提公因式法.docx

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提公因式法

提公因式法

⑴提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　　口诀：

找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

　　例如：

-am+bm+cm=-m（a-b-c）；

　　a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（x-y）=（x-y）（a-b）。

　　注意：

把2a+1/2变成2（a+1/4）不叫提公因式

⑵公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：

a^2-b^2=（a+b）（a-b）；

　　完全平方公式：

a^2±2ab＋b^2＝（a±b）^2；

　　注意：

能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。

　　立方和公式：

a^3+b^3=（a+b）（a^2-ab+b^2）；

　　立方差公式：

a^3-b^3=（a-b）（a^2+ab+b^2）；

　　完全立方公式：

a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=（a±b）^3．

　　公式：

a+b+c-3abc=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）

　　例如：

a^2+4ab+4b^2=（a+2b）^2。

　　（3）分解因式技巧

　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

　　2.分解因式技巧掌握：

　　①等式左边必须是多项式；

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：

分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

　　3.提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　1.5ax+5bx+3ay+3by

　　解法：

=5x（a+b）+3y（a+b）

　　=（5x+3y）（a+b）

　　说明：

系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

　　2.x^3-x^2+x-1

　　解法：

=（x^3-x^2）+（x-1）

　　=x^2（x-1）+（x-1）

　　=（x-1）（x^2+1）

　　利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

　　3.x2-x-y2-y

　　解法：

=（x2-y2）-（x+y）

　　=（x+y）（x-y）-（x+y）

　　=（x+y）（x-y-1）

　　利用二二分法，再利用公式法a2-b2=（a+b）（a-b），然后相合解决。

⑷十字相乘法

　　这种方法有两种情况。

　　①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

　　这类二次三项式的特点是：

二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

x^2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．

　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

　　如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=（ax+b）（cx+d）．

　　图示如下：

　　ab

　　×

　　cd

　　例如：

因为

　　1-3

　　×

　　72

　　-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

　　所以7x^2-19x-6=（7x+2）（x-3）．

　　十字相乘法口诀：

首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑸拆项、添项法

　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　例如：

bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

　　=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

　　=bc（c-a）+bc（a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

　　=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）

　　=（bc+ca）（c-a）+（bc-ab）（a+b）

　　=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）

　　=（c+b）（c-a）（a+b）．

⑹配方法

　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。

属于拆项、补项法的一种特殊情况。

也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　例如：

x^2+3x-40

　　=x^2+3x+2.25-42.25

　　=（x+1.5）^2-（6.5）^2

　　=（x+8）（x-5）．

⑺应用因式定理

　　对于多项式f（x）=0，如果f（a）=0，那么f（x）必含有因式x-a．

　　例如：

f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。

（事实上，x^2+5x+6=（x+2）（x+3）．）

　　注意：

1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；

　　2、对于多项式f（a）=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

⑻换元法

　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

　　注意:

换元后勿忘还元.

　　例如在分解（x^2+x+1）（x^2+x+2）-12时，可以令y=x^2+x,则

　　原式=（y+1）（y+2）-12

　　=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10

　　=（y+5）（y-2）

　　=（x^2+x+5）（x^2+x-2）

　　=（x^2+x+5）（x+2）（x-1）．

　　也可以参看右图。

⑼求根法

　　令多项式f（x）=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）．

　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=0，

　　则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3，-2，1．

　　所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）．

⑽图象法

　　令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）．

　　与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

　　例如在分解x^3+2x^2-5x-6时，可以令y=x^3;+2x^2-5x-6.

　　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

　　则x^3+2x^2-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）．

⑾主元法

　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

⑿特殊值法

　　将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

　　例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则

　　x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，

　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7．

　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

　　则x^3+9x^2+23x+15可能等于（x+1）（x+3）（x+5），验证后的确如此。

⒀待定系数法

　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

　　例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：

这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=（x^2+ax+b）（x^2+cx+d）

　　=x^4+（a+c）x^3+（ac+b+d）x^2+（ad+bc）x+bd

　　由此可得a+c=-1，

　　ac+b+d=-5，

　　ad+bc=-6，

　　bd=-4．

　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=（x^2+x+1）（x^2-2x-4）．

　　也可以参看右图。

⒁双十字相乘法

　　双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

　　双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:

　　ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

　　x、y为未知数，其余都是常数

　　用一道例题来说明如何使用。

　　例：

分解因式：

x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．

　　分析：

这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

　　解：

图如下，把所有的数字交叉相连即可

　　x2y2

　　①②③

　　x3y6

　　∴原式=（x+2y+2）（x+3y+6）．

　　双十字相乘法其步骤为：

　　①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=（x+2y）（x+3y）；

　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。

如十字相乘图②中6y²+18y+12=（2y+2）（3y+6）；

　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

　　（15）利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解

　　例：

对于二次多项式aX^2+bX+c（a≠0）

　　aX^2+bX+c=a[X^2+（b/a）X+（c/a）X].

　　当△=b^2-4ac≥0时，

　　=a（X^2-X1-X2+X1X2）

　　=a（X-X1）（X-X2）.

[编辑本段]

多项式因式分解的一般步骤：

　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

　　也可以用一句话来概括：

“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要合适。

”

　　几道例题

　　1．分解因式（1+y）^2-2x^2（1+y^2）+x^4（1-y）