕,左焦点为F,右顶点为A,抛
物线
与椭圆交于B、C两点,假设四边形
ABFC是菱形,那么椭圆的离心率是
〔
〕
A.
B.
C.D.
16.实数
4,m,9构成一个等比数列,那么圆锥曲线
2
的离心率为〔
〕
+y=1
A.B.C.或
D.或7
17.椭圆〔a>b>0〕与双曲线〔m>0,n>0〕有相同的焦点
〔﹣c,0〕和〔c,0〕,假设c是a、m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,那么椭圆的离
心率是〔〕
A.B.C.D.
18.设F1、F2是椭圆E:
+=1〔a>b>0〕的左、右焦点,P为直线x=
上一点,△
F2PF1是底角为
30°的等腰三角形,那么E的离心率为〔
〕
A.
B.
C.
D.
19.点F1、F2分别是椭圆
的左、右焦点,过
F1且垂直于x轴的
直线与椭圆交于
A、B两点,假设△ABF2是锐角三角形,那么该椭圆的离心率
e的取值范围是
〔
〕
A.〔0,
﹣1〕B.〔
﹣1,1〕C.〔0,
﹣1〕D.〔
﹣l,1〕
20.椭圆C:
的左焦点
F,C与过原点的直线相交于
A,B两点,
连结AF,BF,假设|AB|=10,|AF|=6,,那么C的离心率为〔〕
A.B.C.D.
21.椭圆+=1〔a>b>0〕的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直
线交椭圆于A、B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,假设△ABF2的面积是△BCF2
的面积的2倍,那么椭圆的离心率为〔〕
第3页〔共36页〕
A.B.C.D.
2
22.抛物线y=4x的准线过椭圆=1〔a>b>0〕的左焦点,且准线与椭圆交于
A、B两点,O为坐标原点,△AOB的面积为
,那么椭圆的离心率为〔
〕
A.
B.
C.
D.
23.在区间[1,5]
和[2,4]分别取一个数,记为
a,b,那么方程
表示焦点在x轴
上且离心率小于
的椭圆的概率为〔
〕
A.
B.
C.
D.
24.从椭圆
上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点
F1,A是椭圆
与x轴正半轴的交点,
B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP〔O是坐标原点〕,那么该
椭圆的离心率是〔
〕
A.B.
C.
D.
25.椭圆C的两个焦点分别是
F1,F2,假设C上的点P满足
,那么椭圆C
的离心率e的取值范围是〔
〕
A.
B.
C.
D.
或
26.在Rt△ABC中,AB=AC=1,假设一个椭圆通过A、B两点,它的一个焦点为
C,另一个
焦点F在AB上,那么这个椭圆的离心率为〔
〕
A.
B.
C.
D.
27.直线l:
y=kx+2〔k为常数〕过椭圆=1〔a>b>0〕的上顶点B和左焦点F,
且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,假设L≥,那么椭圆离心率e的取值范围是〔〕
A.B.C.D.
2
2
2
2
2
〔0<r<2〕,动圆M
与圆O1、圆
28.圆O1:
〔x﹣2〕+y=16
和圆O2:
x
+y=r
相切,动圆圆心M的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为
e、e〔e>e〕,那么
1
2
1
2
的最小值是〔
〕
O2都
e1+2e2
第4页〔共36页〕
A.B.C.D.
29.椭圆+=1〔a>b>0〕上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,假设AF⊥
BF,设∠ABF=a,且a∈[,],那么该椭圆离心率的取值范围为〔〕
A.[,1]B.[,]C.[,1〕D.[,]
30.F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,那么
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕
A.3B.C.2D.
31.椭圆〔a>b>0〕上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,
假设AF⊥BF,设∠ABF=α,且
,那么该椭圆离心率
e的取值范围为〔
〕
A.
B.
C.
D.
32.中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为
F1、F2,且两条曲线
在第一象限的交点为
P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.假设
|PF1|=10,椭圆与双曲
线的离心率分别为
e1、e2,那么e1?
e2+1的取值范围为〔
〕
A.〔1,+∞〕
B.〔,+∞〕
C.〔,+∞〕
D.〔,+∞〕
33.椭圆
+=1〔a>b>0〕的左、右焦点分别是
F1,F2,过F2作倾斜角为120°的直线
与椭圆的一个交点为
M,假设MF1垂直于x轴,那么椭圆的离心率为〔
〕
A.
B.2﹣
C.2〔2﹣〕D.
34.在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A〔0,3〕和C〔0,﹣3〕,顶点B在
椭圆
=1上,那么
=〔
〕
A.
B.
C.
D.
35.椭圆
的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在
点P满足线段AP的垂直平分线过点
F,那么椭圆离心率的取值范围是〔
〕
A.〔0,
]B.〔0,]C.[
,1〕D.[
,1〕
第5页〔共36页〕
36.椭圆
的左焦点F1,O为坐标原点,点
P在椭圆上,点Q在
椭圆的右准线上,假设
那么椭圆的离心率
为〔
〕
A.
B.C.
D.
1、F2是椭圆C1:
+y2
2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第
37.如图F
=1与双曲线
C
二、四象限的公共点,假设四边形
AF1BF2为矩形,那么C2的离心率是〔
〕
A.B.C.D.
38.设A1,A2分别为椭圆=1〔a>b>0〕的左、右顶点,假设在椭圆上存在点P,使
得>﹣,那么该椭圆的离心率的取值范围是〔〕
A.〔0,〕B.〔0,
〕C.
D.
39.A、B是椭圆
长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于
x轴对
称的两点,直线
AM,BN的斜率分别为
k1,k2,且k1k2≠0.假设|k1|+|
k2|的最小值为
1,那么
椭圆的离心率〔
〕
A.
B.
C.
D.
40.设F1,F2分别为椭圆C1:
+
=1〔a>b>0〕与双曲线C2:
﹣
=1〔a1>
b1>0〕的公共焦点,它们在第一象限内交于点
M,∠F1MF2=90°,假设椭圆的离心率
e∈[,
],那么双曲线C2的离心率e1的取值范围为〔
〕
A.[
,
]
B.[
,
〕
C.[
,]D.[
,+∞〕
第6页〔共36页〕
第7页〔共36页〕
圆锥曲线5椭圆离心率值和范围类型
参考答案与试题解析
一.选择题〔共40小题〕
1.〔2021?
广东〕假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,那么该椭圆的离心
率是〔〕
A.B.C.
D.
【分析】先设长轴为
2a,短轴为
2b,焦距为2c,由题意可知:
a+c=2b,由此可以导出该椭
圆的离心率.
【解答】解:
设长轴为2a,短轴为
2b,焦距为
2c,
那么2a+2c=2×2b,
2
2
2
2
2
2
2
即a+c=2b?
〔a+c〕
=4b=4〔a
﹣c〕,所以3a﹣5c
=2ac,同除a,
整理得
5e2+2e﹣3=0,∴
或e=﹣1〔舍去〕,
应选B.
2.〔2021?
江西〕F1、F2是椭圆的两个焦点,
满足
?
=0的点M总在椭圆内部,
那么椭圆离心率的取值范围是〔
〕
A.〔0,1〕B.〔0,]
C.〔0,
〕D.[
,1〕
【分析】由
?
=0知M点的轨迹是以原点
O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点
2
2
2
2
.由此能够推导出椭圆离心率的取值范围.
总在椭圆内部,∴c<b,c
<b=a
﹣c
【解答】解:
设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为
a,b,c,
∵
?
=0,
∴M点的轨迹是以原点
又M点总在椭圆内部,∴该圆内含于椭圆,即
O为圆心,半焦距c为半径的圆.
2222
c<b,c<b=a﹣c.
2
,∴0<e<.
∴e=<
应选:
C.
3.〔2021?
潍坊模拟〕椭圆
C:
+=1〔a>b>0〕的左右焦点为
F1,F2,假设椭圆C
上恰好有6个不同的点,使得△F1F2P为等腰三角形,那么椭圆C的离心率的取值范围是〔
〕
A.
B.
C.
D.
第8页〔共36页〕
【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论,结合以椭
圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断,建立关于a、c的不等式,解之即可得
到椭圆C的离心率的取值范围.
【解答】解:
①当点P与短轴的顶点重合时,
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,
以F2P作为等腰三角形的底边为例,∵F1F2=F1P,
∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上
因此,当以F1为圆心,半径为
2c的圆与椭圆C有2交点时,
存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
在△F121中,F12+PF1>PF2,即2c+2c>2a﹣2c,
FP
F
由此得知3c>a.所以离心率e>.
当e=时,△F1F2P是等边三角形,与①中的三角形重复,故e≠
同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e
且e≠
时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P
这样,总共有
6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形
综上所述,离心率的取值范围是:
e∈〔,
〕∪〔
,1〕
4.〔2021?
淮南一模〕设椭圆
C:
=1〔a>b>0〕的左、右焦点分别为
F1、F2,P是
C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,那么C的离心率为〔
〕
A.B.C.
D.
【分析】设|PF2|=x,在直角三角形
PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心
率的性质即可求得答案.
【解答】解:
设|PF2|=x,
∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,
∴|PF1|=2x,|F1F2|=x,
又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c
∴2a=3x,2c=x,
第9页〔共36页〕
∴C的离心率为:
e==.
应选A.
5.〔2021?
南阳校级三模〕椭圆C:
=1〔a>b>0〕的左焦点为F,C与过原点
的直线相交于
A,B两点,连接AF,BF,假设|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=
,那么C的离
心率为〔
〕
A.B.
C.D.
【分析】由条件,利用余弦定理求出
|AF|,设F′为椭圆的右焦点,连接
BF′,AF′.根
据对称性可得四边形
AFBF′是矩形,由此能求出离心率e.
【解答】解:
如下图,
在△AFB中,|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,
由余弦定理得
2
2
2
﹣2|AB||BF|cos∠ABF
|AF|=|AB|
+|BF|
=100+64﹣2×10×8×
=36,
∴|AF|=6,∠BFA=90°,
设F′为椭圆的右焦点,连接BF′,AF′.
根据对称性可得四边形AFBF′是矩形.
∴|BF′|=6,|FF′|=10.
∴2a=8+6,2c=10,解得a=7,c=5.
∴e==.
应选B.
第10页〔共36页〕
6.〔2021?
新课标Ⅱ〕设椭圆C:
=1〔a>b>0〕的左、右焦点分别为
F1、F2,P是
C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,那么C的离心率为〔
〕
A.B.C.
D.
【分析】设|PF2|=x,在直角三角形
PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心
率的性质即可求得答案.
【解答】解:
|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,
∴|PF1|=2x,|F1F2|=
x,
又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c
∴2a=3x,2c=x,
∴C的离心率为:
e==.
应选D.
7.〔2021?
长沙模拟〕F1〔﹣c,0〕,F2〔c,0〕为椭圆的两个焦点,P为椭
圆上一点且
,那么此椭圆离心率的取值范围是〔
〕
A.
B.
C.
D.
【分析】设P〔m,n〕,由
得到n2
=2c
2﹣m2
①.把P〔m,n〕代入椭圆
得到
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
bm+an=ab
②,把①代入②得到m
的解析式,由m≥0
及m
≤a求得的
范围.
【解答】解:
设P〔m,n〕,
=〔﹣c﹣m,﹣n〕?
〔c﹣m,﹣n〕=m2﹣c2+n2,
2
2
2
2
2
2
①.
∴m+n
=2c
,n
=2c
﹣m
把P〔m,n〕代入椭圆
2
2
2
2
2
2
得bm+an=ab
②,
2
2
2
2
2
把①代入②得m=
≥0,∴ab≤2ac,
2
≤2c
2
2
2
2
b
,a
﹣c≤2c
,∴≥.
2
2
2
2
﹣2c
2
又m≤a,∴
≤a,∴
≤0,故a
≥0,∴≤.
综上,≤≤,
第11页〔共36页〕
应选:
C.
8.〔2021春?
德宏州校级期末〕O为坐标原点,F是椭圆C:
+=1〔a>b>0〕的
左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥