华北电力大学硕士研究生课程考试试题A卷矩阵论规范标准答案.docx
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华北电力大学硕士研究生课程考试试题A卷矩阵论规范标准答案
华北电力大学硕士研究生课程考试试题
(A卷)(2013-2014)
一、判断题侮小题2分,共10分)
1.方阵A的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。
(X)
见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,
几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n,后者小于等于n
2.设1,2丄,m是线
性无关的向量,则
dim(span{1,2丄,m})m
正确,线性无关的向量张成
一组基
3.如果Vl,V2是V的线性子空间,则VV2也是V的线性子空间•
错误,按照线性子空间的定义进行验证。
4.n阶-矩阵A)是可逆的充分必要条件是A()
的秩是n•
见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数
5.n阶实矩阵A是单纯矩阵的充分且必要条件是A的最小多项式没有重根.
见书90页。
题
1
2
3
4
5
二、填空题(每小题3分,共27分)
210
A021,
(6)003贝q
A
e的Jordan标准型为
e210
0e20,
00e3
首先写出
A
e然后对于若
当标准型要求非对角兀部
分为1.
301
002
(7)
030
的Smith
标准型为
100
030
00(3)
(2)
见书61-63页,将矩阵做
变换即得
(8)设
1
0
0
A
0.1
0.3
0.2
0
0.4
0.5
则
1
0
0
lim
An
0
0
0
n
0
0
0
见书109页,可将A对角
化再计算即得。
3
2
(9)
4
5
在基
11
12
0
000
00,
00,
1
3,21
下的坐标为(h1,2,1)见书12页,自然基下坐标
为(2,3,4,-5)T,再写出
过渡矩阵A,坐标即A的逆乘以自然基下坐标。
对于本题来说。
由于第一行实际上只和前两个基有关,第二行只和后两个基有关。
因此不用那么麻烦,只需要计算
(1,1)x+(1,2)y=(2,3)
就可得解为1,1.再解(1,
-3)x+(2,1)y=(4,-5)
就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。
(10)设
423
A243
537,则
IA15。
见书100页,计算每行的绝对值的和。
(11)
sin2x1cosx
limln(1x)e2x1
x0
sinx2x3
20
03
对矩阵中的每个元素求极
限。
12设
ARmn,BRpq,CRmq
是已知矩阵,则矩阵方程
AXB
C的极小
范数最小一乘解是
uuur
X(AIBt)+c
见书113-115页,将矩阵
方程拉直,再用广义逆的定义去算。
(12)若n阶方阵A满足
A0,则
cosAE2A。
见书121页,A30,所
以后面的项都为零。
(13)方阵A的特征多项
式是
(2)3(3)3(5),
最小多项式是
(2)2(3)(5),则
A的Jordan标准形是diag(J(2,1),J(2,2),3E3,5)
特征多项式决定了A的阶数以及各个特征值的重根数,即有3个2,3个3,1个5.最小多项式决定了若当块的大小,如2有1个1
阶和1个2阶,3和5都只有1阶的若当块三(7分)、设
121
B
200102
012,C225
202140
证明AXXBC有唯一一解。
见书114页,本题需要验
证A和-B没有相同的特征
值,具体解法如下。
AE3+E3Bt
证明:
非奇异。
显然,b的特征值为
2,1,2,下证明:
2,1,2不是A的特征值:
(1)方法1:
用圆盘定理
A的三个行圆盘分别是
B(12,4),B(7,2),B(8,1)
2,1,2都不在
B(12,4)B(7,2)B(8,1)
中,因此A与B没有相同
的特征值,从而0不是
AE3+E3B的的特征值,故AE3+E3B可逆,从而
AXXBC有唯一解。
(2)方法2:
求出A的特征多项式,再证明
2,1,2不是A的
特征值
方法3:
直接写出
AE3+E3B,再证明它非奇异。
四(8分)、设3维内积空间在基15厶3下的矩
阵
211
A150
103。
求
span{1+2+a}
的正交补空间。
见书28页,内积空间在基下的矩阵是指度量矩阵。
按照内积定义给出正交补空
间中元素应该满足的条件。
然后求解。
解:
设
=Xi1+X22+X33(span{1+2+3})
则(X"Xbx3)满足方
程
(Xi,X2,X3)A(1,1,1)0
2x1+6x2+2x3=0
它的基础解系为
1=(-3,1,0)T,2=(0,1,3)T
因此
五(10分)、设5阶实对称矩阵A满足
(A3E)2(A5E)30,
rank(A3E)1,求A
的谱半径和Frobenius范数AL。
注意A满足的方程说明那
个式子是零化多项式,并不是最小多项式,也不是特征多项式。
只说明A的特征根为3和-5,再根据后面的条件才知道有4个3和1个-5.然后根据范数定义得到结果。
解:
因为实对称矩阵A是5
阶矩阵,且满足
(A3E)2(A5E)30,
rank(A3E)1,因此
存在正交矩阵P,使得
PtAPdiag(3,3,3,3,5)
由于正交变换不改变矩阵
的Frobenius范数,因此
IAIf|diag(3,3,3,3,5)||f丁4925V61
六(10分)、求
5
0
2
1
4
5
5
1
3
3
0
5
1
2
7
见书184页,首先对矩阵满秩分解,再按广义逆的计算公式计算得到结果。
七(14分)、P3(t)的线性变换
232
T(a。
a,a?
t已3七)(a。
a?
)佝a3)t(a?
a°)t(a?
ajt
(1)求R(T),N仃)的基。
(2)求t的一个三维不变子空间。
见书34-37页,要求相空间及零空间的基即对线性变换在自然基下的矩阵做
初等行变换。
然后观察可得。
解:
(1)求T在下的矩阵。
解:
基1,t,t,t,因为
1
0A
1阵0
1
0
1
0
0
1
0
1。
T
(1)1t,T(t)tt,T(t2)1t2,T(t3)1t3
1010
0101A
1010
0101
1010
0101
0000
0000
23
因此1t,tt是R(T)的基,
3
1+t,t+t是N(T)的基。
(-3)取
Uspan{1t2,tt3,1+t2}
易见1t2,tt3,1+t2线性
无关,因此
Uspan{1t2,tt3,+t2}
是三维的,且
T(U)=R(T)U,因此U是
T的一个三维不变子空间。
八(14分)、已知
321
A141
123
(1)求A的Jordan标准
型。
(2)求InA.
本题为三阶矩阵,因此首先
计算A的特征多项式,发现特征根为2和6,然后判断最小多项式,即可得到若当标准型。
见书72-75页。
求lnA的方法见书127页。
或者126页,或者123页。
6
Ja
2
解:
2
f(A)
f(6)A
f
(2)Az
A4(a
4
2E)A
1(A
6E)
ln6
(A2E)
In2/
6E)
InA-
4
4(A