完整版圆证明与计算版.docx

完整版圆证明与计算版.docx

《完整版圆证明与计算版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版圆证明与计算版.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整版圆证明与计算版

.

《圆的证明与计算》专题解说

圆的证明与计算是中考取的一类重要的问题，本题达成状况的利害对解决后边问题的发挥有重要的影响，因此解决好本题比较要点。

圆的有关证明

一、圆中的重要定理:

（1）圆的定义:

主假如用来证明四点共圆.

（2）垂径定理:

主假如用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

（3）三者之间的关系定理:

主假如用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.

（4）圆周角性质定理及其推轮:

主假如用来证明——直角、角相等、弧相等.

（5）切线的性质定理:

主假如用来证明——垂直关系.

（6）切线的判断定理:

主假如用来证明直线是圆的切线.

（7）切线长定理:

线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个要点元素之间的相互转变:

弧、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来相互转变.这在圆中的证明和计算中常常用到.

二、考题形式剖析：

主要以解答题的形式出现,第1问主假如判断切线；第2问主假如与圆有关的计算：

①

求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（本质仍是求线段比）。

知识点一：

判断切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常有手法有：

全等转变；平行转变；直径转变；中线转变等；有时可经过计算联合相像、

勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常有手法：

角均分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角均分线；

总而言之，要达成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直

线与半径的关系是相互垂直。

在证明中的要点是要办理好弧、弦、角之间的相互转变,要善

于进行由此及彼的联想、要总结常增添的协助线.例：

方法一：

若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只要连OA，证明OA⊥l

就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于怎样证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B

为切点的切线交OD延伸线于F.

求证：

EF与⊙O相切.

.

.

例2如图，AD是∠BAC的均分线，P为BC延伸线上一点，且PA=PD.求证：

PA与⊙O相切.

证明一：

作直径AE，连接EC.

∵AD是∠BAC的均分线，∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，

∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，

∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：

延伸AD交⊙O于E，连接OA，OE.

∵AD是∠BAC的均分线，

⌒

，

⌒

∴BE=CE

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：

本题是经过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用

.

.

.

例3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：

DM与⊙O相切.

例4如图，已知：

AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延伸线上.

求证：

DC是⊙O的切线

例5如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.

求证：

PC是⊙O的切线.

.

.

例6如图，ABCD是正方形，G是BC延伸线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：

CE与△CFG的外接圆相切.

剖析：

本题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连接OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：

取FG中点O，连接OC.

∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△

∵O是FG的中点，

∴O是Rt△CFG的外心.

∵OC=OG，

∴∠3=∠G，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

方法二：

若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只要作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：

“作垂直；证半径”（一般用于函数与几何

综合题）

例1：

如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：

AC与⊙D相切.

剖析：

说明：

证明一是经过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二

是利用角均分线的性质证明DF=DE的，这种习题多半与角均分线有

关.

.

.

例2：

已知：

如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.

求证：

CD是⊙O的切线.

证明一：

连接OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.

∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.

∵AC∥BD，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.

∵∠COD=900，O

∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.

∵∠4+∠5=900.

∴∠1=∠5.

∴Rt△AOC∽Rt△BDO.

ACOC

∴.

OBOD

∵OA=OB，

ACOC

∴.

OAOD

又∵∠CAO=∠COD=900，

∴△AOC∽△ODC，

∴∠1=∠2.

又∵OA⊥AC，OE⊥CD,

∴OE=OA.

∴E点在⊙O上.

∴CD是⊙O的切线.

证明二：

连接OA，OB，作OE⊥CD于E，延伸DO交CA延伸线于F.

∵AC，BD与⊙O相切，

∴AC⊥OA，BD⊥OB.

∵AC∥BD，

∴∠F=∠BDO.

又∵OA=OB，

∴△AOF≌△BOD（AAS）

.

.

∴OF=OD.

∵∠COD=900，

∴CF=CD，∠1=∠2.

又∵OA⊥AC，OE⊥CD，

∴OE=OA.

∴E点在⊙O上.

∴CD是⊙O的切线.

证明三：

连接AO并延伸，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连接OF.

∵AC与⊙O相切，

∴AC⊥AO.

∵AC∥BD，

∴AO⊥BD.

∵BD与⊙O相切于B，

∴AO的延伸线必经过点B.

∴AB是⊙O的直径.

∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，

∴OF∥AC，

∴∠1=∠COF.

∵∠COD=900，CF=DF，

∴OF1CDCF.

2

∴∠2=∠COF.

∴∠1=∠2.

∵OA⊥AC，OE⊥CD，

∴OE=OA.

∴E点在⊙O上.

∴CD是⊙O的切线

说明：

证明一是利用相像三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明

∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必要先证明A、O、B三点共线.

.

.

课后练习：

（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：

CD为⊙O

的切线；C

D

AB

O

（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中

点，连接DE，求证：

DE是⊙O的切线.C

DE

AOB

（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：

DE是⊙O的切线.

A

O

F

E

BDC

（4）如图，AB是⊙O的直径，AE均分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交

AF的延伸线于点

D，交AB的延伸线于点

C，求证：

CD是⊙O的切线.

A

O

B

F

C

ED

.

.

知识点二：

与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，往常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相像等知识

的联合，形式复杂，无规律性。

剖析时要要点注意察看已知线段间的关系，选择定理进行线段或许角度的转变。

特别是要借助圆的有关定理进行弧、弦、角之间的相互转变，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。

此中重要而常有的数学思想方法有：

（1）结构思想：

如：

①建立矩形转变线段；②建立“射影定理”基本图研究线段（已知随意两条线段可求其余全部线段长）；

射影定理：

所谓射影，就是正投影。

此中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这

点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这

条线段在这直线上的正投影。

由三角形相像的性质：

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项。

每

一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比率中项。

公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理以下:

：

（1）（AD）2;=BD·DC,

（2）（AB）2;=BD·BC,（3）（AC）2;=CD·BC。

等积式（4）ABXAC=BCXAD（可用面积来证明）

③结构垂径定理模型：

弦长一半、弦心距、半径；

④结构勾股定理模型（已知线段长度）；

⑤结构三角函数（已知有角度的状况）;

○6找不到，找相像

（2）方程思想：

设出未知数表示要点线段，经过线段之间的关系，特别是发现此中的相等关系成立方程，解决问题。

（3）建模思想：

借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图

形的问题，经过基本图形的解题模型迅速发现图形中的基本结论，从而找出隐蔽的线段之间

的数目关系。

典型基本图型：

图形1：

如图1：

AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：

（1）在“AC均分∠

（2）如图2、3，DE

D

EC

A

O

BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。

等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦

DDD

ECECE

F

F

BAOBAOBAO

EF）。

C

KB

图1

图2

图3

图4

.

.

D

（3）如图（4）：

若CK⊥AB于K，则：

EC

①CK=CD；BK=DE；CK=1BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;

2

G

②⊿ADC∽⊿ACB

AC2=AD?

AB

A

O

B

（4）在

（1）中的条件①、②、③中任选两个条件，当

BG⊥CD

于E时（如图

5），则：

①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD?

BG=1DG2

=DC2

图5

图形2

：

4

是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC

：

如图Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。

点O

于点E，基本结论有：

B

B

B

G

D

D

D

G

F

H

F

C

O

E

A

C

A

C

A

O

E

O

E

图3

图1

图2

（1）在“BO均分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。

四个论断中，知一推三。

（2）①G是⊿BCD的心里；②CG=GD；③⊿BCO∽⊿CDEBO?

DE=CO?

CE=1CE2；

2

（3）在图

（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。

（4）如图（3），若①BC=CE，则：

②AE=1=tan∠ADE；③BC：

AC：

AB=3：

4：

5；（在

AD2

①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH

图形3：

如图：

Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：

如右图：

（1）DE切⊙O

E是BC的中点；

D

C

（2）若DE切⊙O，则：

①DE=BE=CE；

E

②D、O、B、E四点共圆

∠CED=2∠A

③CD·CA=4BE2,

DE

CD

BC

A

B

R

BD

BA

O

图形特别化：

在（

1）的条件下

如图1：

DE∥AB

⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；

如图2：

若DE的延伸线交AB的延伸线于点

F，若AB=BF，则：

C

DE

1

BE

1

C

D

①

E

EF

3

;②

2

R

D

E

A

F

O

B

.

A

O

B

图2

图1

.

图形4：

如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，

基本结论有：

（1）DE⊥ACDE切⊙O；

（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：

①⊿DFC是等腰三角形；

②EF=EC；③D是BF的中点。

④与基本图形1的结论重合。

⑤连AD，产生母子三角形。

C

E

F

D

AOB

图形5：

ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于

Ｅ

，基本结论有：

：

以直角梯形

AD

AD

A

D

E

E

G

E

F

O

O

O

F

B

C

B

C

B

C

图1

图2

图3

（1）如图1：

①AD+BC＝CD；②∠COD=∠AEB=90°；③OD均分∠ADC（或OC平

分∠BCD）；（注：

在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）

④AD·BC＝1AB2=R2；

4

（2）如图2，连AE、CO，则有：

CO∥AE，CO?

AE=2R2（与基本图形2重合）

（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：

EG=FG.

图形6：

如图：

直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。

基本结论有：

B

R

EP

B

B

Q

ER

A

B

P

O

Q

E

AP

R

O

Q

O

O

Q

EP

R

（1）PQ=PR

（⊿PQR是等腰三角形）；

（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一

（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2

图形7：

如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的心里。

基本结论有：

（1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；

AA

③∠AIB=90°+1∠ACB;

2

（2）如图2，若∠BAC=60°，则：

BD+CE=BC.

O

I

D

IE

O

B

E

C

C

B

D

图1

图2

.

.

图形8：

已知，AB是⊙O的直径，C是

中点，CD⊥AB于D。

BG交CD、AC

于E、F。

基本结论有：

（1）CD=1

BG；BE=EF=CE；GF=2DE

G

F

C

2

（反之，由CD=1BG或BE=EF可得：

C是BG

中点）

H

E

2

A

B

O

D

（2）OE=1AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF

2

（3）BE·BG=BD·BA

（4）若D是OB的中点，则：

①⊿CEF是等边三角形；②BC=CG=AG

典范解说：

例题1：

△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延伸线交BP于D.

（1）求证：

CD为⊙O的切线；

（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求EF的值。

AF

例题2：

直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD

交于F.

⑴求证：

CD为⊙O的切线

⑵若BE

3，求

BF的值

AB

5

DF

AD

O

F

BEC

例题3：

如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP。

（1）求证：

PC为⊙O的切线。

（2）过D点作DE⊥AB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，

求DG的值。

DB

.

.

例题4（2009调考）：

如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为

的中点，AF为△ABC的角均分线，且AF⊥EC。

（1）求证：

AC与⊙O相切；

（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长

A

D

E

H

BOFC

家庭练习：

1．如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，BD=DE，过D作AE的垂线，

F为垂足.

（1）求证：

DF为⊙O的切线；

（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求tanBAC的值.

FC

D

E

AOB

2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，AD=DC，过D作直线BC的垂

线交直线AB于点E，F为垂足.

F

（1）求证：

EF为⊙O的切线；

D

（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.

C

EAOB

.

.

3．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延伸线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连接CE交AB于点F.

（1）求证：

DE=DF；

（2）连接AE，若OF=1，BF=3，求tanA的值.

C

AFBD

O

E

4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD均分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于