线性规划的常见题型及其解法.docx

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线性规划的常见题型及其解法

课题

线性规划的常见题型及其解法答案

线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．

归纳起来常见的命题探究角度有：

1．求线性目标函数的最值．

2．求非线性目标函数的最值．

3．求线性规划中的参数．

4．线性规划的实际应用．

本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．

【母题一】已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的取值范围为（　　）

A．[7，23]B．[8，23]

C．[7，8]D．[7，25]

求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：

y＝－x＋，通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值．

【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由目标函数z＝2x＋3y得y＝－x＋，平移直线y＝－x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B（2,1），zmin＝2×2＋3×1＝7，在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A（4,5），zmax＝2×4＋3×5＝23．

【答案】A

【母题二】变量x，y满足

（1）设z＝，求z的最小值；

（2）设z＝x2＋y2，求z的取值范围；

（3）设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．

点（x，y）在不等式组表示的平面区域内，＝·表示点（x，y）和连线的斜率；x2＋y2表示点（x，y）和原点距离的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝（x＋3）2＋（y－2）2表示点（x，y）和点（－3,2）的距离的平方．

【解析】

（1）由约束条件作出（x，y）的可行域如图所示．

由解得A．

由解得C（1,1）．

由解得B（5,2）．

∵z＝＝×

∴z的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin＝×＝．

（2）z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．

结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，

dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝．

∴2≤z≤29．

（3）z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝（x＋3）2＋（y－2）2的几何意义是：

可行域上的点到点（－3,2）的距离的平方．

结合图形可知，可行域上的点到（－3,2）的距离中，

dmin＝1－（－3）＝4，

dmax＝＝8

∴16≤z≤64．

1．求目标函数的最值的一般步骤为：

一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．

2．常见的目标函数有：

（1）截距型：

形如z＝ax＋by．

求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：

y＝－x＋，通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值．

（2）距离型：

形一：

如z＝，z＝，此类目标函数常转化为点（x,y）与定点的距离；

形二：

z＝（x－a）2＋（y－b）2，z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F，此类目标函数常转化为点（x,y）与定点的距离的平方．

（3）斜率型：

形如z＝，z＝，z＝，z＝，此类目标函数常转化为点（x,y）与定点所在直线的斜率．

【提醒】　注意转化的等价性及几何意义．

角度一：

求线性目标函数的最值

1．（2014·新课标全国Ⅱ卷）设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为（　　）

A．10B．8

C．3D．2

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，

由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A（5,2）时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8．

【答案】B

2．（2015·高考xx卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为（　　）

A．3B．4

C．18D．40

【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示，当目标函数经过点（0,3）时，z取得最大值18．

【答案】C

3．（2013·高考xx卷）若点（x，y）位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为（　　）

A．－6B．－2

C．0D．2

【解析】如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，

令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点（－2,2）时，z取得最小值，此时z＝2×（－2）－2＝－6．

【答案】A

角度二：

求非线性目标的最值

4．（2013·高考xx卷）在平面直角坐标系xOyxx，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（　　）

A．2B．1

C．－D．－

【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，

显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A（3，－1），故OM斜率的最小值为－．

【解析】C

5．已知实数x，y满足则z＝的取值范围．

【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，

目标函数z＝＝2＋的取值范围可转化为点（x，y）与（1，－1）所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为（，1），则点（1，－1）与（，1）所在直线的斜率为2＋2，点（0,0）与（1，－1）所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为（－∞，1]∪[2＋4，＋∞）．

【答案】（－∞，1]∪[2＋4，＋∞）

6．（2015·xx质检）设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是（　　）

A．[1，2]B．[1，4]

C．[，2]D．[2，4]

【解析】如图所示，

不等式组表示的平面区域是△ABC的内部（含边界），x2＋y2表示的是此区域内的点（x，y）到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．

【答案】B

7．（2013·高考xx卷）设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点（1,0）之间的距离的最小值为________．

【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，

则根据图形可知，点B（1,0）到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝，故最小距离为．

【答案】

8．设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于（　　）

A．B．4

C．D．2

【解析】不等式组，所表示的平面区域如图所示，

解方程组，得．点A（1,1）到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2，则|AB|的最小值为4．

【答案】B

角度三：

求线性规划中的参数

9．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是（　　）

A．B．

C．D．

【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx＋过定点．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．因为A（1,1），B（0,4），所以AB中点D．当y＝kx＋过点时，＝＋，所以k＝．

【解析】A

10．（2014·高考xx卷）若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为（　　）

A．2B．－2

C．D．－

【解析】D　作出线性约束条件的可行域．

当k＞0时，如图①所示，此时可行域为y轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．

当k＜－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．

当－1＜k＜0时，如图②所示，此时可行域为点A（2,0），B，C（0,2）所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B时，有最小值，即－＝－4⇒k＝－．

【答案】D

11．（2014·高考xx卷）x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）

A．或－1B．2或

C．2或1D．2或－1

【解析】法一：

由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A（0,2），B（2,0），C（－2，－2），则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB＞zC或zA＝zC＞zB或zB＝zC＞zA，解得a＝－1或a＝2．

法二：

目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：

y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2．

【答案】D

12．在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的取值范围是（　　）

A．[6，15]B．[7，15]

C．[6，8]D．[7，8]

【解析】　由得，则交点为B（4－s,2s－4），y＋2x＝4与x轴的交点为A（2,0），与y轴的交点为C′（0,4），x＋y＝s与y轴的交点为C（0，s）．作出当s＝3和s＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图

（1）

（2）中阴影部分所示．

（1）

（2）

当3≤s＜4时，可行域是四边形OABC及其内部，此时，7≤zmax＜8；

当4≤s≤5时，可行域是△OAC′及其内部，此时，zmax＝8．

综上所述，可得目标函数z＝3x＋2y的最大值的取值范围是[7，8]．

【答案】D

13．（2015·通化一模）设x，y满足约束条件若z＝的最小值为，则a的值为________．

【解析】∵＝1＋，而表示过点（x，y）与（－1，－1）连线的斜率，xxa＞0，

∴可作出可行域，由题意知的最小值是，即min＝＝＝⇒a＝1．

【答案】1

角度四：

线性规划的实际应用

14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．

【解析】　设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z＝300x＋400y．

画出可行域，如图中阴影部分（包含边界）内的整点，显然z＝300x＋400y在点A处取得最大值，由方程组解得则zmax＝300×3＋400×2＝1700．故最大利润是1700元．

【答案】1700

15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．

（1）试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w（元）；

（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

【解析】

（1）依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3（100－x－y）＝2x＋3y＋300．

（2）约束条件为整理得

目标函数为w＝2x＋3y＋300．

作出可行域．如图所示：

初始直线l0：

2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．由得

最优解为A（50,50），所以wmax＝550元．

所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．

一、选择题

1．已知点（－3，－1）和点（4，－6）在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为（　　）

A．（－24,7）B．（－7,24）

C．（－∞，－7）∪（24，＋∞）D．（－∞，－24）∪（7，＋∞）

【解析】根据题意知（－9＋2－a）·（12＋12－a）＜0．即（a＋7）（a－24）＜0，解得－7＜a＜24．

【答案】B

2．（2015·xx检测）若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是（　　）

A．－3B．0

C．D．3

【解析】作出不等式组表示的可行域（如图所示的△ABC的边界及内部）．

平移直线z＝x－y，xx当直线z＝x－y经过点C（0,3）时，目标函数z＝x－y取得最小值，即zmin＝－3．

【答案】A

3．（2015·xx质检）已知O为坐标原点，A（1,2），点P的坐标（x，y）满足约束条件则z＝·的最大值为（　　）

A．－2B．－1

C．1D．2

【解析】如图作可行域，z＝·＝x＋2y，显然在B（0,1）处zmax＝2．

【答案】D

4．已知实数x，y满足：

则z＝2x－2y－1的取值范围是（　　）

A．B．[0，5]

C．D．

【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：

2x－2y－1＝0，平移l可知2×－2×－1≤z<2×2－2×（－1）－1，即z的取值范围是．

【答案】D

5．如果点（1，b）在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为（　　）

A．2B．1

C．3D．0

【解析】由题意知（6－8b＋1）（3－4b＋5）＜0，即（b－2）＜0，∴＜b＜2，∴b应取的整数为1．

【答案】B

6．（2014·xx模拟）已知正三角形ABC的顶点A（1,1），B（1,3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是（　　）

A．（1－，2）B．（0，2）

C．（－1，2）D．（0，1＋）

【解析】如图，根据题意得C（1＋，2）．

作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B（1,3）和C（1＋，2）时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－（1＋）＋2

【答案】A

7．（2014·xx二诊）在平面直角坐标系xOyxx，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为（　　）

A．2B．

C．D．1

【解析】作出可行域如图所示，当点P位于的交点（1,1）时，（kOP）max＝1．

【答案】D

8．在平面直角坐标系xOyxx，已知平面区域A＝{（x，y）|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{（x＋y，x－y）|（x，y）∈A}的面积为（　　）

A．2B．1

C．D．

【解析】不等式所表示的可行域如图所示，

设a＝x＋y，b＝x－y，则此两目标函数的范围分别为a＝x＋y∈[0,1]，b＝x－y∈[－1,1]，又a＋b＝2x∈[0,2]，a－b＝2y∈[0,2]，∴点坐标（x＋y，x－y），即点（a，b）满足约束条件作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S＝×2×1＝1．

【答案】B

9．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则ab的取值范围是（　　）

A．（0，4）B．（0，4]

C．[4，＋∞）D．（4，＋∞）

【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by（a>0，b>0）过点A（1,1）时取最大值，∴a＋b＝4，ab≤2＝4，∵a＞0，b＞0，∴ab∈（0，4]．

【答案】B

10．设动点P（x，y）在区域Ω：

上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为（　　）

A．πB．2π

C．3πD．4π

【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，

则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×2＝4π．

【答案】D

11．（2015·xx三校联考）变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（　　）

A．{－3,0}B．{3,－1}

C．{0,1}D．{－3,0,1}

【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．

xx直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，∴a＝－1或a＝3．

【答案】B

12．（2014·新课标全国Ⅰ卷）设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝（　　）

A．－5B．3

C．－5或3D．5或－3

【解析】法一：

联立方程解得代入x＋ay＝7xx，解得a＝3或－5，当a＝－5时，z＝x＋ay的最大值是7；当a＝3时，z＝x＋ay的最小值是7．

法二：

先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．

当a＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图

（1）（阴影部分）．

图

（1）图

（2）

由得交点A（－3，－2），则目标函数z＝x－5y过A点时取得最大值．zmax＝－3－5×（－2）＝7，不满足题意，排除A，C选项．

当a＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图

（2）（阴影部分）．

由得交点B（1,2），则目标函数z＝x＋3y过B点时取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．

【答案】B

13．若a≥0，b≥0，且当时，xx有ax＋by≤1，则由点P（a，b）所确定的平面区域的面积是（　　）

A．B．

C．1D．

【解析】因为ax＋by≤1xx成立，则当x＝0时，by≤1xx成立，可得y≤（b≠0）xx成立，所以0≤b≤1；同理0≤a≤1．所以由点P（a，b）所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．

【答案】C

14．（2013·高考xx卷）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0－2y0＝2．求得m的取值范围是（　　）

A．B．

C．D．

【解析】当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P（x0，y0）满足x0－2y0＝2，因此m＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．

要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点（－m，m）在直线y＝x－1的下方即可，即m＜－m－1，解得m＜－．

【答案】C

15．设不等式组表示的平面区域为D．若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是　（　　）

A．（1，3]B．[2，3]

C．（1，2]D．[3，＋∞）

【解析】平面区域D如图所示．

要使指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，所以1＜a≤3．

【解析】A

16．（2014·高考xx卷）已知圆C：

（x－a）2＋（y－b）2＝1，平面区域Ω：

若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为（　　）

A．5B．29

C．37D．49

【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1．显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点（6,1）处时，amax＝6．∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37．

【解析】C

17．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（1，＋∞）

C．（－1，1）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

【解析】已知直线y＝k（x－1）－1过定点（1，－1），画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．

当直线y＝k（x－1）－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y＝k（x－1）－1的斜率的范围为（－∞，－1），即实数k的取值范围是（－∞，－1）．当直线y＝k（x－1）－1与y＝x平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k＞1时，也可形成三角形，综上可知k＜－1或k＞1．

【答案】D

18．（2016·xx中学期中）已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最大值为（　　）

A．4B．6

C．8D．10

【解析】区域如图所示，目标函数z＝2x＋y在点A（3,2）处取得最大值，最大值为8．

【答案】C

19．（2016·xx中学期末）当变量x，y满足约束条件时，z＝x－3y的最大值为8，则实数m的值是（　　）

A．－4B．－3

C．－2D．－1

【解析】画出可行域如图所示，目标函数z＝x－3y变形为y＝－，当直线过点C时，z取到最大值，

又C（m，m），所以8＝m－3m，解得m＝－4．

【答案】A

20．（2016·xx质检）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于（　　）

A．B．

C．D．

【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，

观察图形可知当A为（1,2），B为（2,1）时，tan∠AOB取得最大值，此时由于tanα＝kBO＝，tanβ＝kAO＝2，故tan∠AOB＝tan（β－α）＝＝＝．

【解析】C

二、填空题

21．（2014·高考xx卷）不等式组表示的平面区域的面积为________．

【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×（2＋2）＝4．

【答案】4

22．（2014·高考xx卷）若实数x，y满足则x＋y的取值范围是________．

【解析】作出可行域，如图，作直线x＋y＝0，向右上平移，过点B时，x＋y取得最小值，过点A时取得最大值．

由B（1,0），A（2,1）得（x＋y）min＝1，（x＋y）max＝3．所以1≤x＋y≤3．

【答案】[1,3]

23．（2015·xx一诊）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为____．

【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，

∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A（2,2）时，z取得最大值，即zmax＝3×2－2＝4．

【答案】4

24．已知实数x，y满足则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________．

【解析】目标函数w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝（x－2）2＋（y－2）2，其几何意义是点（2,2）与可行域内的点的距离的平方．由实数x，y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，

由图可知，点（2,2）到直线x＋y－1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又＝，所以wmin＝．

【答案】

25．在平面直角坐标系xOyxx，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．

【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，∴|OM|min＝＝．

【答案】

26．（2016·xx二模）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．

【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，

由题意知利润z＝5x＋3y，作出可行域如图中阴影部分所示，

求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．

【答案】27

27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩

年种植成本/亩

每吨售价

黄瓜

4吨

1.2万元

0.55万元

韭菜

6吨

0.9万元

0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，则黄瓜的种植面积应为________亩．

【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝（0.55×4x－1.2x）＋（0.3×6y－0.9y）＝x＋0.9y．线性约束条件为即

画出可行域，如图所示．作出直线l0：

x＋0．9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，

由解得A（30,20