《高等数学》不定积分课后习题详解.docx
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《高等数学》不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解
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篇一:
高等数学第四章不定积分习题
第四章不定积分
4–1不定积分的概念与性质
一.填空题
1.若在区间上F?
(x)?
f(x),则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。
2.F(x)是f(x)的一个原函数,则y=F(x)的图形为?
(x)的一条_________.3.因为
d(arcsinx)?
1?
x2
dx
,所以arcsinx是______的一个原函数。
4.若曲线y=?
(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________。
二.是非判断题
1.若f?
x?
的某个原函数为常数,则f?
x?
?
0.[]2.一切初等函数在其定义区间上都有原函数.[]3.
3
?
?
f?
x?
dx?
?
?
f?
?
x?
dx.[]
?
4.若f?
x?
在某一区间内不连续,则在这个区间内f?
x?
必无原函数.[]?
ln?
ax?
与y?
lnx是同一函数的原函数.[]三.单项选择题
1.c为任意常数,且F’(x)=f(x),下式成立的有。
(A)?
F’(x)dx?
f(x)+c;(B)?
f(x)dx=F(x)+c;(C)?
F(x)dx?
F’(x)+c;(D)?
f’(x)dx=F(x)+c.
2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)?
0,则下式成立的有。
(A)F(x)=cG(x);(B)F(x)=G(x)+c;(C)F(x)+G(x)=c;(D)F(x)?
G(x)=c.3.下列各式中是f(x)?
sin|x|的原函数。
(A)y?
?
cos|x|;(B)y=-|cosx|;(c)y=?
?
cosx,x?
0,cosx?
2,x?
0;
(D)y=?
?
cosx?
c1,x?
0,cosx?
c2,x?
0.
c1、c2任意常数。
?
(x)?
f(x),f(x)为可导函数,且f(0)=1,又F(x)?
xf(x)?
x2,则f(x)=______.(A)?
2x?
1(B)?
x?
1(C)?
2x?
1(D)?
x?
15.设f?
(sin2x)?
cos2x,则f(x)=________.
1
(A)sinx?
sin2x?
c;(B)x?
1x2?
c;(C)sin2x?
1sin4x?
c;(D)x2?
1x4?
c;
2222
2
2
6.设a是正数,函数f(x)?
ax,?
(x)?
axlogae,则______.(A)f(x)是?
(x)的导数;(B)?
(x)是f(x)的导数;(C)f(x)是?
(x)的原函数;(D)?
(x)是f(x)的不定积分。
四.计算题
1.?
xndx
2.?
dh2gh
(g是常数)
3.x?
1)(x?
1)dx4.
(1?
?
3
?
(1?
x)2
x
?
x
e?
xx
)dx6.?
32xe3xdx
4sin3x?
1x2?
22x?
2
dx7.?
8.?
2
sinxx?
2
xx21?
cos2x
dx9.?
(cos?
sin)dx10.?
221?
cos2x
cos2x22?
3x?
33?
2x
dx12.?
dx11.?
sin2xcos2x3x
13.(
15.(1?
五.应用题
1.一曲线通过点(e,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程.
2.一物体由静止开始运动,经t秒后的速度是3t(米/秒),问:
(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2)物体走完360米需要多少时间
2
2
?
32
?
)dx14.?
secx(secx?
tanx)dx
21?
x2?
x
?
1
)xxdx
?
1?
x
dx1?
x
4-2换元积分法
一、填空题
?
______d(ax)((a?
0))?
______d(7x?
3)?
_______d(x2)?
______d(5x2)?
______d(1?
x2)?
_______d(2?
3x3)?
______d(e)
2
2x2x
?
x
2
dx?
______d(1?
e)
x
?
1)dx?
d(______)3
?
x2
?
2xdx?
d(_______)(11.
dxdx
?
______d(5lnx)12.?
______d(3?
5lnx)xx
(?
t?
?
)dt?
d(______)14.
dx?
x
2
?
______d(1?
arcsinx)
15.
?
1xx?
1
2
?
?
x2
11
?
()2
x
?
?
1?
_________1?
()2
xd
16.若
?
f(x)dx?
F(x)?
c,则?
f(ax?
b)dx?
________(a?
0)
二.是非判断题
lnx1?
1?
111.?
dx?
?
d?
?
?
?
2?
c.[]
xx?
x?
2x12.
?
x?
1xdx?
2arctgx?
c.[]3.设f?
x?
dx?
sinx?
c,则f?
arcsinx?
dx?
x?
c.[]
?
?
x2
?
4.已知f?
?
lnx?
?
?
1,0?
x?
1,
x,?
?
?
x?
0,?
且f?
0?
?
0,且f?
x?
?
?
x.[]
x,1?
x?
?
?
?
e?
1,0?
x?
?
?
5.?
sin2xdx?
1sin3x?
c.[]36.若?
f?
x?
dx?
F?
x?
?
c,则?
f?
g?
x?
?
dx?
F?
g?
x?
?
?
c.[]三.单项选择题1.?
f?
(3x)dx?
_____.(A)
11
f(x)?
c;(B)f(3x)?
c;33
(C)3f(x)?
c;(D)3f(3x)?
c;
2.
f?
(x)
.?
1?
[f(x)]2dx?
________
(A)ln|1?
f(x)|?
c;(B)1ln|1?
[f(x)]2|?
c;
2(C)arctan[f(x)]?
c;(D)1arctan[f(x)]?
c.
2
1?
x?
3.?
dx?
.?
?
?
x?
?
(A)
2
11
?
2ln|x|?
x?
C(B)?
?
2ln|x|?
x?
C
xx
(C)?
1?
2ln|x|?
C(D)ln|x|?
x?
C
x3?
2x?
2?
3x
dx?
..
2?
33
3x?
2ln?
()x?
c;
(A)(B)3x?
2x(3)x?
1?
c22
2
x
2?
3?
2?
3?
(C)3?
(D)3?
?
c?
?
?
c?
?
ln3?
ln2?
2?
ln3?
ln2?
2?
x
5.
1?
x7
?
x(1?
x7)dx?
______.
7
x(A)1ln|
7(1?
x7)2
1x7
|?
c;(B)7ln|1?
x7|?
c;
1x61x6
(C)ln||?
c;|?
c;(D)ln|662
61?
x6(1?
x)
6.|x|dx?
_____.(A)
?
1111
|x|2?
c;(B)x2?
c;(c)x|x|?
c;(D)?
x2?
c;
2222
e3x?
1
7.?
xdx?
_____.
e?
1
11
(A)e2x?
ex?
x?
c;(B)e2x?
ex?
c;
22
11
(C)e2x?
ex?
x?
c;(D)e2x?
ex?
c.
22
1?
sin2x
sin2x的全体原函数是________.
(B)e
1?
sin2x?
c;
(A)e
1?
sin2x;
(C)e
1?
sin2x?
c
(D)e
1?
sin2x
?
c
篇二:
《高等数学》第五章不定积分的习题库(2015年11月)
第五章不定积分
一、判断题
1.
?
?
f(x)dx?
?
?
f(x)dx。
’
’
()()()()()()
?
2.?
?
f(x)dx?
?
f(x)。
?
?
3.
?
f?
(x)dx?
f(x)?
C。
4.y?
ln(ax)与y?
lnx是同一函数的原函数。
5.
lnx1111
?
()?
?
x?
xx2?
x2?
C
?
C6.
7.设?
f(x)dx?
sinx?
C则8.
132
xsinxdx?
sinx?
C?
3
?
x?
C
()()
二、选择题
1.F?
(x)?
f(x),C为常数,下列等式成立的是
A.?
F?
(x)dx?
f(x)?
C
’
C.?
f(x)dx?
F(x)?
C
()
B.?
f(x)dx?
F(x)?
CD.
?
?
F(x)dx?
?
?
F?
(x)
2.F(x)和G(x)是f(x)函数的任意两个原函数,则下式成立的有()
(x)=CG(x)(x)=G(x)?
C(x)?
G(x)?
C(x)?
G(x)?
C
3.若曲线y?
f(x)通过点(1,2),且在该曲线上任意点(x,y)处切线的斜率为3x2,则该曲
线方程是
()
(x)?
x3?
C(x)?
x3?
1(x)?
x3?
1
?
(x)?
3x2
()
4.下列函数中,是同一个函数的原函数的是
和arccotxC.?
e?
e
x
?
x2
和cos2x
2x
D.和2x?
ln2ln2
?
和e?
e
2x?
2x
5.若F(x)是f(x)的一个原函数,C为常数,则下列函数中仍f(x)的是
()
《高等数学I》习题库
第五章不定积分第五章共9页
A.F(Cx)B.F(x?
C)
C.CF(x)
(x)?
C
()
6.设f’(sin2x)?
cos2x,则f(x)?
12
sinx?
sinx?
CA.
2124
C.sinx?
sinx?
C
2
12
x?
C2142
?
x?
C
2
?
xx
7.设a?
0,函数f(x)?
a,?
(x)?
alogae则
()
A.f(x)的导数等于?
(x)(x)是?
(x)的原函数8.
?
f’(x)
1?
?
f(x)?
2
dx=
2
ln?
f(x)?
C
?
f(x)?
?
C
2
9.?
?
?
1?
x?
?
x?
?
dx?
A.1
x?
2lnx?
x?
cC.?
1
x
?
2lnx?
c3?
2x?
2?
3x
10.?
2x
?
x
?
ln32?
?
?
3?
?
2?
?
?
c
?
2?
3x
ln3?
ln2?
?
?
2?
?
?
c
?
e3x11.?
1
ex?
1
?
A.12e2x?
ex
?
x?
c
B.12.?
1?
x7
x(1?
x7)
dx?
《高等数学I》习题库
B.?
(x)的导数等于f(x)
D.?
(x)是f(x)的不定积分
()
?
?
f(x)?
2
?
C
2
arctan?
f(x)?
?
C
()
B.?
1x
?
2lnx?
x?
c
D.lnx?
x?
c
()
x?
1
?
2x?
?
3?
?
2?
?
?
c
x
?
2?
3?
ln3?
ln2?
?
2?
?
?
c
()
12x2e?
ex
?
c
e2x?
ex
?
x?
c
e2x?
ex
?
c()
第五章不定积分第五章共9页
1x7
?
c
7(1?
x)1x6
?
c
6(1?
x)
’’
13.?
xf(x)dx?
1x7
?
c
71?
x7
1x6
?
c
61?
x
()
’(x)?
f(x)?
’(x)?
f’(x)?
c
’
’(x)?
f(x)?
(x)?
?
f(x)dx
14.?
sinxln(tanx)dx=
A.?
cosxln(tanx)?
lntan
()
x
?
c(tanx)?
lncscx?
cotx?
c2
(tanx)?
lntan
2
15.?
xsinxdx?
x
?
cD.?
cosxln(tanx)?
lnsinx?
cx
()
121121
A.x?
xsin2x?
cB.x?
xcos2x?
c
4448
12x1x?
sin2x?
cos2x?
Cxcosx?
sinx?
cC.D.448
lnx
16.?
()dx?
x
2
()
1212x1
A.?
(lnx?
2lnx?
2)B.lnx?
lnx?
?
c
xx2x
112?
xx
lnx?
2lnx?
?
cearctane?
x?
ln(1?
e2x)?
c
x2
arcsinx
dx?
()17.?
x211
A.?
arcsinx?
lncscx?
cotx?
cB.?
arcsinx?
lncotx?
cscx?
c
xx
11?
cD.?
arcsinx?
cC.?
arcsinx?
xxarctanex
dx?
18.?
x
e
()
11?
xx2x?
xx2x
A.?
earctane?
ln(1?
e)?
cB.?
earctane?
x?
ln(1?
e)?
c
22
《高等数学I》习题库
第五章不定积分第五章共9页
12x?
xx
C.?
e?
xarctanex(?
e?
x?
1)?
cD.?
ln(1?
e)?
earctane?
x?
c
2
1?
cosx
?
()19.?
1?
cosx
A.x+2cotx?
cscx?
cB.?
x?
2cotx?
c
C.?
x?
2(cscx?
cotx)?
cD.?
x?
cscx?
cotx?
c20.?
sinx(2cscx?
cotx?
1
)dx=sin3x
()
A.2xsinx?
cotx?
cB.2x?
sinx?
cotx?
cC.2?
sinx?
cotx?
cD.?
x?
cscx?
cotx?
c1
21.的全体原函数是()
1?
sinx
?
2
1?
c?
cB.A.tanx?
1?
tansinx
2
11
?
tanx?
?
ctanx?
?
c
sinxcosx
sinxcosx
?
()22.?
4
sinx?
cos4x11
A.arctan(cos2x)?
cB.?
arctan(cos2x)?
c
22
1sin2x?
1arctan(?
cos2x)?
c?
cC.D.ln
2sin2x?
1
xx
23.?
2edx?
x
x
()
xxxx
?
?
ed2
?
2e?
?
CB.
ln2eC.?
2e?
ln?
2e?
?
C
三、填空题
1.若曲线y?
f(x)上点(x,y)的切线斜率与x3成正比并且通过点A(1,6)和B(2,?
9)则该
曲线方程为。
2.若曲线y?
f(x)通过点(1,2),且曲线上任意一点的处的切线斜率等于该点横坐标的2
倍,则该曲线方程为。
3.某一曲线通过(e2,3),且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,则该曲线的方程
为。
4.5.
?
?
2x?
1?
3
dx=
=。
《高等数学I》习题库
第五章不定积分第五章共9页
6.7.
8.9.
1
?
a2+x2dx。
?
(ax?
b)dx(a?
0)=
x2xedx?
2
2
2?
3lnx
?
x
2
10.?
sinxcosxdx
11.
?
=。
12.?
sin3
xdx=13.?
sin3xcos4
xdx=14.?
cos2
x
2
dx=15.
。
x2
16.?
1+x2
dx。
四、求解题
1.
?
)dx
2.
2
3.
?
cos2x
sin2xcos2x
4.
?
secx(secx?
tanx)dx
5.
?
e
x?
4
dx
6.(?
2x2
+1+3sinx)
dx
《高等数学I》习题库
第五章7.(?
sin
2
x2
)dx
8.?
x4
1?
x
2
9.
?
?
2?
dx
10.
211.
x?
3)dx
不定积分第五章共9页
篇三:
高等数学习题详解-第5章不定积分
1.写出下列函数的一个原函数:
(1)2x5;
(2)?
cosx;
(3)解:
(1)?
(x6)?
?
2x5,?
31
13
6
;
(4)?
x是2x的一个原函数.
5
(2)?
(?
sinx)?
?
?
cosx,?
?
sinx是?
cosx的一个原函数.(3)
?
?
?
?
的一个原函数.
(4)
?
(?
2arcsinx)?
?
?
,?
?
2arcsinx是?
2.根据不定积分的定义验证下列等式:
(1)
(2)
?
x
1
x?
?
3
12
x
?
2
?
C;
?
(sinx?
cosx)dx?
?
cosx?
sinx?
C.
12x
?
2
解:
(1)因为(?
)?
?
1x
3
,所以?
1x
?
?
3
12
x
?
2
?
C.
(2)因为(?
cosx?
sinx)?
?
sinx?
cosx,所以
?
(sinx?
cosx)dx?
?
cosx?
sinx?
C.
3.根据下列等式,求被积函数f(x).
(1)
(2)
?
f(x)dx?
ln(x?
f(x)dx?
?
C;?
C.
?
?
32
?
解:
(1)
等式两边求导得:
f(x)?
(ln(x?
?
?
x?
?
?
?
.
2
(2)
等式两边求导得:
f(x)?
?
?
?
12
(1?
x)
2
?
2x?
?
?
x
x(1?
x)
2
32
.
4.设曲线通过点(0,1),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为e
?
x
解设所求曲线方程为y?
f(x),由题设有f?
(x)?
e,
,求此曲线方程.
?
f(x)?
?
edx?
?
e
?
x?
x
?
C
又曲线过点(0,1),故f(0)?
1,代入上式得C?
2,所以,所求曲线方程为:
y?
?
e
?
x
?
2.
1.求下列不定积分:
(1)?
x?
4)dx;
(2)?
x
x
2
x
2
;
x
(3)?
2edx;(4)?
(5)?
1x(1?
x)
2
2
2?
3?
5?
2
3
x42
dx;
;(6)
?
1?
x
x
;
(7)?
secx(secx?
tanx)dx;(8)(9)?
cos2xsinx
22
?
1?
cos2x;
2
1
;(10)?
sin
x2
;
(11)?
解:
(1)
cos2xcosxsinx
2
2
dx;(12)?
(tanx?
cotx)2dx.
5
1
5
1
?
?
x?
4)dx?
?
2
?
(x
2
?
4x)dx?
2
2
?
x
?
12
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