第八章多元函数微分学习题解理工类吴赣昌.docx

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第八章多元函数微分学习题解理工类吴赣昌

第8章多元函数微分学

§8.1多元函数的基本概念

内容概要

区域

定义

邻域

空间中点的邻域为

平面上点的邻域为

点集

开集

所有点都是内点的点集

闭集

开集连同边界构成的点集

连通集

任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集

区域

连通的点集。

开区域、闭区域；有界区域、无界区域

多元函数

定义

D为平面上非空点集，如果对D中任一点，按某种法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称为D上的二元函数，记，，D为定义域。

几何意义：

为空间曲面，D为曲面在面上投影。

可定义三元及以上函数。

二重极限

当时，恒有，则称。

注：

其中为任意方式。

从而若以不同方式趋于时，无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。

多元函数连续

若，则函数在连续。

初等函数在其定义区域内连续。

闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。

课后习题全解

习题8-1

★1.设，求。

解：

★2.已知函数，试求。

解：

★★3.设，且当时，，求。

解：

将代入原式得：

，故

4.求下列函数的定义域：

★

（1）

解：

要使表达式有意义，必须

所求定义域为

★

（2）

解：

要使表达式有意义，必须，

★★（3）

解：

要使表达式有意义，必须

★★★（4）

解：

要使表达式有意义，必须

★★（5）

解：

要使表达式有意义，必须

5.求下列极限：

★

（1）

知识点：

二重极限。

思路：

为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

解：

★★

（2）

知识点：

二重极限。

思路：

应用有理化方法去根号。

解：

★★★（3）

解：

原式，

，

★★（4）

解：

方法一：

（应用二重极限定义，语言）

当时恒有

方法二：

（夹逼定理）

，又

方法三：

（极坐标代换）

令，则当时，

★★（5）

知识点：

二重极限。

思路：

先作变量替换，然后对未定型应用洛必达法则及等价无穷小量替换。

解：

令，则时，，

原式。

★★★（6）

解：

6.证明下列极限不存在

知识点：

二重极限。

思路：

若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。

★★

（1）

证：

取，则

，易见极限会随值的变化而变化，故原式极限不存在。

★★★★

（2）

证：

方法一：

现考虑，

若沿轴趋于，则上式，从而

若沿曲线趋于，则，

从而

故原式极限不存在。

方法二：

若取，则

若取，则

故原式极限不存在。

★★★（3）

解：

若沿轴趋于，则上式

若沿曲线趋于，则上式

故原式极限不存在。

注：

若沿曲线趋于，则

从而。

7.研究下列函数的连续性

★

（1）

解：

当时函数无定义，故函数的间断点集为

★★★

（2）

解：

函数间断点为，由

又

故由夹逼定理，故为可去间断点。

★★★8.设，讨论在处是否连续？

知识点：

二元函数连续

思路：

若，则函数在连续。

讨论处二重极限的存在性，若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。

解：

若沿轴趋于，则

若沿轴趋于，则

故不存在，从而函数在处是不连续。

§8.2偏导数

内容概要

偏

导

数

偏

导

数

定义

性质

也记为

同理可定义

几何意义：

的偏导数表示空间曲线

在点

处的切线关于轴的斜率

偏导函数的求法：

（1）多元函数对某自变量求偏导时，只需将其余自变量看为常数，按一元函数求导法则计算导数。

（2）多元分段函数在分段点处偏导数要用偏导数定义来求。

高

阶

偏

导

数

若函数的偏导数

在区域D内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。

二

阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。

如果的二阶混合偏导数

在区域D内连续，则在D内这两个偏导数相等。

课后习题全解

习题8-2

1.求下列函数的偏导数：

★

（1）；

知识点：

二元函数偏导数

思路：

函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。

解：

；

★★

（2）；

解：

，故

★★（3）；

解：

；

注：

该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。

★★（4）；

解：

；

★（5）；

解：

★★★（6）；

知识点：

二元函数偏导数

思路：

函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。

在本题中对自变量x求偏导时，函数为x的幂函数；对自变量y求偏导时，函数为y的幂指函数。

解：

方法一

方法二：

（求时也可利用下边第5节的隐函数求导法则）

在方程两边同时取自然对数得

方程两边同时对自变量求偏导数，注意为的函数

★★（7）；

解：

；

★★（8）；

知识点：

多元函数偏导数

思路：

函数对自变量x（y或z）求导时将另两自变量y，z（x，z或x，y）看为常量，按一元函数求导法则求导。

解：

；

；

★★2.设，求。

解：

法一：

，；

法二：

，

★★★3.设，求

知识点：

多元分段函数偏导数。

思路：

分段函数分段点处偏导数用定义求；非分段点处应用法则求导。

解：

当时，

不存在。

当时，

★★4.曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角是多少？

知识点：

多元函数偏导数的几何意义。

思路：

的偏导数表示空间曲线在点处的切线关于轴的斜率，。

解：

，，

5.求下列函数的和：

★

（1）；

解：

；

★★

（2）；

解：

；

；

★★★（3）。

解：

；

★★6.设，求及。

解：

，又，

所以，

★★★7.设，其中可导，证明。

证：

，

左边；

右边，所以左边=右边，题目得证。

注：

本题中对抽象函数应用了一元复合函数求导法则。

★★8.设，求及。

解：

，；

§8.3全微分及其应用

内容概要

全微分

及其应用

定义

如果函数在点的全增量可表示为，其中与无关，，则称函数在点可微，全微分。

性质

（1）若函数在可微，则在连续

（2）若函数在可微，则；从而若，则函数在不可微。

（3）若函数在可微，则在偏导数存在，且

（4）若函数在的某邻域存在偏导数且，在连续，则函数在可微，且

全微分应用

若函数在的某邻域内偏导数，在连续，且都比较小时，有全增量近似公式

函数值近似公式

课后习题全解

习题8-3

1.求下列函数的全微分：

★

（1）；

知识点：

全微分。

思路：

求出函数的偏导数，代入全微分公式。

解：

所以

★★

（2）；

解：

所以

★★★（3）；

解：

所以

★★2.求函数在时的全微分。

解：

所以

★★★3.设，求

解：

故从而

★★4.求函数在时的全增量和全微分。

解：

将代入得：

全增量全微分

★★5.计算的近似值

知识点：

全微分

思路：

应用全微分近似计算公式

解：

设，则要计算的近似值就是该函数在时的函数值的近似值。

取

又

应用公式

所以

★★6.计算的近似值

知识点：

全微分

思路：

应用全微分近似计算公式

解：

设，则要计算的近似值就是该函数在时的函数值的近似值。

取

又所以

所以

★★7.已知边长为与的矩形，如果边增加，而边减少，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？

知识点：

全微分

思路：

应用全微分近似计算公式

解：

由题意知矩形的对角线为

则有，

其中，

所以

即矩形的对角线近似减少2.8cm。

★★8.用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长，宽，高，厚，求所需材料的近似值与精确值。

解：

设容器的长宽高分别为，则长方体体积为，从而所需材料的精确值为

由题意可知，

故精确值

近似值

★★9.有欧姆定律，电流I，电压V及电阻R有关系。

若测得V=110V，测量的最大绝对误差为2V，测得I=20A，测量的最大绝对误差为0.5A。

问由此计算所得到的R的最大误差和最大相对误差是多少？

解：

其中，分别为测量电压和电流的绝对误差；

故

又，故

从而R的最大误差为，最大相对误差是。

§8.4复合函数微分法

内容概要

复

合

函

数

微

分

法

类型

求导法则

复合函数的中间变量均为一元函数的情形

如果函数及在点处可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数在对应点处可导，且

复合函数中间变量为多元函数情形

如果函数及在点处可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数在对应点处可导，且，

复合函数中间变量既有一元函数又有多元函数的情形

如果函数及在点处可导函数在点可导，

函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数

在对应点处可导，

且，

注：

若，，则

；

其中为对中间变量的偏导数，此时应将中变量看做常数；而为对自变量的偏导数，此时将自变量看为常数。

与区别同上。

课后习题全解

习题8-4

★★1.设，而，求

解：

★★2.设，而，求

解：

★★3.设，而，求

解：

★★4.设，求

解：

令则函数可看为复合而成的函数，从而

注：

本题也可根据幂指函数求导法则计算或用对数求导法。

★★5.设，求

解：

（指对中间变量的偏导数，此时将中看为常量）

6.求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）：

★★

（1）

解：

令，则原函数为复合而成的函数，按多元复合函数求道法则有：

★★★

（2）

解：

令，则原函数为复合而成的函数，按多元复合函数求导法则有：

★★（3）

知识点：

多元复合函数求导法则。

思路：

函数有三个中间变量，其中变量既是中间变量又是自变量。

解：

令，则函数为复合而成，按复合函数求导法则有：

（其中为函数对中间变量的导数）

★★★7.设，其中为可导函数，验证：

。

知识点：

多元复合函数微分法。

思路：

本题为抽象函数的复合函数，故要用商式求导法则，再按复合函数求导法则求导。

证：

令，则，

，所以有：

。

★★★8.设，其中有二阶连续偏导数，求

解：

令，则函数可看为

复合而成的函数，由求导法则有：

，，

函数仍为复合而成的复合函数，依然以为中间变量以为自变量，且由有二阶连续偏导数，得

又由函数对自变量的对称性可得：

，

★★9.设，其中具有连续二阶偏导数，求

解：

令，则函数为复合而成，按复合函数求导法有：

，

由为的函数，所以仍为以为中间变量，以为自变量的函数，故

（具连续二阶偏导数）

（与课后答案不同。

）

10.求下列函数的（其中具有二阶连续偏导数）

★★★

（1）

解：

令，则函数为复合而成的函数，其中变量既是中间变量又是自变量，按复合函数求导法有：

，（其中是函数对中间变量的偏导数，求解时将中间变量看作常量）

又由为的函数，所以仍为以为中间变量，以为自变量的函数，故

★★

（2）

解：

令，则函数为复合而成，按多元复合函数求导法：

，

由为的函