精校版天津卷数学高考试题文档版含答案.docx

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精校版天津卷数学高考试题文档版含答案

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．

参考公式：

·如果事件与事件互斥，那么．

·如果事件与事件相互独立，那么．

·球的表面积公式，其中表示球的半径．

一．选择题：

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，集合，则

A．B．C．D．

2．设，则“”是“”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．函数的图象大致为

AB

CD

4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：

），将所得数据分为9组：

，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为

A．10B．18C．20D．36

5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A．B．C．D．

6．设，则的大小关系为

A．B．C．D．

7．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为

A．B．C．D．

8．已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是

A．①B．①③C．②③D．①②③

9．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是

A．B．

C．D．

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共11小题，共105分．

二．填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．是虚数单位，复数_________．

11．在的展开式中，的系数是_________．

12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

14．已知，且，则的最小值为_________．

15．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

三．解答题：

本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分14分）

在中，角所对的边分别为．已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

17．（本小题满分15分）

如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

18．（本小题满分15分）

已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

19．（本小题满分15分）

已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：

；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

20．（本小题满分16分）

已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

（ii）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，求证：

对任意的，且，有．

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学参考解答

一．选择题：

每小题5分，满分45分．

1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D

二．填空题：

每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．11．1012．513．；14．415．；

三．解答题

16．满分14分．

（Ⅰ）解：

在中，由余弦定理及，有．又因为，所以．

（Ⅱ）解：

在中，由正弦定理及，可得．

（Ⅲ）解：

由及，可得，

进而．

所以，．

17．满分15分．

依题意，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得，，．

（Ⅰ）证明：

依题意，，，从而，所以．

（Ⅱ）解：

依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则即不妨设，可得．

因此有，于是．

所以，二面角的正弦值为．

（Ⅲ）解：

依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．

所以，直线与平面所成角的正弦值为．

18．满分15分．

（Ⅰ）解：

由已知可得．记半焦距为，由可得．又由，可得．所以，椭圆的方程为．

（Ⅱ）解：

因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以．依题意，直线和直线的斜率均存在．设直线的方程为．由方程组消去，可得，解得，或.依题意，可得点的坐标为．因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为．由，得点的坐标为，故直线的斜率为，即．又因为，所以，整理得，解得，或．

所以，直线的方程为，或．

19．满分15分．

（Ⅰ）解：

设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得，从而的通项公式为．由，又，可得，解得，从而的通项公式为．

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）可得，故，，从而，所以．

（Ⅲ）解：

当为奇数时，；当为偶数时，．

对任意的正整数，有，

和．①

由①得．②

由①②得，从而得．

因此，．

所以，数列的前项和为．

20．满分16分．

（Ⅰ）（i）解：

当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．

（ii）解：

依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．

当变化时，的变化情况如下表：

1

-

0

+

↘

极小值

↗

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．

（Ⅱ）证明：

由，得．

对任意的，且，令，则

．①

令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．

因为，，

所以，

．②

由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，

故．③

由①②③可得．所以，当时，对任意的，且，有．