但按照极小元的定义，在集合A中ｂ,c，ｄ均是极小元． （７分）
１4．┐P∧（P→┐Q）∨P为永假式.
错误. （3分）
┐P∧（P→┐Q）∨Ｐ是由┐P∧（Ｐ→┐Ｑ）与P组成的析取式，
如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Ｑ）∨P为真， （５分）
如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，
也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，
所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式. （７分）
另种说明:
┐Ｐ∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式,
只要其中一项为真，则整个公式为真. （5分）
可以看到,不论P的值为真或为假,┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，
所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式． （7分）
或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨P⇔Ｔ
五．计算题（每小题１2分，本题共36分）
１５．设集合A={1，2，3，4｝，Ｒ={|x,y∈A；|x-y|＝1或x-y=0}，试
（1）写出R的有序对表示；
（2）画出Ｒ的关系图;
（3）说明R满足自反性，不满足传递性．
1５．
（1）R={<1,1>,<2，2>,<3,３>，<4，4>，＜1,２>,<2,1>,＜2,3＞，＜３,2＞,<３,4>,＜4，3＞}（3分）
（2）关系图如图二:
图二 （6分）
（３）因为<1,1>,<2，2＞,＜3，3>，＜4,4>均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在Ｒ中,故Ｒ在A上是自反的. （9分）
因有<２，３>与<3,4>属于Ｒ，但<2,4>不属于R,所以R在A上不是传递的．
（12分）
１6．设图G=＜V，E>，V={v1,v２,v３,v4，v5｝，E＝{ （ｖ1，v2），（v１，v3），（v2, v4），（v3,v5）,（v4,v5） },试
（1）画出Ｇ的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数;
（4）画出图G的补图的图形.
16.
（1）关系图如图三：
（3分）
（2）邻接矩阵
（6分）
（3）deg（v1）=2
deg（ｖ2）=2
dｅｇ（v３）=2
ｄeg（v4）=2
ｄeｇ（ｖ５）=2 （９分）
（4）补图如图四
（1２分）
17．求P→Q∧R的合取范式与主析取范式．
P→（R∧Q）
⇔┐P∨（R∧Q） （４分）
⇔（┐P∨Q）∧（┐P∨R）（合取范式） （6分）
P→（R∧Q）
⇔┐P∨（R∧Q）
⇔（┐P∧（┐Ｑ∨Q））∨（R∧Q） （７分）
⇔（┐Ｐ∧┐Q）∨（┐P∧Ｑ）∨（R∧Q） （8分）
⇔（（┐P∧┐Ｑ）∧（┐R∨R））∨（┐P∧Q）∨（R∧Q ） （９分）
⇔（┐P∧┐Ｑ∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐Ｐ∧Q）∨（R∧Ｑ） （1０分）
⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐Ｐ∧┐Q∧R）∨（（┐P∧Q）∧（┐Ｒ∨Ｒ））∨（Ｒ∧Q）
⇔（┐P∧┐Q∧┐Ｒ）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨（┐Ｐ∧Q∧R）∨（R∧Ｑ）
⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧Ｒ）∨（┐P∧Q∧┐R）∨
（┐Ｐ∧Ｑ∧R）∨（（┐P∨P）∧（R∧Q））
⇔（┐Ｐ∧┐Q∧┐Ｒ）∨（┐Ｐ∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨
（┐P∧Q∧Ｒ）∨（P∧R∧Q） （主析取范式） （12分）
说明：
此题解法步骤多样,若能按正确步骤求得结果，均可给分．
六、证明题（本题共８分）
18.设连通无向图G有14条边，3个４度顶点，4个３度顶点，其它顶点的度数均小于3,试说明G中可能有的顶点数.
证明:
可利用数列可图化及握手定理解答
顶点度数和为２⨯14＝28, （２分）
２8-（３⨯4+4⨯3）=4,则知其他顶点度数和为4, （4分）
对于有限图,若无零度顶点，则除4度及3度顶点外,可能的顶点情况有：
２个2度点;
1个２度点和2个1度点；
4个1度点， （６分）
即对应图的顶点数分别至少为９、10、11． （８分）
2011年7月
一、单项选择题（每小题3分,本题共15分）１.Ａ2．C ３.C 4．D 5.Ｂ
１．若集合A＝{1，{1｝，｛２}，{１,２}}，则下列表述正确的是（ ）.
Ａ.{2}∈A Ｂ．｛1，2}⊂A
Ｃ.1∉Ａ Ｄ.２⊂A
2．设G为无向图,则下列结论成立的是（ ）．
Ａ．无向图G的结点的度数等于边数的两倍.
B.无向图G的结点的度数等于边数．
C．无向图Ｇ的结点的度数之和等于边数的两倍.
Ｄ．无向图Ｇ的结点的度数之和等于边数.
3.图G如图一所示，以下说法正确的是（）．
A.{（a，b）}是边割集
Ｂ．｛a，c}是点割集
C．｛d}是点割集
D.｛ （c，d）}是边割集
图一
ﻩ4.设集合A={１},则A的幂集为（）.
A．{{1}} B．{1，{1｝｝
C．{∅,１} D.{∅,{1}}
5．设A（x）:
x是人,Ｂ（ｘ）：
x犯错误,则命题“没有不犯错误的人”
可符号化为（）.
A.┐（
ｘ）（A（ｘ） →┐Ｂ（x）） B.┐（
x）（Ａ（x）∧┐Ｂ（x））
C.┐（
x）（ Ａ（x）∧B（x）） Ｄ.（
x）（ A（ｘ）∧B（x））
二、填空题（每小题3分，本题共1５分）
６.命题公式
的真值是 真（或T，或１） ．
7.若无向图T是连通的,则Ｔ的结点数v与边数ｅ满足关系v＝e+１ 时,Ｔ是树．
８.无向图Ｇ是欧拉图的充分必要条件是 G是连通的且结点度数都是偶数 ．
９．设集合A=｛１，2}上的关系R={<2，２>,<1,2>}，则在R中仅需加入一个元素<１,1＞ ,就可使新得到的关系为自反的．
1０．（∀ｘ）（Ｐ（x）→R（y）∨Ｓ（z））中的约束变元有 x ．
三、逻辑公式翻译（每小题６分,本题共12分）
11.将语句“雪是黑色的.”翻译成命题公式．
设P：
雪是黑色的, （2分）
则命题公式为：
P． （6分）
1２．将语句“如果明天下雨，则我们就在室内上体育课.”翻译成命题公式.
设 Ｐ：
如果明天下雨,Q:
我们在室内上体育课， （2分）
则命题公式为:
P→Q. （６分）
四、判断说明题（每小题7分,本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
1３.设集合Ａ={1，2},Ｂ={3,4｝,从A到B的关系为f=｛<1,3>，＜１,４>}，则f是A到B的函数.
错误． （3分）
因为A中元素1有B中两个不同的元素与之对应，故f不是Ａ到B的函数.（7分）
1４．设Ｇ是一个连通平面图，有5个结点9条边，则G有６个面．
正确. （3分）
因G是一个连通平面图，满足欧拉定理，有ｖ-e＋r=2,
所以r=2－（ｖ－e）＝2-（５-９）=6 （７分）
五．计算题（每小题１2分,本题共36分）
１5．试求出P→（R∧Ｑ）的合取范式．
P→（R∧Q）⇔┐P∨（Ｒ∧Q） （6分）
⇔（┐P∨R） ∧（┐P∨Q）（合取范式） （１２分）
1６．设A={{１},{１,2},1},B={1, 2,{2}｝，试计算
（１）（A∩B） （２）（Ａ∪B） （3）（A∩Ｂ）-Ａ．
（１）（A∩B）={1} （4分）
（2）（A∪B）=｛1，2,{１},｛2},｛1,2}} （８分）
（3）（A∩B）-Ａ=∅ （1２分）
1７．试画一棵带权为2, 3，3, 4，5，的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．
最优二叉树如图二所示．
（１0分）
图二
权为2⨯3+3⨯3＋3⨯２+4⨯２＋5⨯2=３9 （１２分）
六、证明题（本题共8分）
18.试证明:
若R与S是集合A上的对称关系,则R∩S也是集合Ａ上的对称关系.
证明：
设∀x，y∈A,因为R对称,所以若＜x, y>∈R，则∈R. （2分）
因为Ｓ对称,所以若∈S. （4分）
于是若<ｘ，y>∈R∩Ｓ则∈R且＜x,ｙ>∈S
即∈R且＜y, x>∈S （6分）
也即＜y， x>∈R∩S,故R∩S是对称的. （8分）
中央广播电视大学2010—2011学年度第一学期“开放本科”期末考试
离散数学（本）试题
２011年１月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．D 3．Ｂ 4．D ５．C
1．若集合Ａ=｛ a,{１}},则下列表述正确的是（）.
A.｛1｝∈A Ｂ．{１｝⊆A
C．{ａ}∈Ａ D．∅∈A
2.设图G=,v∈V，则下列结论成立的是（ ）．
A．dｅg（v）=2∣E∣ B．deg（v）=∣E∣
C．
D．
3．如图一所示，以下说法正确的是（ ）.
Ａ.（e, c）是割边 Ｂ．（d,e）是割边
Ｃ．（b,a）是割边 Ｄ.（b,ｃ）是割边
4．命题公式（P∨Q）的合取范式是（ ）.
A．Ｐ B.（P∧Q）
Ｃ.（P∨P） D.（P∨Q）
５．下列等价公式成立的为（ ）．
Ａ.P∧Q⇔P∨Qﻩ B.⌝Ｑ→P⇔P→Q
C．⌝P∧P ⇔⌝Q∧Q D．⌝P∨Ｐ⇔Q
ﻩ二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.设集合Ａ={0,１, 2｝,B=｛１，2， ３,4,｝,R是A到B的二元关系,
则R的有序对集合为 ｛<1,1>,<1, 2＞，<２,１>，<2， 2>} .
７．设G是连通平面图,v, ｅ,r分别表示Ｇ的结点数,边数和面数,则v，e和ｒ满足的关系式 ｖ－e＋r=2 .
８.设Ｇ=＜V,E>是有20个结点,２５条边的连通图，则从G中删去 6 条边,可以确定图G的一棵生成树．
9．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G所有结点的度数全为偶数且 连通 ．
10.设个体域D＝{1,2},则谓词公式
消去量词后的等值式为A
（1）∧A（２） ．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩.”翻译成命题公式.
12．将语句“小张学习努力，小王取得好成绩．”翻译成命题公式.
1１．设Ｐ:
小李学习努力，Q:
小李会取得好成绩, （２分）
Ｐ→Q． （6分）
12．设P：
小张学习努力,Q:
小王取得好成绩， （2分）
P∧Q. （6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共1４分）
判断下列各题正误，并说明理由.
13.如果R1和R2是A上的自反关系，则R1⋂R2是自反的．
１4．如图二所示的图中存在一条欧拉回路.
１3.正确． （３分）
R1和R2是自反的，∀x∈A,＜x,x>∈R１,＜x, x＞∈Ｒ2,
则<ｘ,x>∈Ｒ1⋂R2，
所以R1⋂Ｒ２是自反的. （７分）
14．正确. （３分）
因为图G为连通的,且其中每个顶点的度数为偶数． （7分）
五.计算题（每小题12分,本题共36分）
15．设A={｛２},1,２｝,B=｛1,｛1,2}｝,试计算
（1）（A-Ｂ）;
（2）（A∩B）； （３）A×Ｂ.
16．设Ｇ=，Ｖ={ｖ１,v２,v3，v4,v5｝，E＝｛（v1,v3），（v2,v３）,（v２,v４），（v３,ｖ4）,（v3，v５）｝,试
（1）给出Ｇ的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数； （４）画出其补图的图形.
1７．设谓词公式
，试
（1）写出量词的辖域; （２）指出该公式的自由变元和约束变元.
15.
（1）Ａ-B={２,｛２}｝ （4分）
（２）A∩B ＝{1｝ （8分）
（３）Ａ×B={＜｛2},１＞,<｛２},{１,２}>，＜1,1＞,<1,｛1,2}＞，
<2,１>,<2， {1,2｝>} （12分）
１6．（１）G的图形表示如图三：
（3分）
（2）邻接矩阵:
（6分）
（3）v１,v2，v３，v4，v5结点的度数依次为1,2,4,2，1 （9分）
（4）补图如图四:
（12分）
１7．
（1）∃x量词的辖域为
， （２分）
∀z量词的辖域为
（4分）
∀y量词的辖域为
. （6分）
（2）自由变元为
中的y,以及
中的ｚ （9分）
约束变元为
中的x与
中的z，以及
中的y. （12分）
六、证明题（本题共8分）
1８.试证明集合等式A⋃（B⋂C）=（Ａ⋃B） ⋂（Ａ⋃C）．
1８.证明:
设S=A⋃（B⋂C）,T=（A⋃Ｂ）⋂（A⋃Ｃ）,若x∈S,则x∈A或ｘ∈Ｂ⋂C,（1分）
即x∈Ａ或x∈B 且x∈A或x∈Ｃ． （2分）
也即x∈A⋃B 且x∈A⋃Ｃ, （3分）
即x∈T,所以S⊆T． （４分）
反之，若x∈T，则x∈A⋃B且 x∈Ａ⋃C, （5分）
即ｘ∈A或x∈B且 x∈Ａ或x∈C， （6分）
也即ｘ∈A或x∈B⋂Ｃ,即x∈S,所以T⊆S． （7分）
因此T＝S. （8分）
2011年1月
一、单项选择题（每小题3分,本题共1５分）1．D 2．B 3.Ｃ 4.Ａ ５.Ｂ
1．若集合A=｛ａ，b}，B={a，{a，ｂ}}，则（）.
A.A∉B B．Ａ⊆B
C.Ａ⊂B D．A∈Ｂ
2．集合A={ｘ|ｘ为小于10的自然数}，集合A上的关系R={<ｘ,ｙ＞|x＋y=10且ｘ,ｙ
A}，则R的性质为（）．
A.自反的 Ｂ.对称的
C．传递且对称的 Ｄ.反自反且传递的
ﻩ3．设有向图（ａ）、（b）、（c）与（ｄ）如图一所示,则下列结论成立的是（ ）．
图一
A．（a）仅为弱连通的 B．（b）仅为弱连通的
Ｃ．（c）仅为弱连通的 D．（d）仅为弱连通的
4.设图Ｇ的邻接矩阵为
ﻩﻩﻩﻩ
则G的边数为（）.
A.5 B.６ C．７ D.8
5.下列公式（ ）为永真式.
A.⌝P∧⌝Q↔P∨Ｑ B．（P→（⌝Q→P））↔（⌝P→（Ｐ→Q））
C．（Q→（P∨Ｑ）） ↔（⌝Q∧（Ｐ∨Ｑ）） D．（⌝P∨（P∧Q））↔Q
二、填空题（每小题３分,本题共15分）
6.设集合A={１,2，3},那么集合A的幂集是 {∅，{1｝,{2 ｝,{３},{1,2}，{１,３｝,｛２,3｝,{1,2,3}｝ .
7．设A={a,b}，B={1，２}，作f：
A→B，则不同的函数个数为 4 .
8.若A={1,2｝,Ｒ={|ｘ∈A,ｙ∈A,x+y＜4}，则R的自反闭包为 {<1,1＞,<2,２>,＜1,2>,<2,１>｝．
9.无向连通图在结点数v与边数e满足 e=v-１ 关系时是树．
１0.（∀x）（A（ｘ）→B（ｘ））∨C（ｘ，ｙ）中的自由变元为 C（x，y）中的ｘ与y ．
三、逻辑公式翻译（每小题6分,本题共1２分）
11．将语句“他们去旅游，仅当明天天晴．”翻译成命题公式．
12.将语句“今天没有下雪.”翻译成命题公式．
1１．设Ｐ：
他们去旅游,Q：
明天天晴, （2分）
P→Q. （6分）
１2.设Ｐ：
今天下雪， （2分）
⌝Ｐ． （6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
１3.汉密尔顿图一定是欧拉图．
错误． （3分）
存在汉密尔顿图不是欧拉图. （5分）
反例见图二.
（7分）
14．下面的推理是否正确,试予以说明.
（１）（∃x）（Ｆ（x）→Ｇ（y）） 前提引入
（2） Ｆ（y）→G（y） ES
（1）.
1、错误． （３分）
（２）应为F（a）→Ｇ（y），换名时，约束变元与自由变元不能混淆.（７分
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