数值分析matlab完整版实验报告.docx
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数值分析matlab完整版实验报告
数值分析matlab完整版实验报告
《数值分析》报告
运用Matlab求解非线性方程的根
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1.目的
掌握非线性方程求根的方法，并选取实例运用MATLAB软件进行算法的实现，分别用牛顿法、弦截法和抛物线法求非线性方程的根。
2.报告选题
报告选取《数值分析（第四版）》290页习题7作为研究对象，即求在附近的根。
根的准确值，要求结果准确到四位有效数字。
（1）用牛顿法；
（2）用弦截法，取，；
（3）用抛物线法，取，，。
3.理论基础
（1）牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为
其迭代函数为
牛顿迭代法的收敛速度，当时，容易证明,，，牛顿迭代法是平方收敛的，且。
（2）弦截法
将牛顿迭代法中的用在，处的一阶差商来代替,即可得弦截法
。
（3）抛物线法
弦截法可以理解为用过两点的直线方程的根近似替的根。
若已知的三个近似根，，用过的抛物线方程的根近似代替的根，所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒（Muller）法。
4.MATLAB实现
根据牛顿法、弦截法和抛物线法求非线性方程根的理论基础，为实现计算在MATLAB中编写了以下M文件：
（1）f.m,题目中的函数f
functiony=f（x）
y=x^3-3*x-1;
（2）d.m,函数f的导数
functiony=d（x）
y=3*x^2-3;
（3）newton.m，牛顿法
functionnewton（f,d,x0,e,max）
%f是要求根的方程（f（x）=0）;
%d是f（x）的导数；
%x0是所给初值,位于x*附近；
%e是给定允许误差；
%max是迭代的最大次数；
%x1是newton法求得的方程的近似解；
%err是误差估计；
%k是迭代次数；
%y是f（x）值；
k=0;
y=feval（'f',x0）;
fprintf（'k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.6e\n',k,k,x0,k,y）
fork=1:
max
x1=x0-feval（'f',x0）/feval（'d',x0）;
err=abs（x1-1.87938524）;
x0=x1;
y=feval（'f',x0）;
fprintf（'k=%.0fx%d=%.8fe%d=%.6ey%d=%.6e\n',k,k,x0,k,err,k,y）
if（errbreak;
end
end
（1）xjmethod.m弦截法
functionxjmethod（f,x0,x1,e,max）
%f是要求根的方程（f（x）=0）;
%x0,x1是所给初值,位于x*附近；
%e是给定允许误差；
%max是迭代的最大次数；
%x1是弦截法求得的方程的近似解；
%err是误差估计；
%k是迭代次数；
%y是f（x）值；
fprintf（'k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.8e\n',0,0,x0,0,feval（'f',x0））
fprintf（'k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.8e\n',1,1,x1,1,feval（'f',x1））
fork=2:
max
x2=x1-（feval（'f',x1）*（x1-x0））/（feval（'f',x1）-feval（'f',x0））;
err=abs（x2-1.87938524）;
x0=x1;
x1=x2;
y=feval（'f',x1）;
fprintf（'k=%.0fx%d=%.8fe%d=%.6ey%d=%.8e\n',k,k,x1,k,err,k,y）
if（errbreak;
end
end
（1）pwxmethod.m抛物线法
functionpwxmethod（f,x0,x1,x2,e,max）
%f是要求根的方程（f（x）=0）;
%x0,x1，x2是所给初值,位于x*附近；
%e是给定允许误差；
%max是迭代的最大次数；
%x3是弦截法求得的方程的近似解；
%err是误差估计；
%k是迭代次数；
%y是f（x）值
fprintf（'k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.8e\n',0,0,x0,0,feval（'f',x0））
fprintf（'k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.8e\n',1,1,x1,1,feval（'f',x1））
fprintf（'k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.8e\n',2,2,x2,2,feval（'f',x2））
fork=3:
max
f0=feval（'f',x0）;
f1=feval（'f',x1）;
f2=feval（'f',x2）;
a=（f0-f2）/（x0-x2）;
b=（f1-f2）/（x1-x2）;
c=（a-b）/（x0-x1）;
w=b+c*（x2-x1）;
ifw<0
x3=x2-（2*f2/（w-sqrt（w^2-4*c*f2）））;
elseifw>0
x3=x2-（2*f2/（w+sqrt（w^2-4*c*f2）））;
end
err=abs（x3-1.87938524）;
x0=x1;
x1=x2;
x2=x3;
y=feval（'f',x2）;
fprintf（'k=%.0fx%d=%.8fe%d=%.6ey%d=%.8e\n',k,k,x2,k,err,k,y）
if（errbreak;
end
end
5.运行结果
图1运行结果界面
（1）牛顿法计算结果
k
0
2.00000000
1.000000e+000
1
1.88888889
9.503649e-003
7.270233e-002
2
1.87945157
6.632695e-005
5.038501e-004
即，误差为6.632695e-005。
（2）弦截法计算结果
k
0
2.00000000
1.000000e+000
1
1.90000000
1.59000000e-001
2
1.88109394
1.708696e-003
1.29961633e-002
3
1.87941106
2.582017e-005
1.96128714e-004
即，误差为2.582017e-005。
（3）抛物线法计算结果
k
0
1.00000000
-3.00000000e+000
1
3.00000000
1.70000000e+001
2
2.00000000
1.00000000e+000
3
1.89314982
1.376458e-002
1.05630272e-001
4
1.87913526
2.499828e-004
-1.89859581e-003
5
1.87938530
5.621918e-008
4.15115927e-007
即，误差为5.621918e-008。
6.小结
迭代法是解非线性方程的主要方法，牛顿法就是最有效的迭代法之一，它在单根附近具有较高阶的收敛速度。
而弦截法用差商代替导数，对于较复杂的函数运算变的方便。
抛物线法也是超线性收敛的，适用于求多项式的实根和复根。
通过本次报告加深了对牛顿法、弦截法和抛物线法求解非线性方程根的理解，同时掌握了MATLAB强大的计算功能，增强了对数值分析课程的学习兴趣。
参考文献
[1]李庆扬.数值分析（第四版）北京:
清华大学出版社,施普林格出版社.2001.
[2]胡学林.可编程控制器教程.北京:
机械工业出版社,2003.
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