圆与相似的结合资料讲解.docx

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圆与相似的结合资料讲解

圆与相似的结合

1．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．

（1）求证：

直线DE是⊙O的切线；

（2）当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．

2．已知：

如图，AC⊙O是的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．

3．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

（1）求证：

∠BCA=∠BAD；

（2）求DE的长；

（3）求证:

BE是⊙O的切线。

4．如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．

（1）求证：

BC平分∠PDB；

（2）求证：

BC2=AB•BD；

（3）若PA=6，PC=6

，求BD的长．

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD于点E．

（1）求证：

AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为8，CE=2，求CD的长．

6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：

FD=4：

3．

（1）求证：

点F是AD的中点；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半径CD的长．

7．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

（1）求证：

PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；

（3）在满足

（2）的条件下，若AF：

FD=1：

2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

参考答案

1．

（1）证OD⊥DE即可。

（2）cosE=

【解析】

试题分析：

如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．

连结OD。

易知OA=OD=r，且AB＝BC，∴∠OAD=∠ODA=∠C

所以OD∥CB。

所以∠ODE=∠BFE=90°。

所以OD⊥DE，垂足为D。

所以直线DE是⊙O的切线。

（2）当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．

解：

连结BD。

由

（1）知OD⊥DE，又因为∠ADB=90°（直径所对圆周角）

所以∠ADO+∠ODB=∠ODB+∠BDE。

因为OD∥CB，则∠ODB=∠DBO=∠DBF

所以Rt△ADB∽Rt△DFB。

则

，已知AB=BC，BD⊥AC。

所以AD=

AC=4.

所以在Rt△ADB中，BD=3.故3×3=5×BF，解得BF=

。

易知Rt△EDO∽Rt△EFB

则

，解得BE=

所以在Rt△EFB中，cosE＝

考点：

圆及相似三角形等

点评：

本题难度较大，主要考查学生对圆的切线问题与三角形相似判定与性质的掌握。

为中考常考题型要牢固掌握。

2．解：

（1）证明：

连接OB，

∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°。

∵OC=OB，∴∠OBC=∠ACB。

∵∠PBA=∠ACB，∴∠PBA=∠OBC。

∴∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°。

∴OB⊥PB。

∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线。

（2）设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=R，

∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，∴∠POB=∠OBC=∠OCB。

∵∠PBO=∠ABC=90°，∴△PBO∽△ABC。

∴

，即

，解得

。

∴⊙O的半径为

。

【解析】

试题分析：

（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可。

（2）证△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可。

3．解：

（1）证明：

∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。

∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），

∴∠BCA=∠BAD。

（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，∴

。

∵BD=BA=12，BC=5，∴根据勾股定理得：

AC=13。

∴

，解得：

。

（3）证明：

连接OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵

，

∴△ABO≌△DBO（SSS）。

∴∠DBO=∠ABO。

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC。

∴OB∥ED。

∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。

∴OB⊥BE。

∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。

【解析】

试题分析：

（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由圆周角定理∠BCA=∠BDA即可得出结论。

（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度。

（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论。

4．解：

（1）证明：

连接OC，

∵PD为圆O的切线，∴OC⊥PD。

∵BD⊥PD，∴OC∥BD。

∴∠OCB=∠CBD。

∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。

∴∠CBD=∠OBC，即BC平分∠PBD。

（2）证明：

连接AC，

∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°。

∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD。

∴

，即BC2=AB•BD。

（3）∵PC为圆O的切线，PAB为割线，∴PC2=PA•PB，即72=6PB，解得：

PB=12。

∴AB=PB－PA=12－6=6。

∴OC=3，PO=PA+AO=9。

∵△OCP∽△BDP，∴

，即

。

∴BD=4。

【解析】

（1）连接OC，由PD为圆O的切线，由切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证。

（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及

（1）的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证。

（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长。

5．解：

（1）证明：

连接OA，

∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°。

∴∠B+∠ACB=90°。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。

∵∠CAD=∠B，∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°。

∴OA⊥AD。

∵点A在圆上∴AD是⊙O的切线。

（2）∵CE⊥AD，∴∠CED=∠OAD=90°。

∴CE∥OA。

∴△CED∽△OAD。

∴

。

∵CE=2，设CD=x，则OD=x+8，

∴

，解得x=

。

经检验x=

是原分式方程的解，∴CD的长为

。

【解析】

试题分析：

（1）连接OA，证明OA⊥AD即可。

（2）由△CED∽△OAD得比例式

，求解即可。

6．解：

（1）证明：

如图，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2。

∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，

∴∠ADE=∠DAE。

∴ED=EA。

∵ED为⊙O直径，∴∠DFE=90°。

∴EF⊥AD。

∴点F是AD的中点。

（2）连接DM，

∵EF：

FD=4：

3，∴设EF=4k，FD=3k。

∴在Rt△DEF中，根据勾股定理理，得ED=5k。

∴AE=ED=5k，AD=2FD=6k。

∵

AD•EF=

AE•DM，∴

。

在Rt△DEM中，根据勾股定理理，得

，

∴

。

（3）∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA。

∴AE：

BE=CE：

AE，即AE2=CE•BE。

∴由

（2）设定得，（5k）2=

k•（10+5k）。

∵k＞0，∴k=2。

∴CD=

k=5。

【解析】

试题分析：

（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由等腰三角形三线合一的性质，即可判定点F是AD的中点。

（2）连接DM，设EF=4k，DF=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案。

（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：

（5k）2=

k•（10+5k），解此方程即可求得答案。

7．解：

（1）证明：

连接CD，

∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°。

∴∠CAD+∠ADC=90°。

又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，

∴∠PAC=∠ADC。

∴∠CAD+∠PAC=90°。

∴PA⊥OA。

又∵AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线。

（2）由

（1）知，PA⊥AD，

又∵CF⊥AD，∴CF∥PA。

∴∠GCA=∠PAC。

又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。

又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。

∴

，即AC2=AG•AB。

∵AG•AB=12，∴AC2=12。

∴AC=

。

（3）设AF=x，

∵AF：

FD=1：

2，∴FD=2x。

∴AD=AF+FD=3x。

在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，即3x2=12。

解得；x=2。

∴AF=2，AD=6。

∴⊙O半径为3。

在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，

∴根据勾股定理得：

。

由

（2）知，AG•AB=12，∴

。

连接BD，

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°。

在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=

，AD=6，

∴sin∠ADB=

。

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=

。

【解析】

试题分析：

（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案。

（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG•AB，求出AC即可；

（3）先求出AF的长，根据勾股定理得

即可得出sin∠ADB=

，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可。