九年级数学一元二次方程专题练习解析版.docx

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九年级数学一元二次方程专题练习解析版

九年级数学一元二次方程专题练习（解析版）

一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，连接、，与交与点，设运动时间为．

（1）当为何值时，四边形是平行四边形；

（2）设的面积为，求与的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的；

（4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上．

【答案】

（1）；

（2）；（3）当或时，的面积为矩形面积的；（4）当时，点在线段的垂直平分线上

【解析】

【分析】

（1）由四边形是平行四边形，可得由得四边形为平行四边形，即，列式，计算可解.

（2）由，得，代入时间，得解得，

再通过梯形构建联系，可列函数式.

（3）由的面积为矩形面积的得，可解

当或时，的面积为矩形面积的．

（4）当点在线段的垂直平分线上时，，得，由与可得，，，即，代入，，，

可得，计算验证可解.

【详解】

（1）当四边形是平行四边形时，，

又∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，

即，

∴

（2）∵，

∴，

即，

∴，

∴，

∴，

，

梯形，

∴梯形

（3）由题意，

解得，

所以当或时，的面积为矩形面积的．

（4）当点在线段的垂直平分线上时，，

∴，

在中，，

在中，，

∴，

即

解得，（舍）

所以当时，点在线段的垂直平分线上．

【点睛】

本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.

2．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．

（1）求AB与BC的长；

（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；

（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？

若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）AB＝3，BC＝4;

（2）t＝4;（3）t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.

【解析】

试题分析：

（1）解一元二次方程即可求得边长；

（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；

（3）根据题意，分为：

PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.

试题解析：

（1）∵x2－7x＋12＝（x－3）（x－4）＝0

∴＝3或＝4.

则AB＝3，BC＝4

（2）由题意得

∴，（舍去）

则t＝4时，AP＝.

（3）存在点P，使△CDP是等腰三角形.

①当PC＝PD＝3时，t＝＝10（秒）.

②当PD＝PC（即P为对角线AC中点）时，AB＝3，BC＝4.

∴AC＝＝5，CP1＝AC＝2.5

∴t＝＝9.5（秒）

③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q.，

∴PC＝2PQ＝

∴（秒）

可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.

3．已知二次函数y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

①求a的值；

②求当a≤x≤b时，一次函数y＝ax+b的最大值及最小值；

【答案】①a的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9

【解析】

【分析】

①根据题意解一元二次方程即可得到a的值；

②根据a≤x≤b，b＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y＝﹣4x﹣3，根据函数的性质当x＝﹣4时，函数取得最大值，x＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.

【详解】

解：

①∵y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

∴4＝9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3，

解得，a1＝﹣2，a2＝﹣4，

∴a的值是﹣2或﹣4；

②∵a≤x≤b，b＝﹣3

∴a＝﹣2舍去，

∴a＝﹣4，

∴﹣4≤x≤﹣3，

∴一次函数y＝﹣4x﹣3，

∵一次函数y＝﹣4x﹣3为单调递减函数，

∴当x＝﹣4时，函数取得最大值，y＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13

x＝﹣3时，函数取得最小值，y＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.

【点睛】

此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，

（2）是难点，正确理解a、b的关系得到函数解析式是解题的关键.

4．问题提出：

（1）如图1，在四边形中，已知：

，，，的面积为8，求边上的高．

问题探究

（2）如图2在

（1）的条件下，点是边上一点，且，，连接，求的面积

问题解决

（3）如图3，在

（1）的条件下，点是边上任意一点，连接、，若，的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．

【答案】

（1）4；

（2）；（3）存在，最小值为

【解析】

【分析】

（1）作BC边上的高AM，利用三角形面积公式即可求解；

（2）延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H，易得四边形BCDF为矩形，在

（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF为正方形，由，结合∠FAB=∠CBA可得∠FAB=∠EAB，从而推出BF=BH=4，易证Rt△BCE≌Rt△BHE，所以EH=CE=2，设AD＝a，则AF=AH=4-a，在Rt△ADE中利用勾股定理建立方程可求出a，最后根据S△ABE=即可求解；

（3）辅助线同

（2），设AD=a，CE=m，则DE=4-m，同

（2）可得出m与a的关系式，设△ABE的面积为y，由y=得到m与y的关系式，再求y的最小值即可．

【详解】

（1）如图所示，作BC边上的高AM，

∵S△ABC=

∴

即BC边上的高为4；

（2）如图所示，延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H，

∵，

∴∠BCD=∠D=90°=∠F

∴四边形BCDF为矩形，

又∵BC=CD=4

∴四边形BCDF为正方形，

∴DF=BF=BC=4，

又∵AD∥BC

∴∠FAB=∠CBA

又∵∠EAB=∠CBA

∴∠FAB=∠EAB

∵BF⊥AF，BH⊥AE

∴BH=BF=4，

在Rt△BCE和Rt△BHE中，

∵BE=BE，BH=BC=4

∴Rt△BCE≌Rt△BHE（HL）

∴EH=CE=2

同理可证Rt△BAF≌Rt△BAH（HL）

∴AF=AH

设AD=a，则AF=AH=4-a

在Rt△ADE中，AD=a，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a

由勾股定理得AD2+DE2=AE2，即

解得

∴AE=6-a=

S△ABE=

（3）存在，

如图所示，延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H，

同

（2）可得CE=EH，AF=AH，

设AD=a，CE=EH=m，则DE=4-m，AF=AH=4-a

在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即

整理得

∴AE=AH+HE=

设△ABE的面积为y，

则y=

∴

整理得：

∵方程必有实数根

∴

整理得

∴（注：

利用求根公式进行因式分解）

又∵面积y≥0

∴

即△ABE的面积最小值为．

【点睛】

本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB平分∠FAC，利用角平分线的性质定理得到BF=BH，结合勾股定理求出AE是解决

（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．

5．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．

（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？

（假定每年新增汽车数量相同）

【答案】详见解析

【解析】

试题分析：

（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；

（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．

试题解析：

（1）设年平均增长率为x，根据题意得：

10（1+x）2=14.4，

解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，

答：

年平均增长率为20%；

（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：

2009年底汽车数量为14.4×90%+y，

2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，

∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，

∴y≤2．

答：

每年新增汽车数量最多不超过2万辆．

考点：

一元二次方程—增长率的问题

6．已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？

若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？

【答案】存在，n=0.

【解析】

【分析】

在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数.

【详解】

若存在n满足题意.

设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=，所以（x1-x2）2=4n2+3n+2，

由方程②得，（x+n-1）[x-2（n+1）]=0，

①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n=不是整数，舍.

②若4n2+3n+2=2（n+2），解得n=0或n=-（舍），

综上所述，n=0.

7．如图，∠AOB＝90°，且点A，B分别在反比例函数（x＜0），（x＞0）的图象上，且k1，k2分别是方程x2－x－6＝0的两根．

（1）求k1，k2的值；

（2）连接AB，求tan∠OBA的值．

【答案】

（1）k1＝－2，k2＝3．

（2）tan∠OBA＝．

【解析】

解：

（1）∵k1，k2分别是方程x2－x－6＝0的两根，∴解方程x2－x－6＝0，得x1＝3，x2＝－2．结合图像可知：

k1＜0，k2＞0，∴k1＝－2，k2＝3．

（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．[来源:

学&科&网Z&X&X&K]

由

（1）知，点A，B分别在反比例函数（x＜0），（x＞0）的图象上，

∴S△ACO＝×＝1，S△ODB＝×3＝．∵∠AOB＝90°，

∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠AOC＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD．

又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．

∴＝＝，∴＝±（舍负取正），即＝．

∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝＝．

8．已知关于x的二次函数的图象与x轴有2个交点.

（1）求k的取值范围；

（2）若图象与x轴交点的横坐标为，且它们的倒数之和是，求k的值.

【答案】

（1）k＜-；

（2）k=﹣1

【解析】

试题分析：

（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△=b2-4ac的范围可求解出k的值；

（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k的值.

试题解析：

（1）∵二次函数y=x2-（2k-1）x+k2+1的图象与x轴有两交点，

∴当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根．

∴△=b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0．

解得k＜-；

（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0．

则x1+x2=2k-1，x1•x2=k2