中考数学解析8.docx

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中考数学解析8

湖北省孝感市2013年中考数学试卷

一、精心选一选，相信自己的判断！

（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）

1．（3分）（2013•孝感）计算﹣32的值是（　　）

A．

9

B．

﹣9

C．

6

D．

﹣6

考点：

有理数的乘方．

分析：

根据有理数的乘方的定义解答．

解答：

解：

﹣32=﹣9．

故选B．

点评：

本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．（3分）（2013•孝感）太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为（　　）

A．

6.96×103

B．

69.6×105

C．

6.96×105

D．

6.96×106

考点：

科学记数法—表示较大的数．

分析：

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：

解：

将696000用科学记数法表示为6.96×105．

故选C．

点评：

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2013•孝感）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（　　）

A．

120°

B．

130°

C．

140°

D．

40°

考点：

平行线的判定与性质．

分析：

首先根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得∠4的度数．

解答：

解：

∵∠1=∠2，

∴a∥b，

∴∠3=∠5，

∵∠3=40°，

∴∠5=40°，

∴∠4=180°﹣40°=140°，

故选：

C．

点评：

此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．

4．（3分）（2013•孝感）下列计算正确的是（　　）

A．

a3÷a2=a3•a﹣2

B．

C．

2a2+a2=3a4

D．

（a﹣b）2=a2﹣b2

考点：

同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．

分析：

根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可．

解答：

解：

A、a3÷a2=a3•a﹣2，计算正确，故本选项正确；

B、

=|a|，计算错误，故本选项错误；

C、2a2+a2=3a2，计算错误，故本选项错误；

D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，计算错误，故本选项错误；

故选A．

点评：

本题考查了同底数幂的乘除、合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．

5．（3分）（2013•孝感）为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：

cm）为：

16　9　14　11　12　10　16　8　17　19

则这组数据的中位数和极差分别是（　　）

A．

13，16

B．

14，11

C．

12，11

D．

13，11

考点：

极差；中位数．

分析：

根据中位数及极差的定义，结合所给数据即可作出判断．

解答：

解：

将数据从小到大排列为：

8，9，10，11，12，14，16，16，17，19，

中位数为：

13；

极差=19﹣8=11．

故选D．

点评：

本题考查了极差及中位数的定义，在求中位数的时候，注意将所给数据从新排列．

6．（3分）（2013•孝感）下列说法正确的是（　　）

A．

平分弦的直径垂直于弦

B．

半圆（或直径）所对的圆周角是直角

C．

相等的圆心角所对的弧相等

D．

若两个圆有公共点，则这两个圆相交

考点：

圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

分析：

利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可

解答：

解：

A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；

B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；

C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；

D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误，

故选B．

点评：

本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键．

7．（3分）（2013•孝感）使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（　　）

A．

3，4

B．

4，5

C．

3，4，5

D．

不存在

考点：

一元一次不等式组的整数解．

分析：

先分别解出两个一元一次不等式，再确定x的取值范围，最后根据x的取值范围找出x的整数解即可．

解答：

解：

根据题意得：

，

解得：

3≤x＜5，

则x的整数值是3，4；

故选A．

点评：

此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：

同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

8．（3分）（2013•孝感）式子

的值是（　　）

A．

B．

0

C．

D．

2

考点：

特殊角的三角函数值．

分析：

将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案．

解答：

解：

原式=2×

﹣1﹣（

﹣1）

=

﹣1﹣

+1

=0．

故选B．

点评：

本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．

9．（3分）（2013•孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）

A．

（﹣2，1）

B．

（﹣8，4）

C．

（﹣8，4）或（8，﹣4）

D．

（﹣2，1）或（2，﹣1）

考点：

位似变换；坐标与图形性质．

专题：

作图题．

分析：

根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．

解答：

解：

根据题意得：

则点E的对应点E′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．

故选D．

点评：

此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

10．（3分）（2013•孝感）如图，由8个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．

分析：

根据该组合体的主视图和俯视图及正方形的个数确定每层的小正方形的个数，然后确定其左视图即可；

解答：

解：

∵该组合体共有8个小正方体，俯视图和主视图如图，

∴该组合体共有两层，第一层有5个小正方体，第二层有三个小正方形，且全位于第二层的最左边，

∴左视图应该是两层，每层两个，

故选B．

点评：

考查由视图判断几何体；用到的知识点为：

俯视图中正方形的个数是组合几何体最底层正方体的个数；组合几何体的最少个数是底层的正方体数加上主视图中第二层和第3层正方形的个数．

11．（3分）（2013•孝感）如图，函数y=﹣x与函数

的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（　　）

A．

2

B．

4

C．

6

D．

8

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

分析：

首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：

OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．

解答：

解：

∵过函数

的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，

∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，

又∵OC=OD，AC=BD，

∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，

∴四边形ABCD的面积为：

S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．

故选D．

点评：

本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．

12．（3分）（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

分析：

依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．

解答：

解：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

又∵∠CBD=∠A，

∴△ABC∽△BDC，

同理可得：

△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，

∴

=

，

=

，

=

，

解得：

CD=

，DE=

，EF=

．

故选C．

点评：

本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．

二、细心填一填，试试自己的身手！

（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上）

13．（3分）（2013•孝感）分解因式：

ax2+2ax﹣3a=　a（x+3）（x﹣1）　．

考点：

因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．

专题：

计算题．

分析：

原式提取a后利用十字相乘法分解即可．

解答：

解：

ax2+2ax﹣3a=a（x2+2x﹣3）=a（x+3）（x﹣1）．

故答案为：

a（x+3）（x﹣1）

点评：

此题考查了因式分解﹣十字相乘法与提公因数法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．（3分）（2013•孝感）在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为　　（结果用分数表示）．

考点：

概率公式．

分析：

根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

解答：

解：

∵在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，

∴从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为；

故答案为：

．

点评：

此题考查了概率公式：

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

15．（3分）（2013•孝感）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为　12

　m（结果不作近似计算）．

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析：

首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．

解答：

解：

过点D作DE⊥AB于点E，

则四边形BCDE是矩形，

根据题意得：

∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，

∴DE=BC=18m，CD=BE，

在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18

（m），

在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6

（m），

∴DE=BE=AB﹣AE=18

﹣6

=12

（m）．

故答案为：

12

．

点评：

本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．

16．（3分）用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　8　cm．

考点：

圆锥的计算．

专题：

计算题．

分析：

根据圆的周长公式和扇形的弧长公式解答．

解答：

解：

如图：

圆的周长即为扇形的弧长，

列出关系式解答：

=2πx，

又∵n=216，r=10，

∴（216×π×10）÷180=2πx，

解得x=6，

h=

=8．

故答案为：

8cm．

点评：

考查了圆锥的计算，先画出图形，建立起圆锥底边周长和扇形弧长的关系式，即可解答．

17．（3分）（2013•孝感）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：

称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是　51　．

考点：

规律型：

图形的变化类．

专题：

规律型．

分析：

计算不难发现，相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，根据此规律依次进行计算即可得解．

解答：

解：

∵5﹣1=4，

12﹣5=7，

22﹣12=10，

∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，

∴第4个五边形数是22+13=35，

第5个五边形数是35+16=51．

故答案为：

51．

点评：

本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形求出相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3是解题的关键．

18．（3分）（2013•孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：

升）与时间x（单位：

分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起　8　分钟该容器内的水恰好放完．

考点：

一次函数的应用．

分析：

先根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论．

解答：

解：

由函数图象得：

进水管每分钟的进水量为：

20÷4=5升

设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得

20+8（5﹣a）=30，

解得：

a=

，

故关闭进水管后出水管放完水的时间为：

30÷

=8分钟．

故答案为：

8．

点评：

本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．

三、用心做一做，显显自己的能力！

（本大题共7小题，满分66分．解答写在答题卡上）

19．（6分）（2013•孝感）先化简，再求值：

，其中

，

．

考点：

分式的化简求值；二次根式的化简求值．

分析：

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x与y的值代入进行计算即可．

解答：

解：

原式=

=

=

，

当

，

时，

原式=

．

点评：

本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．

20．（8分）（2013•孝感）如图，已知△ABC和点O．

（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；

（2）用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P（要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点P是△ABC的内心，外心，还是重心？

考点：

作图-旋转变换；作图—复杂作图．

分析：

（1）分别得出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点坐标，进而得到△A1B1C1，

（2）根据垂直平分线的作法求出P点即可，进而利用外心的性质得出即可．

解答：

解：

（1）△A1B1C1如图所示；

（2）如图所示；

点P是△ABC的外心．

点评：

此题主要考查了复杂作图，正确根据垂直平分线的性质得出P点位置是解题关键．

21．（10分）（2013•孝感）如图，暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到A，B，C，D四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数．

（1）去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数？

（2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：

现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？

考点：

条形统计图；列表法与树状图法；游戏公平性．

分析：

（1）假设出去B地的人数为x，根据去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，进而得出方程求出即可；

（2）根据已知列表得出所有可能，进而利用概率公式求出即可．

解答：

解：

（1）设去B地的人数为x，

则由题意有：

；

解得：

x=40．

∴去B地的人数为40人．

（2）列表：

4

（1，4）

（2，4）

（3，4）

（4，4）

3

（1，3）

（2，3）

（3，3）

（4，3）

2

（1，2）

（2，2）

（3，2）

（4，2）

1

（1，1）

（2，1）

（3，1）

（4，1）

1

2

3

4

∴姐姐能参加的概率

，

弟弟能参加的概率为

，

∵

＜

，

∴不公平．

点评：

此题主要考查了条形统计图以及列表法求出概率和游戏公平性等知识，正确列举出所有可能是解题关键．

22．（10分）（2013•孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．

（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？

考点：

二次函数的应用；一次函数的应用．

分析：

（1）设y与x满足的函数关系式为：

y=kx+b．，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可；

（2）根据题意：

每天获得的利润为：

P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．

解答：

解：

（1）设y与x满足的函数关系式为：

y=kx+b．

由题意可得：

解得

故y与x的函数关系式为：

y=﹣3x+108．

（2）每天获得的利润为：

P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192．

故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．

点评：

本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．

23．（10分）（2013•孝感）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：

PA是⊙O的切线；

（2）若PD=

，求⊙O的直径．

考点：

切线的判定．

分析：

（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；

（2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=

，可得出⊙O的直径．

解答：

（1）证明：

连接OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

又∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线．

（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，

∴PO=2OA=OD+PD，

又∵OA=OD，

∴PD=OA，

∵

，

∴

．

∴⊙O的直径为

．

点评：

本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．

24．（10分）（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k使得

≥0成立？

若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

考点：

根与系数的关系；根的判别式．

分析：

（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；

（2）假设存在实数k使得

≥0成立．利用根与系数的关系可以求得

，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式

≥0，通过解不等式可以求得k的值．

解答：

解：

（1）∵原方程有两个实数根，

∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，

∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0

∴1﹣4k≥0，

∴k≤．

∴当k≤时，原方程有两个实数根．　　　

（2）假设存在实数k使得

≥0成立．

∵x1，x2是原方程的两根，

∴

．

由

≥0，

得

≥0．

∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：

﹣（k﹣1）2≥0，

∴只有当k=1时，上式才能成立．

又∵由

（1）知k≤，

∴不存在实数k使得

≥0成立．

点评：

本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．

25．（12分）（2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

①AE=EF是否总成立？

请给出证明；

②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．

考点：

二次函数综合题．

专题：

综合题．

分析：

（