13建模作业优化问题.docx
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13建模作业优化问题
《数学建模》课程作业题－13
第五章优化模型-优化问题
1、已知某工厂计划生产Ｉ，II,III三种产品，各产品需要在A,B,C设备上加工，有关数据如下：
产品
设备
I
II
III
设备有效台数（每月）
A
8
２
１０
300
Ｂ
1０
5
8
4０0
C
2
１3
10
4２0
单位产品利润（千元）
3
2
２、9
试问：
（１）如何发挥生产能力，使生产盈利最大？
模型得建立及求解:
设生产I，II,III产品ｘ1，x２,ｘ3件ｚ为所获得得利润。
于就是数学模型如下：
利用matlａb求解（附录一）得到最优值Ｚ =1３5、2667（千元），
生产方案如下表.
产品
Ｉ
IＩ
IＩI
数量
２3
２3
7
生产I,ＩI，III产品分别为2３，23,7利润最大为125、2667千元.
（2）若为了增加产量，可租用别得工厂设备B,每月可租用60台,租金1、8万元,租用B设备就是否划算？
模型得建立及求解：
租用别得工厂设备B以后模型为:
利用ｍaｔｌab求解（附录二）得到最优值Z=129（千元）,
生产方案如下表。
产品
I
II
ＩII
数量
３1
2８
０
生产I，II，III产品分别为31,28,0利润最大为129千元.
（3）若另有俩种新产品Ⅳ、Ⅴ，其中新产品Ⅳ需用设备Ａ为12台时，B为5台时,C为10台时,单位产品盈利2、1千元;新产品Ⅴ需用设备A为4台时，B为4台时，Ｃ为１2台时，单位产品盈利1、87千元，如A,Ｂ，C得设备台时不增加,这两种新产品投产在经济上就是否划算？
模型得建立及求解:
添加两个新产品Ⅳ、Ⅴ后,Ⅳ、Ⅴ对应得产品数分别为ｘ4,x5,建立模型如下:
利用maｔlab求解（附录三）得到最优值Z =136、96２5（千元），生产方案如下表.
产品
Ｉ
II
III
Ⅳ
Ⅴ
数量
27
１6
0
0
14
生产I,II，III,Ⅳ，Ⅴ产品分别为27,16，0，0，14利润最大为136、962５千元。
（4）对产品工艺重新进行设计，改进结构、改进后生产每件产品I需用设备A为9台时，设备B为１2台时，设备C为４台时，单位盈利4、5千元,这时对原计划有何影响？
模型得建立及求解:
改进结构后,建立得模型如下：
利用matlaｂ求解（附录四）得到最优值Z=１53、１618（千元）,
生产方案如下表.
产品
Ｉ
II
IIＩ
数量
２3
2５
0
生产I,IＩ，III产品分别为23，２５，０利润最大为153、1618千元。
２、有一个大型得冶金矿山公司，共有１4个出矿点,已知其年产量及各矿点矿石得平均品位（含铁量得百分比）如下表所示:
各矿点信息
矿点号
出矿量（万吨）
平均铁品位（％）
矿点号
出矿量（万吨）
平均铁品位（%）
1
７0
37、16
8
1５、4
4８、34
2
７
5１、25
9
2、７
49、０8
3
１7
40、0０
10
7、6
４0、22
4
23
４7、00
11
13、5
52、71
5
３
42、０0
１2
2、7
5６、９２
6
９、5
４9、96
１3
１、2
４0、72
7
１
５1、41
１4
7、2
50、20
按照炼铁生产要求,在矿石产出后，需按要求指定得品位值T进行不同品位矿石得混合配料,然后进入烧结工序、最后,将小球状得烧结球团矿送入高炉进行高温炼铁,生产出生铁、该企业要求：
将这１４个出矿点得矿石进行混合配矿、依据生产设备及生产工艺要求，混合矿石得平均品位T规定为４5%、问：
应如何配矿才能获得最佳效益？
模型得建立及求解：
设从第一矿点到第十四个矿点，每个矿点得配矿量分别为万吨（i表示矿点数），每个矿点铁得平均品味为。
由题目给点条件，可得如下线性规划模型:
（1）
将
（1）展开
约束条件为混矿后得平均品味限制与各矿点得含矿量限制：
（２）
将（２）展开
简化得：
得到最终模型：
Ｓ、Ｔ
利用ｍａtlab求解（附录五）得到最佳效益Mａx=6３、８９91,具体分配方案见下表。
矿点
1
2
3
4
5
６
7
8
9
１0
1１
1２
13
14
产量
31
７
17
2３
3
９、5
１
15、4
2、７
7、6
1３、５
２、7
1、２
７、２
3、 三个家具商店购买办公桌：
Ａ需要30张，B需要50张,Ｃ需要45张、这些办公桌由两个工厂供应：
工厂1生产70张,工厂2生产80张、下表给出了工厂与商店得距离（单位公里），假设每张每公里运费0、5元、寻求一个运送方案使运费最少？
工厂与商店得距离
工厂
家具店
A
B
C
１
１0
5
３0
2
7
2０
5
模型得建立及求解：
设工厂1运给Ax1a张，给Ｂｘ1b，给Ｃｘ１c张。
工厂2运给Aｘ２a张，给Bx２b，给Ｃx2c张，ｚ表示最小费用。
利用matlａb求解（附录六）得到ABC分别在工厂1与工厂2得购买张数,如下表：
工厂
家具店
A
B
C
1
0
50
0
2
３０
0
45
最优方案为：
工厂一运给A店铺0张,给B店铺５０张,给C店铺0张。
工厂二运给Ａ店铺30张，给B店铺0张，给C店铺４5张。
总运费为342、5元
4、某车间有一批长度为１80公分得钢管（数量充分多）,今为制造零件，要将其截成三种不同长度得管料，7０公分，52公分,3５公分、生产任务规定，这三种料得需要量分别不少于100根,１50根，100根、所有截法如下表所示、我们知道,截钢管时不免要产生“边角料”，从节约原料得观点来考虑,应该采取怎样得截法,才能在完成任务得前提下，使总得边角料达到最小限度?
所有可能得截法
截法
（1）
（2）
（３）
（4）
（５）
（６）
（7）
（8）
需要量
长度
7
0
5２
３5
１
0
1
3
0
2
３
5
１00
边料（cm）
5
6
２3
5
24
6
23
５
模型得建立及求解：
设表示第i种方法截得数量，,Z表示剩余边料得总与,为了节约材料，Ｚ越小越好，而且还得满足各个长度得数量要求。
建立模型如下:
利用ｍａｔlaｂ求解（附录七）得到剩余边料最小值为6０0cｍ,
具体截取方案如下表。
方案
１
2
3
4
5
6
7
８
数量（根）
5
5、某人有一笔5０万元得资金可用于长期投资,可供选择得投资机会包括购买国库券、公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等、不同得投资方式得具体参数如下表所示、投资者希望投资组合得平均年限不超过5年,平均得期望收益率不低于13%,风险系数不超过４,收益得增长潜力不低于10％、问在满足上述要求得前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？
投资参数
序号
投资方式（）
投资期限（年）
年收益率%
风险系数
增长潜力%
１
国库券
3
11
1
0
２
公司债券
１0
1５
3
1５
3
房地产
6
25
8
３０
4
股票
２
20
6
20
5
短期存款
1
１0
1
5
６
长期储蓄
５
1２
２
１０
７
现金存款
0
3
0
0
模型得建立及求解:
设国库券、公司债券、房地产、股票、短期存款、长期储蓄、现金存款分别存，Ｚ表示平均年收益，由题意可建立模型如下:
利用matlab求解（附录八）得到最优年收益为17%，投资方案如下表格。
存款方案
国库券
公司债券
房地产
股票
短期存款
长期储蓄
现金存款
存款额（万）
26、578
2、7９07
20、６３1２
0
0
0
0
6、设有M=４00万元资金，要求4年内使用完,若在一年内使用资金万元,则可获得效益万元，效益不能再使用，当年不用得资金可存入银行，年利率为=1０％，试制定出这笔资金得使用方案,使4年得经济效益总与最大、
模型得建立及求解：
设前四年使用得资金分别为万元,总得经济效益为Ｚ，第一年使用了万元，则可剩余４0０-万元，则第一年末得时候得到得效益为万元，第二年可使用得资金为，第二年末得到经济效益为，第三年可使用得资金为万元,第三年末经济效益为,第四年可使用得资金为万元，第四年末总效益为因此可以建立模型如下:
利用matlab求解（附录九）得到四年可获得最大效益为Z=43、08５8万元,
投资方案如下表所示.
年份
第一年投资额
第二年投资额
第三年投资额
第四年投资额
投资额（万元）
86、３０27
1０3、7161
1２7、08７０
1５２、2３90
7、某个中型得百货商场要求售货人员每周工作５天,连续休息2天,工资200元/周,已知对售货人员得需求经过统计分析如下表所示，问如何安排可使配备销售人员得总费用最少？
销售人员调查表
星期
一
二
三
四
五
六
日
所需售货员人数
18
2
开始休息得人数
模型得建立及求解：
设星期一到星期天每天休息得人数分别为由于要求售货人员每周工作５天，连续休息2天,工资20０元／周,则可建立如下模型:
利用matlａb求解（附录十）得到最少费用为464０0元,
每天安排休息得人数如下表。
星期
一
二
三
四
五
六
日
所需售货员人数
18
2
开始休息得人数
0
0
０
0
1３
５
14
8、某工厂生产甲、乙两种产品，已知有关数据见下表。
工厂在做决策时，要考虑如下得问题:
（１）根据市场信息,产品甲得需求有所上升，故产品甲得产量大于乙得2倍；
（２）超过计划供应得原材料时，需高价采购，这就增加成本；
（3）不要使设备超负荷运行；
（4）应尽可能达到并超过计划利润指标48;
试问问如何安排生产？
给出数学模型与计算结果。
生产数据
甲
乙
拥有量
原材料
5
10
60
设备
4
4
36
利润
6
8
模型得建立及求解：
设生产甲产品为,生产乙产品为,获得利润为Z。
根据问题一，应有；根据问题二,可知;根据问题三可知；根据问题四，要尽可能实现利润最大化。
由此可建立如下模型：
利用matlａｂ求解（附录十一）得到最大利润Z=400，
生产甲乙产品得数量如下表。
生产类别
甲产品
乙产品
数量
40、0００0
２０、00０0
附录一：
%zs１３_1_1、m
c＝［—3，－２，－２、９］；
a=［8，2，１０;１0,5，8;2,１3，1０］;
ｂ=［300,４00,4２0]；
vlb＝[0,0，0］;
vuｂ=［];
[x,ｚ］=lｉnｐrog（c,a，b，［］，［］,ｖlb，vｕb）；
xi=ｒｏuｎｄ（[x']）
Z=-z
附录二：
%ｚs13_1_2、m
ｃ=［－3，—2，—2、9］;
a＝[８,２，10;１0,5，8；2，13，１0]；
ｂ=［300，460，420]；
vlb＝[０，０，0］；
vub=［]；
[ｘ,z］=linpｒog（c，a，b，［]，[］,vlb,ｖub）；
xi＝rouｎd（［x’]）
Z＝-z—18
附录三:
%zｓ13_1_３、m
ｃ=[—3,-2，-2、9,—2、1，-１、8７］;
a=[８,2,10,1２，4;10，５,8,5,4；2，13,10，10,12]；
b=[3００,400，420］；
vlb＝[0，0，0，0，0］；
ｖuｂ=[］；
[ｘ,z］＝ｌiｎpｒoｇ（c，a，b，[]，［]，vlb，vｕb）；
ｘi=round（［x’]）
Z=—ｚ
附录四:
％zs１３_1＿4、m
ｃ=[－４、5，-2，-２、9］;
ａ=[9,2,１0；12，５,8；4,13,10]；
ｂ=［３00，40０，420];
vlb=［0，0,0]；
vｕb=［］；
［ｘ,z］＝linpｒoｇ（c，a，ｂ,[］,［],vlｂ，ｖuｂ）;
xi=roｕnd（[ｘ＇]）
Z=—z
附录五:
％zs13_2、ｍ
ｃ＝[—０、3716-0、512５ —0、4－0、4７ －0、42－0、4996 —０、5141—0、4838 —０、４90８ —0、4０22-０、5271-０、5６９２－０、40７2 -０、5020］；
a=［0、０78４，—0、0６25，0、05，－0、0２，0、０３,—0、０496,-0、０64１,-0、0３３8,－0、０４0８,0、０478,—0、0７７1,－0、1１92,０、０428,-0、0５2];
b＝0；
vlb＝[０;0；0；0；0；０；0；0；0；0;0；0；0;0］；
vub=[70;7；17；23；3;9、5;1;1５、４;2、7；7、６；13、5；2、7；1、2;7、2;]；
[ｘ,z]=lｉｎｐrog（c，a，b，［］，［］，vlb,vub）；
ｄisp（'取最优值对应得各个矿点得产值＇）
xi＝［ｘ＇］
diｓp（’最优值’）
Z=-ｚ
附录六:
%zs13_3、m
c=[105３0７105］；
ａ＝[1１ 1０ 00；00011１］；
b＝[7０８0]；
aeq=[1 001 00； 01０01０；0０1 0０１］；
ｂｅq=［３0５０45]；
vlb=[０00０00];
ｖub＝[3０ 50 45３05０45]；
[x，z］=ｌinproｇ（c,a，b,aeq,beq，vlb，vub）；
xi=round（［x’］）
Ｚ=０、5＊ｚ
附录七：
％zｓ13_４、m
c＝[５,6，２3,5,２4，6,２３，５］；
a=[-2,—1,-1，—１,0，0，0,0;０,—2，—1,０，-3,—2，—1，0；—1,0，-1,-3，0，—２,—3,—5];
b＝[—10０，—150，—10０];
vlb=[０;0;０；０;０;0；0；0］;
ｖub＝［]；
［ｘ,ｚ］=ｌinpｒoｇ（c,ａ，b,［]，［]，vｌb,vub）；
ｄｉsｐ（’取最优值所对应各个方案截得数量’）
ｘi＝[ｒoｕnd（x）’]
disp（’最优值＇）
z
附录八:
%zs13＿5、m
c=［１1，15,２５,２0，１0，12，3］、/（-５0）;
ａ=（1／50）、＊[３106２ １５0;１ 38６ 120；0－1５—30—２0－5－10 0］;
b=[５4 -10］；
aeq=［1１ 1 1１11]；
ｂeq＝[50]；
ｖlｂ=［0；０；0;0；0；0;0；0］；
ｖub＝［];
[x，z］=ｌｉnｐrog（c,a，b，ａｅq，bｅq，ｖlb，vub）;
disｐ（＇投资方案'）
Ｘ=[x’］
dｉsp（’最优年收益'）
Z=—ｚ/１０0
附录九：
M文件
％yｕeshu、m
ｆunｃtion［g,ｃeq］=yuesｈu（x） %定义非线性得约束条件
g
（1）=ｘ
（1）—40０;
ｇ（２）=１、１*ｘ
（1）+x（２）—４４０；
g（3）=1、21＊x
（1）+1、1＊ｘ
（2）+x（３）－48４;
g（4）=1、331＊x
（1）+1、2１＊x（２）+1、1*x（3）+x（4）-532、4；
ceq=0;
ｅｎd
M文件
％fun8、ｍ
ｆunctionｙ=fｕｎ8（x）
y=-（sｑｒt（x
（1））+sqrt（x
（2））+sqｒt（x（３））＋sqrt（x（4）））;
enｄ
代码：
%ｚs13_6、m
ｘ０=［1；1;1;1］;
ｖlｂ=[0；0;0；0];
ｖub=［］；
A=［];
b=[]；
Aeq=［];
ｂeｑ=[]；
［x,z]＝fmiｎｃoｎ（'fuｎ８’，x0,A，b，Aeq,beｑ，vlb，ｖuｂ，’ｙueshu’）；
X＝[x’]
Z=—z
附录十:
%ｚs13_7、ｍ
c=200＊［11 1５25 20 10 １2 ３］；
ａ＝（－1）＊[０ 111 110；０ 01１ １11；1 ００11１１；11001１1；11１ 0011;111 １０01;１ 11１1 00]；
b=（—1）＊［１8１51216 １914 12］;
aｅq=[］;
ｂｅq=［］;
vlb=［0;０；0；０;0;0;0;0］;
ｖuｂ=［］;
［x，z］＝linｐrog（c,a，ｂ，aeq，beq,vlｂ,vub）；
ｄisp（＇周一到周七休息得人数分别为’）
X=［ｘ＇］
disp（’需要最少得费用＇）
z
附录十一：
％zｓ１3_8、m
ｃ=（—１）*[6 ８］;
a＝[－１2；１ １；—４-4];
b=［０60-3６］；
aeq=[］；
beq＝［];
vlb=［0；0］；
vub=［］;
［x,z］＝ｌinprog（ｃ，a，b,aeｑ,ｂｅq,vｌb，ｖub）；
disp（’甲乙产品分别生产'）
X=［ｘ’]
dｉsp（'需要最少得费用'）
Z=-ｚ
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