河南省开封市届高三上学期第一次模拟考试数学理试题解析版.docx
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河南省开封市届高三上学期第一次模拟考试数学理试题解析版
开封市2019届高三第一次模拟考试
数学（理科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.
【详解】由题意易得：
，
∴
∴
故选：
C
【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．
2.已知复数
满足
，则复平面内与复数
对应的点在
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【详解】由
得
，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（
，
），在第四象限．
故选：
D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.已知函数
，则下列说法正确的是
A.
的最小正周期为
B.
的最大值为2
C.
的图像关于
轴对称D.
在区间
上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.
【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，
∴函数的最小正周期T＝π，
∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），
∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，
∵f（x）＝cos2x在[
，
]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[
，
]上单调递增．
故选：
C．
【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．
4.已知等比数列
中，有
，数列
是等差数列，其前
项和为
，且
，则
A.26B.52C.78D.104
【答案】B
【解析】
【分析】
设等比数列
的公比为q，利用等比性质可得
，即
，再结合
，即可得到结果.
【详解】设等比数列
的公比为q，∵
，∴
≠0，解得
＝4，
数列
是等差数列，且
．
∴
故选：
B．
【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.已知直线
，
和平面
，
，则“
”是“
”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
试题分析：
直线
，平面
，且
，若
，当
时，
，当
时不能得出结论，故充分性不成立；若
，过
作一个平面
，若
时，则有
，否则
不成立，故必要性也不成立．由上证知“
”是“
”的既不充分也不必要条件，故选D．
考点：
1、线面平行；2、命题的充分必要条件．
6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.
【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，
其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，
则组合体的体积：
.
本题选择B选项.
【点睛】
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
7.已知函数
若
，则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意，对a分a
与a
讨论，再解相应的不等式即可．
【详解】∵
，
∴
或
即
或
即
∴
的取值范围是
故选：
B
【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．
8.若
，
满足约束条件
则
的取值范围为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．
【详解】作出x，y满足约束条件
的可行域如图：
△ABC，
表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，
联方程组
可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），
当直线经过点B时，M取最小值：
，
当直线经过点A时，M取最大值
1．
则
的取值范围：
[
，1]．
故选：
A．
【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：
一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
9.已知数列
中，
，
，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．
【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，
判断框内为满足循环的条件，
循环前，A
，n＝1；
第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；
第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；
第3次循环，A＝1
，n＝3+1＝4；
…
所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，
当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．
分析选项中的条件，满足题意的C．
故选：
C．
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：
（1）不要混淆处理框和输入框；
（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
10.已知
的内角
，
，
，
为
所在平面上一点，且满足
，设
，则
的值为
A.
B.1C.
D.2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合三点共线的充分必要条件讨论
的最大值即可.
【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆
中，
所对的圆心角为
，
，点A,B为定点，点
为优弧上的动点，则点
满足题中的已知条件，
延长
交
于点
，设
，
由题意可知：
，
由于
三点共线，据此可得：
，则
，
则
的最大值即
的最大值，
由于
为定值，故
最小时，
取得最大值，
由几何关系易知当
是，
取得最小值，此时
.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知
是双曲线
上一点，且在
轴上方，
，
分别是双曲线的左、右焦点，
，直线
的斜率为
，
的面积为
，则双曲线的离心率为
A.3B.2C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．
【详解】P是双曲线
1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，
△PF1F2的面积为24
，可得P的纵坐标y为：
，y＝4
．直线PF2的斜率为﹣4
，
所以P的横坐标x满足：
，解得x＝5，则P（5，4
），
|PF1|
13，
|PF2|
7，
所以2a＝13﹣7，a＝3，
所以双曲线的离心率为：
e
2．
故选：
B．
【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：
（1）求得
的值，直接代入公式
求解；
（2）列出关于
的齐次方程（或不等式），然后根据
，消去
后转化成关于
的方程（或不等式）求解．
12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为
的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．
【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=此时0＜a＜2
．
取BC中点为E,连接AE,DE,易得：
BC⊥平面ADE,
∴
，当且仅当4
即
时，等号成立，
∴此三棱锥体积的取值范围是
故选：
【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
的展开式中，
的系数等于__________．
【答案】-120
【解析】
【分析】
利用通项公式即可得出．
【详解】（1﹣x）10的展开式中，Tr+1
（﹣x）r，
令r＝3，则T4
x3，
则x3的系数
120．
故答案为：
﹣120．
【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
（1）求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
（2）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
14.已知向量
，
，且
在
方向上的投影为-3，则向量
与
的夹角为__________．
【答案】
【解析】
，
，解得
，
，
，所以
与
的夹角为
.
15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设
，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．
【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，
由∠DFE
，∴∠AFC＝π
；
∴△DEF的面积为S△DEF
•2a•2a•sin
a2，
△AFC的面积为S△AFC
•a•3a•sin
a2，
∴在大等边三角形中随机取一点，此点
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