长郡中学届高三创新题训练.docx
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长郡中学届高三创新题训练
20佃届高三创新题训练
1、两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin很亠sin（‘•亠隈）=0；三点等分单位圆时，有
相应正确关系为sin爲川sin（）sin（）=0。
由此可以推知：
四点等分单
33
位圆时的相应正确关系为
2円
sinx"sin（）sin（：
：
£亠）sin（：
2、若在直线l上存在不同的三个点A,B,C,
使得关于实数的方程x20a-xOB=0
有解（点0不在I上），则此方程的解集为
4、公比为4的等比数列g｝中，若Tn是数列｛bn｝的前n项积，则有寻寻碁仍成等比数
n项和,
列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列｛an｝中，若Sn是｛an｝的前
S20-S°,S30-S3。
S40-S3。
300
/Q0t\
a°x+a1X+a2X+a3x+a4=0的4个根是x1,X2,X3,X4,贝UX1
由以上结论，推测出一般的结论：
设方程a°xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an_1x+an=0的n个根是X1,X2,
此时，若Tn-n2（nN），则bn=
（n=1）
「1
（n-2）
7、在区间［t,t1］上满足不等式
n2
2（n-2）
（n-1）
|x3-3x•1|_1的解有且只有一个，则实数t的取值范围
。
（0,,3-1）
8、定义方程f（x）=f'（X的实数根Xo叫做函数f（X）的“新驻点”，若函数g（x）=x,h（x^In*1）,x（3）x啲“新驻点”分别为：
「，，则：
'-,的大小关系为（C）
C.'2刖D.!
■'>■'皿
9、.若等差数列的首项为a1,公差为d，前n项的和为&，则数列｛-Sn｝为等差数列，
n
且通项为=a1■（n-1）-.类似地，若各项均为正数的等比数列｛bn｝的首项为b1,公比n2
为q，前n项的积为Tn,则数列｛nTj为等比数列，通项为、応儿1（门）2
10、对于等差数列｛an｝，有如下一个真命题：
“若｛an｝是等差数列，且印=0,S、t是互不相等的正整数，则（s-1）at-（t-1）as=0”.类比此命题，对于等比数列｛bn｝,有如下一个真命题：
bS）
若｛bn｝是等比数列，且b1=丄,S、t是互不相等的正整数，则七=1.
bs
11、记等差数列｛an｝的前项和为Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将Sn表示成首项印,
末项an与项数的一个关系式，即&二（印畀"；类似地，记等比数列｛bn｝的前项积.
为Tn,且bn0（n•N）,类比等差数列的求和方法，可
将Tn表示为首项bl，末项bn与项数的一个关系式，即公式
Tn二...（bibn）n
12、如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端
1
的数均为2，每个数是它下一行左右相邻两数
111111
——+——+.…
236'3412''
则第10行第4个数（从左往右数）为
情形是：
若O是ABC内一点，有S.OABocSobcQA.SqcaOB=0；将它类比
到空间的情形应该是：
若°是四面体ABCD内一点，则有
14、方程x2-cosx=0的解可视为函数y=cosx的图像与函数y=x2的图像交点的
横坐标•方程x2-10xsinx1=0实数解的个数为.12
2
132
15、若函数f（x）=-x3—x在（a,10—a2）上有最小值，则a的取值范围为[-2,1）
3
16、观察下列恒等式：
22
tan>-12（1_tan：
）
tan
2tan'
1
2
①
tan
tan
tar2：
ta佗二-
1
2
②
tar2:
tar4：
tar4-：
i-
1
2
③
tar4：
ta
JI
由此可知：
tan一-
二二1
2tan4tan
.-8
32
16
8tan-
32
17、如图，在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直，且PA=3,PB=2,PC=1.
设M是底面ABC内一点,定义f（M）=（m,n,p）,其中m、n、p分别是三棱锥
M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积•若f（M）=（g,x,y）,且
18、如图，△ABC中，AB=4，AC=8，/BAC=60,延长CB到D，使BA=BD，当E点在线段AB
上移动时，若AE二■AC•」AD，当•取最大值时，
■的值是.5-2
19、在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏•这些同学编号依次为1,
2,3,….,n.•在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p,q）表示•规则如下：
编号为k的同学
看到的像为（ak,ak1）,且满足ak1-ak=k（k•N*）,已知编号为1的同学看到的像为（5,
6）,则编号为4的同学看到的像为;某位同学看到的像为（195,q），其中q的值
被遮住了，请你帮这位同学猜出q=.
（11,15）;215
20、.数列爲啲前m项为a「a2,…，am（mN*），若对任意正整数n，有a*口二a.q
（其中q为常数，q=0且q"），则称数列也■是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列.已知似周期性等比数列仁［的前7项为1,1,1,1,1,1,2，周期为7,
周期公比为3，则数列前7k+1项的和等于.（k为正整数）53k-4
21、对于各数互不相等的正数数组h,i2,…,in（n是不小于2的正整数），如果在pip>iq，则称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组
的“逆序数”.例如，数组（2,431）中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”，“3,1”，
其"逆序数”等于4.若各数互不相等的正数数组（a,a2,a3,a4）的“逆序数”是2,则
但4,a3,a2,aj的“逆序数”是.4
22、对于函数f（x），若存在区间M=[a,b],（a：
：
：
b），使得｛y|y=f（x）,x•M｝二M,
则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”.
请你写出一个具有“稳定区间”的函数;（只要写出一个即可）
给出下列4个函数：
①f（x）=e:
②f（x）=x，③f（x）=cosx④f（x）=lnx+1
2
其中存在“稳定区间”的函数有—②一③—（填上正确的序号）
2
xo
23、点P在曲线C:
y=1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l:
x=4
4
于B点，满足PA=PB或PA=AB，则称点P为H点”，那么下列结论正确的是D
A.曲线.C.上的所有点都是H点”
B•曲线C上仅有有限个点是H点”
C.曲线C上的所有点都不是H点”
D•曲线C上有无穷多个点（但不是所有的点）是H点”
2
x22I
24、已知椭圆C:
y=1的焦点为F1,F2，若点P在椭圆上,且满足IPOI=|PF1L|PF2|
4
（其中0为坐标原点），则称点P为★点”•那么下列结论正确的是B
A.椭圆C上的所有点都是★点”
B.椭圆C上仅有有限个点是★点”
C.椭圆C上的所有点都不是★点”
D.椭圆C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★点”
25、观察下列等式：
（1xx2）1=1xx2,
（1xx2）2=12x3x22x3x4,
（1xx2）3=13x6x27x36x43x5x6,
（1xx2）4=14x10x216x319x416x510x64x7x8,
由以上等式推测
对于n•N”，若（1xx2）n二a。
a,xa2X2fa2nX2n,则a?
=▲
（1）点集P=^（x,y）^x-i1,^y（1,（x1,y1^A｝所表示的区域的面积为
间［m,m・1］上单调递减，则实数m的范围是_-1乞m^O
f（n）=
61fn=2n-2n1
.I.
■■■■■■■■■■■■
■■■■■
■■■
（1）
（2）
sin二x4
31.如图是函数f（x）二的图像的一部分，若图像的最高点的纵坐标为一，则
x一bx+c3
［A,B］为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（［A,B］与［B,A］看作一组）.函数
fn
cos——xxv0
g（x）2''关于原点的中心对称点的组数为b
［log4（x+1）,x>0
（A）1（B）2（C）3（D）4
34、对于函数f（x），在使fx岂M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最小值称为
fx的上确界为
（C）1
（A）2
.12。
［2,3）
36、在单位圆0上的两点代B，满足•AOB=120°，点C是单位圆上的动点，且
OC=xOAyOB,则x-2y的取值范围是
A.0,21B.丨-2,21C.卜：
；2,、一2D.0^.2
37、给定集合代={1,2,3,…,n},n•N*•若f是An-；An的映射，且满足：
（1）任取i,jAn,若i=j，则f（i）=f（j）;
（2）任取mAn,若m_2，则有m■{f
（1）,f
（2）,..,f（m）}.
则称映射f为代，代的一个“优映射”.
例如：
用表1表示的映射f:
A^-；A3是一个“优映射”.
表1表2
（1）已知f:
A4>A4是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的
映射）；
（2）若f:
A2010—；A2010是“优映射”，且f（1004）=1，贝Uf（1000）f（1007）的最大值为
（-2,1）
40.（本小题满分13分）
22
给定椭圆C:
务y2=1（ab0）,称圆心在原点O,半径为■a2b2的圆是椭圆C的ab
“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F（..2,0），其短轴上的一个端点到F的距离为「3.
（I）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（II）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线h,l2，使得h,l2与椭圆C都只
有一个交点，且h,l2分别交其“准圆”于点M,N.
（1）当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1,l2的方程;
（2）求证：
|MN为定值.
40.（本小题满分13分）
解：
（I）因为c=..、2,a=.、3，所以b=12分
2
所以椭圆的方程为—y2=1,
3
准圆的方程为x2•y2=4.4分
（II）
（1）因为准圆x2y2=4与y轴正半轴的交点
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