高考数学文热点题型和提分秘籍专题15 三角函数的图象和性质含答案解析.docx
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高考数学文热点题型和提分秘籍专题15三角函数的图象和性质含答案解析
1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性
2．理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间
内的单调性
热点题型一三角函数的定义域及简单的三角不等式
例1、
（1）函数f（x）＝－2tan
的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）不等式
＋2cosx≥0的解集是________。
（3）函数f（x）＝
＋log2（2sinx－1）的定义域是________。
【答案】
（1）D
（2）
（3）
∪
∪
由余弦函数的图象，得
在一个周期[－π，π]上，不等式
cosx≥－
的解集为
，
故原不等式的解集为
。
【提分秘籍】
1．三角函数定义域的求法
（1）应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan（ωx＋φ）的定义域。
（2）转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域。
2．简单三角不等式的解法
（1）利用三角函数线求解。
（2）利用三角函数的图象求解。
【举一反三】
函数y＝
的定义域为________。
【答案】
【解析】要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0。
利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示。
在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为
，
，
再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为
。
热点题型二三角函数的值域与最值
例2、
（1）函数y＝－2sinx－1，x∈
的值域是（ ）
A．[－3，1] B．[－2，1]
C．（－3，1]D．（－2，1]
（2）函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为（ ）
A．3，－1B．3，－2
C．2，－1D．2，－2
【答案】
（1）D
（2）D
【提分秘籍】三角函数最值或值域的三种求法
（1）直接法：
利用sinx，cosx的值域。
（2）化一法：
化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域。
（3）换元法：
把sinx或cosx看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域（最值）问题。
【举一反三】
函数y＝2sin
（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（ ）
A．2－
B．0
C．－1D．－1－
【答案】A
热点题型三三角函数的性质
例3．
（1）函数y＝2cos2
－1是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
（2）若f（x）＝2sinωx＋1（ω＞0）在区间
上是增函数，则ω的取值范围是________。
【答案】
（1）A
（2）
【解析】
（1）y＝2cos2
－1＝cos2
＝cos
＝cos
＝sin2x，
则函数为最小正周期为π的奇函数，故选A。
（2）由2kπ－
≤ωx≤2kπ＋
，k∈Z，
得f（x）的增区间是
，k∈Z。
因为f（x）在
上是增函数，所以
⊆
。
所以－
≥－
且
≤
，所以ω∈
。
【提分秘籍】
1．奇偶性与周期性的判断方法
（1）奇偶性：
由正、余弦函数的奇偶性可判断y＝Asinωx和y＝Acosωx分别为奇函数和偶函数。
（2）周期性：
利用函数y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为
，函数y＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为
求解。
2．求三角函数单调区间的两种方法
（1）代换法：
就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u（或t），利用基本三角函数的单调性列不等式求解。
（2）图象法：
画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间。
提醒：
求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域。
3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法
（1）子集法：
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解。
（2）反子集法：
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解。
（3）周期性：
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过
周期列不等式（组）求解。
【举一反三】
已知函数f（x）＝sin
（x∈R），下面结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于直线x＝
对称
D．函数f（x）在区间
上是增函数
【答案】C
【2016高考新课标1文数】若将函数y=2sin（2x+
）的图像向右平移
个周期后，所得图像对应的函数为（）
（A）y=2sin（2x+
）（B）y=2sin（2x+
）（C）y=2sin（2x–
）（D）y=2sin（2x–
）
【答案】D
【解析】函数
的周期为
，将函数
的图像向右平移
个周期即
个单位，所得图像对应的函数为
，故选D.
【2016高考四川文科】为了得到函数
的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）
（A）向左平行移动
个单位长度（B）向右平行移动
个单位长度
（C）向上平行移动
个单位长度（D）向下平行移动
个单位长度
【答案】A
【2016高考新课标2文数】函数
的部分图像如图所示，则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】由图知，
，周期
，所以
，所以
，
因为图象过点
，所以
，所以
，所以
，
令
得，
，所以
，故选A.
【2016高考新课标Ⅲ文数】函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
【2015高考浙江，文11】函数
的最小正周期是，最小值是．
【答案】
【解析】
，所以
；
.
【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin（
x＋Φ）＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：
m）的最大值为____________.
【答案】8
【解析】由图像得，当
时
，求得
，
当
时，
，故答案为8.
【2015高考湖南，文15】已知
>0,在函数y=2sin
x与y=2cos
x的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2
，则
=_____.
【答案】
【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为
距离最短的两个交点一定在同一个周期内，
.
【2015高考天津，文14】已知函数
若函数
在区间
内单调递增,且函数
的图像关于直线
对称,则
的值为．
【答案】
【2015高考福建，文21】已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的最小正周期；
（Ⅱ）将函数
的图象向右平移
个单位长度，再向下平移
（
）个单位长度后得到函数
的图象，且函数
的最大值为2．
（ⅰ）求函数
的解析式；
（ⅱ）证明：
存在无穷多个互不相同的正整数
，使得
．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）（ⅰ）
；（ⅱ）详见解析．
【解析】（I）因为
．
所以函数
的最小正周期
．
（II）（i）将
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象，再向下平移
（
）个单位长度后得到
的图象．
又已知函数
的最大值为
，所以
，解得
．
所以
由
知，存在
，使得
．
由正弦函数的性质可知，当
时，均有
．
因为
的周期为
，
所以当
（
）时，均有
．
因为对任意的整数
，
，
所以对任意的正整数
，都存在正整数
，使得
．
亦即存在无穷多个互不相同的正整数
，使得
．
【2015高考重庆，文18】已知函数f（x）=
sin2x-
.
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值，
（Ⅱ）将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像.当x
时，求g（x）的值域.
【答案】（Ⅰ）
的最小正周期为
，最小值为
，（Ⅱ）
.
【解析】
（1）
因此
的最小正周期为
，最小值为
.
那么
的值域为
.
故
在区间
上的值域是
.
（2014·安徽卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为
.求cosA与a的值．
【解析】由三角形面积公式，得
×3×1·sinA＝
，故sinA＝
.
因为sin2A＋cos2A＝1，
所以cosA＝±
＝±
＝±
.
①当cosA＝
时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×
＝8，
所以a＝2
.
②当cosA＝－
时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×
＝12，所以a＝2
.
（2014·福建卷）将函数y＝sinx的图像向左平移
个单位，得到函数y＝f（x）的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．y＝f（x）是奇函数
B．y＝f（x）的周期为π
C．y＝f（x）的图像关于直线x＝
对称
D．y＝f（x）的图像关于点
对称
【答案】D
【解析】将函数y＝sinx的图像向左平移
个单位后，得到函数y＝f（x）＝sin
的图像，即f（x）＝cosx．由余弦函数的图像与性质知，f（x）是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x＝kπ（k∈Z）对称，关于点
（k∈Z）对称，故选D.
图1 2
（2014·江苏卷）已知函数y＝cosx与y＝sin（2x＋φ）（0≤φ<π），它们的图像有一个横坐标为
的交点，则φ的值是________．
【答案】
【解析】将x＝
分别代入两个函数，得到sin
＝
，解得
π＋φ＝
＋2kπ（k∈Z）或
π＋φ＝
＋2kπ（k∈Z），化简解得φ＝－
＋2kπ（k∈Z）或φ＝
＋2kπ（k∈Z）．又φ∈[0，π），故φ＝
.
（2014·全国新课标卷Ⅰ]在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos
，④y＝tan
中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A．①②③B．①③④
C．②④D．①③
【答案】A
1.在（0，2π）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为 （ ）
A.∪B.
C.D.∪
【解析】选B.画出y=sinx，y=cosx在（0，2π）内的图象，它们的交点横坐标为，由图象可知x的取值范围为.
2.下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是 （ ）
A.y=sinB.y=cos
C.y=sinD.y=cos
【解析】选A.由于函数周期为π，所以排除C，D;
对于A，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z.
得其单调减区间为（k∈Z）.
显然
（k∈Z）.
3.函数f（x）=sin在区间上的最小值是 （ ）
A.-1B.-C.D.0
【解析】选B.因为x∈，
所以2x-∈，
根据正弦曲线可知，当2x-=-时，f（x）取得最小值-.
4.已知函数f
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