概率统计练习册习题解答.docx
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概率统计练习册习题解答
苏州科技学院
《概率论与数理统计》
活页练习册习题解答
信息与计算科学系
概率论与数理统计教材编写组
2013年12月
习题1-1样本空间与随机事件
1•选择题
（1）设A,B,C为三个事件，则“A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（D）
（A）ABUACUBC（B）AUBUC（C）ABCUABCUABC（D）AUBUC
（2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3,并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工
作，事件系统的寿命超过t”可表示为（D）
AT2T3tBTJ2T3tCminT1，T2,T3tDmaxT,T>,T3t
2•用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A:
对目标进行射击，击中后便停止射击,
观察射击的次数；事件A表示射击次数不超过5次”
解.=簽2,3,；A=1,2,3,4,5。
3•设某工人连续生产了4个零件，Aj表示他生产的第i个零件是正品（i1,2,3,4），试用Aj表示下列
各事件:
（1）只有一个是次品;
A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4
A1A2A3A4
习题1-2随机事件的概率及计算
（1）已知AB，P（A）0.4，P（B）0.6，则
P（A）0.6,P（AB）
0.4,
P（AB）0，P（AB）
0.4。
（2）设事件A与B互不相容，
P（A）0.4,P（B）
0.3，贝UP（AB）=
0.3,
P（AUB）
2•选择题
（1）如果P（AB）0，则（C
）
（A）A与B互不相容
（B）
A与B互不相容
（C）P（AB）P（A）
（D）
P（AB）P（A）
P（B）
（2）两个事件A与B是对立事件的充要条件是（
C）
1•填空题
0.6。
（A）P（AB）P（A）P（B）（B）P（AB）0且P（AB）1
（C）AB且AB（D）AB
3.一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）5只全是好的的概率；
（2）5只中有两只坏的的概率；
（3）5只中至多有一只坏的概率。
P1
解：
（1）
C5
C37
C5
40=0.6624
C7C
（2）P2口0354
P3
（3）
C415
37C3C37
c4o
=0.963
P（B）
4.
（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率;
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率
Pr
解:
（1）设A“他们的生日都不相同”，则P（A）严
365r
（2）设B“至少有两个人的生日在同一个月”，则
c2c1p2C2C2C3P2C1
412114124门212
P（B）1P（B）
P：
41
12496
96，
124
习题1-3条件概率
1•选择题：
（1）设A,B为两个相互对立事件，且P（A）0,P（B）0，则（C）。
（A）P（BA）0（B）P（AB）P（A）（C）P（AB）0（D）P（AB）P（A）P（B）
（2）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p，第二道工序的废品率为q,则该零件
加工的成品率为（|C）
（A）1pq（B）1pq（C）1pqpq（D）（1p）（1q）
2•填空题：
（1）已知P（A）0.5,P（AB）0.6,若A、B互不相容，则P（B）_0.d；若A、B相互独立，
则P（B）
0.2
（2）一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为
80/81，该射手的命中率
3•为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A与B，每种报警系统都使用时，对系统A其有效的
概率是0.92，对系统B其有效的概率为0.93，在A失效的条件下，B有效的概率为0.85.求：
（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；
（2）B失灵的条件下，A有效的概率。
解：
设A“报警系统A有效”，B“报警系统B有效”
（1）P（AB）1P（AB）1P（A）P（BA）
10.080.150.988
（2）因为：
P（AB）P（A）P（B）P（AB）0.920.930.9880.862
4•玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,—顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.
试求：
（1）顾客买下该箱的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率
解设A“顾客买下该箱”，B“箱中恰有i件残次品”，i°,h2,
（1）
P（A）P（B0）P（A|B。
）P（B1）P（A|BJP（B2）P（A|B2）
0.80.1
0.1
Gt
C20
0.94
;
P（B0|A）
P（AB。
）
0.8
P（A）0.94
0.85
5.据数据显示，每1000名50岁的低风险男性中，有3名患有结肠癌•如果一名男性患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是50%如果一名男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐
血的可能性是3%如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少？
解设A=“50岁男性患有结肠癌”，B=“大便隐血检查呈隐血”
由题意，P（A）0.003，P（A）0.997，P（BA）0.50，P（BA）0.03
由贝叶斯公式（1.3.5），
习题2-1随机变量及其分布函数
1.判断下列函数能否为某随机变量的分布函数.（）
解：
Fl（X）是；F2（X）不是，因为F2（）01.
习题2-2离散型随机变量
1•填空题
（1）设随机变量X的分布律为：
PXk—,k1,2,,N，试确定a—1。
N
（2）一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X表示任意取出的产品
中的次品数，则X的分布为■B（5，0.1）。
（3）某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p，以X
k1
表示射击的次数，则X的分布律为_P（Xk）（1p）p,k1,2,._o
2.将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X表示放
球最多的盒子中球的个数，试求X的分布列及其分布函数F（x）.
P（X2）
解：
c3c：
2c；c：
2c、c；c：
28八c31
344cP（X3）3：
P（X4）3
33-327-327
?
?
■
3.设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，试问
（1）在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？
（2）在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？
解：
设一周内发生交通事故的次数为X，则X~P0.3o
PX2
（1）
0.320.3
e
2!
0.0333
o
P（X1）1P（X0）1
Of
0.3
1e
0.259
4•某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：
（
率；
（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。
解：
设中奖的彩票数为X，则X：
B（2000,0.001）.
（1）P（X1）1P（X0）1（0.999）20000.8648
（2）由于2000O.。
012，故
1）此人中奖的概
小0J
22
0!
1!
；严2
15e2
0.3233
习题2-3连续型随机变量
1.设连续型随机变量X的密度函数为
13
试求：
（1）常数a的值；
（2）随机变量X的分布函数；（3）P（X-
22
122a13
1f（x）dxaxdx（2x）dx——a-
解:
（1）由于0132.故2.
（2）当x0时，F（x）0；
F（x）Pt2dt丄x3
当0x1时，022
2时,
F（x）
1?
t2dt
02
x
1（2t）dt
2x
故,
当x2时，F（x）1
P（X
（3）22
13x2dx
122
（2
x）dx
13
16
2•设连续型随机变量X的分布函数为F（x）
A（1ex），x0
0，x0
试求：
（1）系数A；
（2）X的密度函数；（3）P（1X3）。
解：
（1）由F（
）1知，1xlimF（x）xlimA（1八A
f（x）F（x）
（3）P（1X3）F（3）F
（1）1e31e1e1e3
3.设K在（0,5）内服从均匀分布,求方程4X24KxK20有实根的概率。
解：
所求的概率为：
4.某种型号的电子管寿命X（以小时计）具有以下概率密度
f（x）
1000
x1000
其他
现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500
小时的概率是多少？
解:
P（X1500）10°0dx2
1500x23。
从而所求概率为
54
1C53C533135
5.设连续型随机变量X~N（3,4），
（1）求P2X5,PX2；
（2）确定常数C使
P（2X
5）
5
3
2
（1）
（0.5）
2
2
解:
（1）
（1）
1
0.5
0.5328
（2）由于PXC
P
Xc，从而，
PX
1
c一
2。
c3
。
所以，2
习题2-4二维随机变量及其分布
1.一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。
现从中随机抽取一件,
记
试求（X1，X2）的联合分布列。
解：
PX11,X210;
2.完成下列表格
0.1
0.1
0.2
0.4
0.2
0.2
0.2
0.6
0.3
0.3
0.4
1
3•设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为:
f（x,y）
xcxy,0x1,0y2
0其他
求：
（1）常数c;
（2）P{XY1}；（3）X和Y的边缘密度函数。
122
1xcxydydx
解:
（1）00
21
一C,C
33
PXY1
11x2
x
00
1
3xy
dy
dx
7
72
求X的边缘密度函数：
fXx
fx
y
dy
o
o
0或x1时，fxX0；
22122
xxx—xydy2x—x
当0x1时，033o
求Y的边缘密度函数:
fX，ydx。
当y0或y2时，fYy0；
当0y2时，Yy
121,11
x—xydx——y
0336
o
4.设（X,Y）服从G{（x,y）|0x2,0y1}上的均匀分布，求:
2
2
x21
4
PY
（2）
X
0
02dy
dx
3
o
（1）（X,Y）的联合概率密度函数；
（2）P{YX2}；（3）X和Y的边缘密度函数。
解：
（1）由（X,Y）服从G上的均匀分布知，（X,Y）的联合密度为：
（3）先求X的边缘密度:
fxx
fx,ydy
o
fx1丄dy丄
当x0或x2时，fxX0；当0x2时，X02y2
再求Y的边缘密度函数:
fx,ydx
当yo或y1时，fYy
0；当0y1时,
07dx
习题2-5条件分布及随机变量的独立性
1•设二维离散型随机变量（X,Y）只取（0,0）,（1,1）,（1,2）及（2,0）四对值，相应概率依次为
1115
，丄，，试判断随机变量X与Y是否相互独立。
126312
1
1
5
1
P（X
0）——,
PY0
解：
由于
12
12
12
2
PX0，丫01PX0PY01
而1224
所以，X与Y不独立。
试判定X与Y是否相互独立。
解:
fx（X）
f（X,y）dy
当x0或x1时，fx（x）0；当0x1时,
2x
fx（x）1dy2x
0
fY（y）
f（x,y）dx
当y0或y2时，fY（y）0；当0y1时,
fY（y）
11dx1y
yf22
由于当（x,y）{0x1,0y2x}时,
f（x,y）fx（x）fY（y）
且区域｛°x1，0y2x｝的面积不为o，所以，X与丫不相互独立•
4.设二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度函数为
2
cxy0x1,0y1f（x，y）0其他，
求常数c,并判断X与Y是否相互独立。
1
fx,ydxdy
112c
00cxydydx
fxx
fx,ydy
求X的边缘密度：
o
解：
当x0或x1时，fxx0；
当0x1时，fxx
06xy2dy
2x
。
求Y的边缘密度函数：
fyy
fx
ydx
。
0或y1时，fYy
当0y1时,
06xy2dx3y2
由于对任x,y,有fx,yfxXfYy。
所以，x与Y相互独立。
5•设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）内服从均匀分布，Y的概率密度为
1y/2
e
2
0,
fY（y）
（1）求X与Y的联合概率密度；
（2）设关于a的二次方程为
a22XaY0，求此方程有实根的
概率。
1,0x1;
解：
由X~U（0,1）知X的密度为：
fx（x）=0,其他.
由X与Y独立知，（x,Y）的一个联合密度为:
方程有实跟的概率为:
11乞
12（——e2dx
2
01x—e2dx）
1F（
（1）（0））10.4827厂。
习题2-6随机变量函数的分布
1.设随机变量X的分布列为
-2
-1
1/6
1/3
1/6
1/3
随
设
量
2
试求：
（1）Y2X1,⑵ZX的分布列。
机
解:
2.
变
U（0,1），试求YeX的密度函数。
1,0x1,
f（x）其他xX
解：
由X：
U©1）知其密度函数为0,其-设YeX，函数yg（x）*.则
min{g（）,g（）}0
5
max{g（）,g（）}
.所以，当y（0,）时，
11
fY（y）f（lny）-f（lny）7从而，当°lny1,即1ye时,
1
fY（y）-
y。
1
2
1
3•设连续型随机变量X的密度函数为f（x）-
4
0,
1x0,
0x2,试求YX2的密度函数fY（y）。
其他.
2
解：
先求丫的分布函数FY（y），在对其求导数.FY（y）P（Yy）P（Xy）
当y0时,
FY（y）0
当y1，即0y1时,
一_y
FyW）P（J?
x浙）_f（x）dx
，故fY（y）0；当y0时，门.
o1d"1d3厂3J
-2dx04dx4yfY（y）FY（y）3y2
y0，故，8；
FY（y）
4.设连续型随机变量X的密度函数为f（X）20x），
y23）
0x1
廿宀,求函数丫2X3的密度其匕
函数fY（y）。
解：
解法一：
Fy（y）P（Yy）P（2X3y）P（X
1
所以：
fY（y）FY（y）2（5y）3y5
0其他
1y31
代入公式:
2*（1——）3y5（5y）3y5
fY（y）222
0其他0其他
习题3-1数学期望
1•填空题
（1）设二维随机变量（X,Y）:
N（10,2,1,1,0），则
（2）设随机变量X:
P
（2），Y:
U（0,6），若Z2X
E（2XYY5）
3Y3，贝UE（Z）
2
X1）;（3）E（X）。
2.设X的分布列为:
-10
E（X）;
（2）E（
（1）E（X）
111111
（1）一一一1—2-—
3261243,
2
⑵E（X1）E（X）13
5
2
⑶E（X）
（1）21
3
（2）2612
221
12
35
24
。
32481
25664。
求
（1）EX,
（2）E|XEX|。
故E（X）
114428434
256256256
3•设连续型随机变量X的密度函数为
X,
0
X1
f（x）2
x,1
X2,
0,
其他
4•设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布列为
0
1
0
0.3
0.4
1
0.2
0.1
求:
（1）E（X）,E（Y）；
（2）E（X2Y）,E（3XY）。
解：
（1）
E（3X
2Y）
3E（X）2E（Y）12E（Y）
竹、E（X2Y）10.4
（2）0.2
（1）0.10.1
E（3XY）3E（XY）310.10.3。
5.设（X,Y）服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线xy10所围成的区域，求
（1）
E（X）;
（2）E（3X2Y）;（3）E（XY）。
解：
由题意知（X,Y）的联合密度为：
00
（1）E（X）
xf（x,y）dxdy1（x12xdy）dx
001
12/宀乂刖-
（3）
E（XY）
001
xyf（x,y）dxdy=1（1xxyg2dy）dx_石
习题3-2方差
1.填空题
（1）设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1~U（0,6）,X2~N（0,4），X3服从参数为3的泊
松分布，记YX12X23X3，则D（Y）46。
（2）已知X~U（2,2），Y2X21,则E（Y）___1^3，D（Y）_256/45。
（3）设二维随机变量（X,Y）:
N（1,2,1,1,0），则D（2XY5）__5，Z2XY分布为N（5,5）
2.设连续型随机变量X的分布函数为
0,
21
F（x）—arctanx,1x1,
2
1,x1
求
（1）X的密度函数；
（2）E（X）,D（X）。
f（x）
（1）由f（x）
F（x）知
21
1x2
0
1x1
其他
（2）E（X）
xf（x）dx
x
2dx
1x
2
0E（X）
5
2
x2f（x）dx
x2
dx
试求
1•由
1
Y：
b（8,2），故E（Y）
4D（Y）
5
2
2.所以,
224
D（X）E（X）（E（X））1
o
1
3•设随机变量X:
P（）且E[（X1）（X2）]1，随机变量Y:
B（8-）且X与丫相互独立,2
E（X3Y4）及D（X3Y4）。
解：
由X：
P（）知E（X），D（X）.所以，E（X2）D（X）（E（X））2
1E[（X1）（X2）]E（X2）3E（X）2222，故1.所以E（X）1，D（X）
E（X3丫4）E（X）3E（Y）415
由于X与Y相互独立，故D（X3Y4）D（X）9D（Y）19。
2
「12y,0yx1
4•设（X,Y）的概率密度为f（x,y）试求D（X）及D（Y）。
0,其匕
解E（X）
xf（x,y）dxdy
1x2
0（0xgl2ydy）dx
2
E（X）
2
xf（x,y）dxdy
1x222
0（0xg!
2ydy）dx-
D（X）
22
E（X）（E（X））
2
75
E（Y）
1x23
yfZdxdy0（0河2ydy）dx5
2
E（Y）
2
yf（x,y）dxdy
1x222
0（0yg2ydy）dx-
222321
D（Y）E（Y）（E（Y））5（5）25。
习题3-3协方差与相关系数
习题3-4
其他特征数
1•填空题
（1）设随机变量X:
P
（2），Y:
U（0,6）且XY
；，若Z2X3丫
3，则D（Z）
23
（2）设（X,Y）服从二维正态分布，则cov（XY）
是X与Y相互独立的
充要
条件。
（3）设（X,Y）服从二元正态分布N（0,1,1,4,0.5），
则E（2X2XY3）
2.选择题
（1）设X与丫的相关系数
XY0
，则必有
（A）X与丫相互独立;
（B）
X与丫不一定相关;
（C）X与Y必不相关;
（D）
X与Y必相关
（2）设随机变量X与Y的期望和方差存在，且D（XY）DXDY,，则下列说法哪个是不正确的
（A）D（XY）DXDY；（B）
E（XY）EXEY；
（C）X与Y不相关;
（D）
X与Y独立
3.已知二维离散型随机变量（X,Y）的概率分布为
Y
X
1
0
1
1
1/8
1/8
1/8
0
1/8
0
1/8
1
1/8
1/8
1/8
（1）求协方差cov（X,Y）及相关系数xy；
（2）
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