二次函数专题测试题及详细答案超经典.docx
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二次函数专题测试题及详细答案超经典
复习二次函数
、选择题：
是yx23x5，则有（）
A.b3，c7B.b9，c15
C.
b3，c3D.b9，c21
6.
抛物线yx22x3的对称轴是直线（）
7.
二次函数y（x1）22的最小值是（）
y=
10.
ax2bxc0的根
已知抛物线yax2bxc与x轴有两个交点，那么一元二次方程
的情况是
11.已知抛物线yax2xc与x轴交点的横坐标为1，则ac=
12.请你写出函数y（x1）2与yx21具有的一个共同性质：
.
13.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：
.
14.如图，抛物线的对称轴是x1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是（3,0），则A
三、解答题：
2
1.已知函数yx2bx1的图象经过点（3，2）.
（1）求这个函数的解析式；
（2）当x0时，求使y≥2的x的取值范围
2、如右图，抛物线yx25xn经过点A（1,0），与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.
4．（1999?
烟台）如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，
BC的解析式．
2
5．如图，抛物线y=x+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
1）求此抛物线的解析式；
2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：
S△ACD=5：
4的点P的坐标．
2
6．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．
2
1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；
2﹣2x+c的顶点A在直线l：
y=x﹣5上．
与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD
8、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售
时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.
1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销
售时间t（月）之间的函数关系式；
2）求截止到几月累积利润可达到30万元；
3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
A
A
D
D
D
B
D
二、填空题：
2
1.y（x1）222.有两个不相等的实数根3.1
4.
（1）图象都是抛物线；
（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）
128128128128
5.yxx3或yxx3或yxx1或yxx1
55557777
6.yx22x1等（只须a0，c0）
7.（23,0）
8.x3，1x5，1，4
三、解答题：
2
1.解：
（1）∵函数yx2bx1的图象经过点（3，2），∴93b12.解得b2.∴函数解析式为yx22x1.
（2）当x3时，y2.
根据图象知当x≥3时，y≥2.
∴当x0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.
2
2.解：
（1）由题意得15n0.∴n4.∴抛物线的解析式为yx25x4.
（2）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0,4）.
∴OA=1，OB=4.
在Rt△OAB中，ABOA2OB217，且点P在y轴正半轴上.
①当PB=PA时，PB17.∴OPPBOB174.此时点P的坐标为（0,174）.
②当PA=AB时，OP=OB=4此时点P的坐标为（0，4）.
3.解：
（1）设s与t的函数关系式为sat2btc，
a1,abc1.5,abc1.5,a2,由题意得4a2bc2,或4a2bc2,解得b2,∴s1t22t.
2
25a5bc2.5；c0.c0.
11
（2）把s=30代入st22t，得30t22t.解得t110，t26（舍去）
22
答：
截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
（3）把t7代入，得s1722710.5.
2
12把t8代入，得s822816.
2
1610.55.5.答：
第8个月获利润5.5万元.
4.解：
29
（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为yax2.
10
5552918
因为点A（,0）或B（,0）在抛物线上，所以0a·（）2，得a.
22210125
182955
因此所求函数解析式为yx2（≤x≤）.
1251022
（2）因为点D、E的纵坐标为9，所以9189，得x52.
2020125104
所以点D的坐标为（52,9），点E的坐标为（52,9）.
420420
所以DE2
（2）2.
442
因此卢浦大桥拱内实际桥长为5211000.012752385（米）.
2
5.解：
（1）∵AB=3，x1x2，∴x2x13.由根与系数的关系有x1x21.
∴x11，x22.∴OA=1，OB=2，x1·x2m2.
a
OCOC
∵tanBACtanABC1，∴1.
OAOB
∴OC=2.∴m2,a1.
∴此二次函数的解析式为yx2x2.
（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6.
解法一：
过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA.
∴在第一象限，抛物线上存在点P（3,4），使S△PAC=6.
解法二：
设AP与y轴交于点D（0,m）（m>0）∴直线AP的解析式为ymxm.
2
yxx2,
ymxm.
∴x2（m1）xm20.
∴xAxPm1，∴xPm2.
111
又S△PAC=S△ADC+S△PDC=CD·AOCD·xP=CD（AOxP）.
222
12
∴（m2）（1m2）6，m25m602
∴m6（舍去）或m1.
∴在第一象限，抛物线上存在点P（3,4），使S△PAC=6.
提高题
1.解：
（1）∵抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，
∴方程x2bxc0有两个相等的实数根，即b24c0.①又点A的坐标为（2，0），∴42bc0.②
由①②得b4，a4.
（2）由
（1）得抛物线的解析式为yx24x4.
当x0时，y4.∴点B的坐标为（0，4）.
在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得ABOA2OB225.
∴△OAB的周长为1425625.
2.解：
x2772
（1）S10（x）（43）xx26x7.
101010
64
（1）762
当x3时，S最大16.
2
（1）4
（1）
∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.
2）用于投资的资金是16313万元.
经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A、B、E各一股，投入资金为52613（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；
另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6（万元）.
2
3.解：
（1）设抛物线的解析式为yax2，桥拱最高点到水面CD的距离为h米，则D（5,h），B（10,h3）.
4.解：
25ah,a1,
∴解得25
100ah3.
h1.
12
∴抛物线的解析式为yx2.
25
（2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4（小时），货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车的速度提高到x千米/时，
当4x401280时，x60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时.
x270
（1）未出租的设备为套，所有未出租设备的支出为（2x540）元.
10
x2701
（2）y（40）x（2x540）x265x540.
1010
12
∴yx265x540.（说明：
此处不要写出x的取值范围）
10
3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为
350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.
因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.
（4）y1x265x5401（x325）211102.5.
1010
∴当x325时，y有最大值11102.5.但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套.即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.
2
16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：
（1）抛物线y2的顶点坐标（1，2）；
（2）阴影部分的面积S=2；
3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．
考点：
二次函数图象与几何变换．
考点：
待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．分析：
根据抛物线的解析式，易求得C点的坐标，即可得到OC的长；可分别在Rt△OBC和
Rt△OAC中，通过解直角三角形求出OB、OA的长，即可得到A、B的坐标，进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式．
解答：
解：
由题意得C（0，）在Rt△COB中，∵∠CBO=60°，∴OB=OC?
cot60°=1
∴B点的坐标是（1，0）；（1分）在Rt△COA中，∵∠CAO=45°，∴OA=OC=
∴A点坐标（，0）
由抛物线过A、B两点，
解得
∴抛物线解析式为y=x2﹣（）x+（4分）
设直线BC的解析式为y=mx+n，
得n=，m=﹣
∴直线BC解析式为y=﹣x+．（6分）
2
23．如图，抛物线y=x+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：
S△ACD=5：
4的点P的坐标．
考点：
二次函数综合题．
专题：
压轴题；动点型．
分析：
（1）先根据直线y=x﹣3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待
定系数的值．
（2）根据
（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标，由于△APC和△ACD同底，因此面积比等于高的比，即P点纵坐标的绝对值：
D点纵坐标的绝对值=5：
4．据此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标．
（2）抛物线的顶点D（1，﹣4），与x轴的另一个交点C（﹣1，0）．设P（a，a2﹣2a﹣3），则（×4×|a2﹣2a﹣3|）：
（×4×4）=5：
4．化简得|a2﹣2a﹣3|=5．
当a2﹣2a﹣3=5，得a=4或a=﹣2．
∴P（4，5）或P（﹣2，5），
当a2﹣2a﹣3<0时，即a2﹣2a+2=0，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（﹣2，5）．
2
27．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．
考点：
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
专题：
计算题．
分析：
（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA=OB确定出B坐标，将B坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积=梯形OBCD面积﹣三角形ACD面积﹣三角形AOB面积，求出即可．
解答：
解：
（1）由投影仪得：
A（﹣1，0），B（0，﹣1），将x=0，y=﹣1代入抛物线解析式得：
a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；
（2）过C作CD⊥x轴，
将C（﹣3，b）代入抛物线解析式得：
b=﹣4，即C（﹣3，﹣4），
则S△ABC=S梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△AOB=×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1=3．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线
2
l的解析式中求出点A的坐标，再将点A的坐标代入抛物线的解析式y=x﹣2x+c中，运用待定系数法即可求出c的值；
（2）先由抛物线的解析式得到点B的坐标，再求出AB、AD、BD三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD是直角三角形．
解答：
解：
（1）∵y=x﹣2x+c，
∴顶点A的横坐标为x=﹣=1，
又∵顶点A在直线y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，
∴点A的坐标为（1，﹣4）．
2
将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，
2
得﹣4=12﹣2×1+c，解得c=﹣3．
故抛物线顶点A的坐标为（1，﹣4），c的值为﹣3；
（2）△ABD是直角三角形．理由如下：
∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点B，∴B（0，﹣3）．
2当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴C（﹣1，0），D（3，0）．
222222222∵BD=OB+OD=18，AB=（4﹣3）+1=2，AD=（3﹣1）+4=20，222
∴BD+AB=AD，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．
分析：
直接应用二次函数的知识解决问题．解答：
解：
（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2分）
（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2；
（6分）
（3）由题意可得：
抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称．所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3的解析式为：
2
y=a（x+1）*2﹣2．由对称性得a=1，
所以y3=（x+1）2﹣2．（10分）
20．（1999?
烟台）如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．
解答：
解：
（1）直线y=x﹣3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，﹣3）．
则，
解得，
∴此抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3．
点评：
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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