高数答案人大.docx
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高数答案人大
高数答案人大
【篇一：
中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第1章课后习题详解】
>内容概要
课后习题全解
习题1-1
★1．求下列函数的定义域：
知识点：
自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合；思路：
常见的表达式有①loga□,（□?
0）②n/□,（□?
0）③（?
?
0）
④arcsin?
（?
?
?
?
1,1?
）等
解：
（1）y?
?
x?
0?
x?
01
?
?
x2?
?
?
?
x?
?
?
1,0?
?
?
0,1?
；?
2x?
1?
x?
0?
?
1?
x?
1
x?
1x?
1
?
?
1?
?
1?
?
1?
x?
3；22
（2）
y?
arcsin
（3）
?
3?
x?
0?
x?
31
y?
?
x?
?
?
?
?
?
x?
?
?
?
0?
?
?
0,3?
；
x?
x?
0?
x?
0
y?
lg3?
x
?
0?
3?
x?
x?
3
?
?
?
?
?
x?
?
?
?
?
1?
?
?
1,3?
；
0?
x?
11?
x,or,x?
?
1x?
1?
?
（4）
?
0?
x?
1
?
2
?
x?
?
1,2?
?
?
2,4?
；（5）y?
logx?
1（16?
x）?
?
1?
x?
1
?
0?
16?
x2?
★2．下列各题中，函数是否相同？
为什么？
（1）
（2）y?
2x?
1与x?
2y?
1f（x）?
lgx2与g（x）?
2lgx；
知识点：
函数相等的条件；
思路：
函数的两个要素是f（作用法则）及定义域d（作用范围），当两个函数作用法则f相同（化简
后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；
2
解：
（1）f（x）?
lgx的定义域d=xx?
0,x?
r，g（x）?
lgx的定义域d?
xx?
0,x?
r}，
?
?
?
虽然作用法则相同lgx
（2）
2
?
2lgx，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；
y?
2x?
1，以x为自变量，显然定义域为实数r；
x?
2y?
1，以x为自变量，显然定义域也为实数r；两者作用法则相同“2□?
1”
与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；
?
?
sinx,x?
?
?
3
★3．设?
（x）?
?
?
0,x?
?
?
3?
y?
?
（x）的图形
知识点：
分段函数；
思路：
注意自变量的不同范围；解：
?
（）?
sin
，求?
（
?
），?
（），?
（?
），?
（?
2），并做出函数644
?
?
?
?
6
6
?
1?
2?
?
?
，?
?
?
?
sin?
242?
4?
，?
?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
sin?
?
?
?
2?
4?
?
4?
?
?
?
2?
?
0；如图：
★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：
（1）
y?
x
?
?
?
1?
（2）y?
2x?
lnx，?
0,?
?
?
1?
x
知识点：
单调性定义。
单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的
某个子区间上函数的单调性的问题。
思路：
利用单调性的定义即可。
解：
（1）设x1，x2?
?
?
?
1?
，当x1?
x2时，
y1?
y2?
（2）设x1，x2
x1xx1?
x2
?
2?
?
0，由单调性的定义知是单调增函数；
1?
x11?
x21?
x11?
x2?
?
0,?
?
?
，x1?
x2，
y1?
y2?
（x1?
lnx1）?
（x2?
lnx2）?
（x1?
x2）?
ln
?
?
0,?
?
?
，x1?
x2，知
x1x2
由x1，x2
x1x
，则有?
1，故ln1?
0（对数函数的性质）
x2x2
y1?
y2?
0，得结论是单调增函数；
★5．设
f（x）为定义在?
?
l,l?
内的奇函数，若f（x）在?
0,l?
内单调增加，证明：
f（x）在?
?
l,0?
内也单调增加
知识点：
单调性和奇偶性的定义。
思路：
从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件；证明：
设x1,
由
x2?
?
?
l,0?
x1?
x2，则?
x1,?
x2?
（0,l）,?
x2?
?
x1，
f?
x?
在?
0,l?
内单调增加得，f?
?
x2?
?
f?
?
x1?
?
?
1?
，又f?
x?
为定义在?
?
l,l?
内的奇函
f?
x2?
?
?
f?
x1?
，即f?
x2?
?
f?
x1?
，则结论成立。
数，则
（1）式变形为?
★6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：
（2）两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
（3）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
知识点：
函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。
本题可作为结论应用。
思路：
按定义证明即可。
证明：
设函数f?
x?
（1）设f
当
；g?
x?
定义域分别是d1,d2（d1,d2是关于原点对称区间）
?
x?
?
f?
x?
?
g?
x?
，定义域为d1?
d2，显然d1?
d2也关于原点对称，
f?
x?
g?
x?
均为偶函数时，f?
?
x?
?
f?
?
x?
?
g?
?
x?
?
f?
x?
?
g?
x?
?
f?
x?
，得
f?
x?
为偶函数；
当
f?
x?
g?
x?
均为奇函数时，f?
?
x?
?
f?
?
x?
?
g?
?
x?
?
?
f?
x?
?
g?
x?
?
?
f?
x?
，得
f?
x?
为奇函数；
（2）令g当
?
x?
?
f?
x?
g?
x?
，定义域为d1?
d2，d1?
d2关于原点对称，
f?
x?
g?
x?
均为奇函数时，g?
?
x?
?
f?
?
x?
g?
?
x?
?
?
f?
x?
（?
g?
x?
）?
g?
x?
，得
f?
x?
为偶函数；
当
f?
x?
g?
x?
均为偶函数时，g?
?
x?
?
f?
?
x?
g?
?
x?
?
f?
x?
g?
x?
?
g?
x?
，得f?
x?
为
偶函数；
当
得g?
x?
f?
x?
g?
x?
为一奇一偶时，g?
?
x?
?
f?
?
x?
g?
?
x?
?
?
f?
x?
g?
x?
?
?
g?
x?
，
为奇函数；
★7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？
ex?
e?
x
（1）y?
tanx?
secx?
1；
（2）y?
2
（4）
；（3）
y?
xcosxecosx；
y?
x?
x?
2?
?
x?
2?
。
知识点：
函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质；
思路：
按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；
解：
（1）f?
?
x?
?
tan?
?
x?
?
sec?
?
x?
?
1?
?
tanx?
secx?
1，显然既不等于f?
x?
，也不
等于?
f?
x?
，故是非奇非偶函数；
下面三个函数的定义域为全体实数r，关于原点对称
（2）
e?
x?
e?
?
?
x?
f?
?
x?
?
?
f?
x?
，故是偶函数；
2
（3）
f?
?
x?
?
?
xcos?
?
xecos?
?
x?
?
f?
x?
，故是偶函数；f?
?
x?
?
?
x?
?
x?
2?
?
?
x?
2?
?
?
f?
x?
，故是奇函数；
（4）
★8．下列各函数中哪些是周期函数？
并指出其周期：
（1）
y?
cos?
x?
1?
；
（2）y?
xtanx；（3）y?
sin2x。
知识点：
函数周期性。
思路：
利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数y?
acos?
?
x?
?
?
?
c，
则最小正周期t
?
2?
?
，切函数也有类似结论）。
解：
（1）由弦函数周期公式知最小正周期t?
2?
；
（2）对正数t，不是周期函数；
（3）
f?
x?
t?
?
?
x?
t?
tan?
x?
t?
，而切函数周期是?
的整数倍，故本题函数
y?
sin2x?
1?
cos2x2?
，则最小正周期t?
?
?
22
★★9．证明：
f?
x?
?
xsinx在?
0,?
?
?
上是无界函数；
知识点：
无界函数定义。
思路：
证明函数在某区间上是无界的，只需证对?
m?
0（无论m有多大），?
x0?
（0,?
?
），使其
函数值|
f?
x0?
|?
m即可。
证明：
对于任意正数m，要使|f?
x?
|?
|xsinx|?
m，
考虑当x
?
2k?
?
?
2
?
k?
z?
，|f?
x?
|?
|xsinx|?
2k?
?
?
2
?
?
?
?
m?
?
?
?
?
1,（m?
?
）?
m，只要k?
∴要使2k?
?
，取k0?
?
?
22?
2?
2?
?
?
?
?
?
?
∴?
m?
0（无论m有多大），?
x0?
2k0?
?
，使得|f?
x0?
|?
|x0sinx0|?
m，
2
m?
?
∴
f?
x?
?
xsinx在?
0,?
?
?
上是无界函数
【篇二：
中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第3章课后习题详解】
t>习题3-1
★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？
如满足，请求出满足定理的数值
?
。
（1）
f（x）?
2x2?
x?
3,[?
1,1.5]；
（2）
f（x）?
x?
x,[0,3]。
知识点：
罗尔中值定理。
2
解：
（1）∵f（x）?
2x?
x?
3在[?
1,1.5]上连续，在（?
1,1.5）内可导，且f（?
1）?
f（1.5）?
0，
∴
（2）∵∴
1
?
（?
1,1.5）即为所求。
4
f（x）?
x?
x在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且f（0）?
f（3）?
0，f（x）?
x?
x在[0,3]上满足罗尔定理的条件。
令
y?
4x3?
5x2?
x?
2在区间[0,1]上的正确性。
f
（1）?
f（0）
1?
0
3
2
知识点：
拉格朗日中值定理。
可验证定理的正确性。
1]连续，在（0,1）内可导，∴y?
4x?
5x?
x?
2在解：
∵y?
f（x）?
4x?
5x?
x?
2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。
又区间[0,
f?
（?
）?
32
f
（1）?
?
2,f（0）?
?
2，f?
（x）?
12x2?
10x?
1，
∴要使
f
（1）?
f（0）5?
0，只要：
?
?
（0,1），
1?
012
∴?
?
?
1?
012
★3.已知函数
。
解：
要使
的?
。
f
（2）?
f
（1）3
2?
1★★4.试证明对函数
总是位于区间的正中间。
证明：
不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y?
px2?
qx?
r在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，从
而有
f（b）?
f（a）（pb2?
qb?
r）?
（pa2?
qa?
r）
b?
ab?
a
b?
a
，结论成立。
2
★5.函数
f（x）?
x3与g（x）?
x2?
1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？
如满足，请求出满
知识点：
柯西中值定理。
思路：
根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程
便为所求。
解：
∵f（x）?
x3及g（x）?
x2?
1在[1,2]上连续，在（1,2）内可导，且在（1,2）内的每一点处有
g?
（x）?
2x?
0，所以满足柯西中值定理的条件。
要使
?
14
即为满足定理的数值。
★★★6.设
f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f
（1）?
0。
求证：
/
结论出发，变形为
f/（x）x?
f（x），然后再利用罗尔中值定理，便得结论。
构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常
用的方法。
证明：
构造辅助函数f（x）?
xf（x），f?
（x）?
f（x）?
xf?
（x）
根据题意f（x）
?
xf（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f
（1）?
1?
f
（1）?
0，
f（x）
，只要x
注：
辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：
要使f?
（x）?
?
f?
（x）1[xf（x）]?
?
?
?
[lnf（x）]?
?
?
[lnx]?
?
[lnxf（x）]?
?
0?
?
0?
[xf（x）]?
?
0f（x）xxf（x）
?
xf（x）
∴只要设辅助函数f（x）
★★7.若函数
f（x）在（a,b）内具有二阶导函数，且f（x1）?
f（x2）?
f（x3）
知识点：
罗尔中值定理的应用。
思路：
连续两次使用罗尔中值定理。
证明：
∵f（x）在（a,b）内具有二阶导函数，∴f（x）在[x1,x2]、[x2,x3]内连续，
在（x1,x2）、（x2,x3）内可导，又
f（x1）?
f（x2）?
f（x3），
?
（x2,x3），
★★8.若4次方程
a0x4?
a1x3?
a2x2?
a3x?
a4?
0有4个不同的实根，证明：
4a0x3?
3a1x2?
2a2x?
a3?
0
的所有根皆为实根。
知识点：
罗尔中值定理的应用。
思路：
讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。
证明：
令f（x）?
a0x4?
a1x3?
a2x2?
a3x?
a4
则由题意，∵又
f（x）有4个不同的实数零点，分别设为x1,x2,x3,x4，
f（x）在[x1,x2]、[x2,x3]、[x3,x4]上连续，在（x1,x2）、（x2,x3）、（x3,x4）上可导，
f（x1）?
f（x2）?
f（x3）?
f（x4）?
0，
三次方程最多有3个实根，从而结论成立。
★★★9.证明：
方程
x5?
x?
1?
0只有一个正根。
知识点：
零点定理和罗尔定理的应用。
思路：
讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。
零点定理往往用来
讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。
解：
令f（x）?
x5?
x?
1，∵f（x）在[0,1]上连续，且f
（1）?
1?
0，f（0）?
?
1?
0，
5
5
?
x?
1?
0只有一个正根。
f（x）?
（x?
1）（x?
2）（x?
3）（x?
4）的导数，说明方程f?
（x）?
0有几个实根，
★★10.不用求出函数
并指出它们所在的区间。
知识点：
罗尔中值定理的应用。
思路：
讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。
解：
∵f（x）?
（x?
1）（x?
2）（x?
3）（x?
4）在[1,2]、[2,3]、[3,4]上连续，
f
（1）?
f
（2）?
f（3）?
f（4）?
0，
f?
（x）?
0为三次方程，至多有三个实根，
又方程∴
★★★11.证明下列不等式：
（1）
arctana?
arctanb?
a?
b；
（2）当x
?
1时，ex?
ex；
。
（3）设x
11
?
0，证明ln（1?
x）?
x；（4）当x?
0时，ln（1?
）?
x1?
x
知识点：
利用拉格朗日中值定理。
（或
f（b）?
f（a）b?
a
证明：
（1）令f（x）?
arctanx，∵f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，
【篇三：
中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第5章课后习题详解】
xt>课后习题全解
习题5-1
★★1.利用定积分的定义计算由抛物线
y?
x2?
1，直线x?
a，x?
b（b?
a）及横轴所围成的图形的
面积
知识点：
定积分的定义及几何意义思路：
根据求定积分的三步骤做
解:
将?
a,b?
分成n等分,取?
i（i?
1,2?
n）为第i个小区间[a?
点,则?
i?
1i
（b?
a）,a?
（b?
a）]的右端nn
?
?
xi?
b?
ab?
a
?
i?
a?
i,nn
显然,?
b
?
0?
n?
?
于是根据定积分的几何意义,该图形面积
n
n
b?
a2b?
a
a?
?
ydx?
lim?
y（?
i）?
xi?
lim?
[（a?
i）?
1]
a?
?
0n?
?
nni?
0i?
1
b?
an2b?
a（b?
a）22?
lim?
[a?
1?
n2ai?
n2i]n?
?
ni?
1
n
b?
ab?
a（b?
a）2n22
?
lim[n（a?
1）?
2a?
i?
i]?
2n?
?
nnni?
1i?
1
2a（b?
a）n（n?
1）（b?
a）21
?
n（n?
1）（2n?
1）]}?
lim{（b?
a）[a?
1?
23n?
?
n2n6
2
1（b?
a）211（1?
）?
（?
1）（?
2）]?
（b?
a）lim[a?
1?
a（b?
a）?
n?
?
n6nn
2
（b?
a）2b3?
a3
]?
?
（b?
a）.?
（b?
a）[a?
1?
ab?
a?
33
2
2
★★2.利用定积分的定义计算下列积分：
知识点：
定积分的定义
思路：
根据求定积分的三步骤做
（1）
?
b
a
xdx（a?
b）.
b?
a
n
解:
易见函数f（x）?
x?
c?
a,b?
，从而可积，将?
a,b?
分成n等分，则?
?
?
xi?
于是?
?
i
?
0?
n?
?
；取?
i（i?
1,2?
n）为第i个小区间的右端点，则b?
a?
a?
i,i?
0,1,2,?
n?
1,
n
所以
?
b
a
b?
ab?
a
xdx?
lim?
f（?
i）?
xi?
lim?
（a?
i）
?
?
0n?
?
nni?
0i?
0
n?
1n?
1
1b?
a[na?
（0?
1?
2?
?
?
n?
1）]}
n?
?
nn
b?
an（n?
1）b?
a1
?
（b?
a）lim[a?
2]?
（b?
a）lim[a?
?
（1?
）]
n?
?
n?
?
n22n
b?
a1
）?
（b2?
a2）.?
（b?
a）（a?
22
?
（b?
a）
（2）
?
e
1
lnxdx
in
解:
用分点xi?
e（i?
0,1,?
n）划分区间?
1,e?
：
?
xi则?
i
?
xi?
xi?
1?
e?
e,i?
1,2,?
n，取?
i是区间右端点，
in
in
ini?
1n
i
?
xi?
e,f（?
i）?
ln（?
i）?
lne?
n
e
n
n
ii?
1in
作和，并取极限得：
?
lnxdx?
lim?
f（?
i）?
xi?
lim?
（e?
en）
1n?
?
n?
?
i?
0i?
1ni1i?
1n
ini?
1i?
1
?
lim{?
e?
[?
（en?
en）]}
n?
?
nni?
1ni?
1
n
1
111i?
1（1?
e）
?
e?
（1?
e）lim（）?
e?
lim?
en?
e?
lim11n?
?
n?
?
n?
?
nni?
1n1?
en（1?
en）
x0
x?
0g（x）记g（x）?
，则当时，是型的，由洛必达法则，
1?
ex0
n
有lim
x1
?
lim?
?
1
x?
01?
exx?
0?
ex
从而，当n?
?
?
时，有
1
n?
?
?
nlim
11?
e
1n
?
?
1，故
?
e
1
lnxdx?
e?
（1?
e）?
1.
★3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：
（1）
?
2xdx?
1.
1
知识点：
定积分的几何意义
思路：
定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积
1?
2?
1?
等式右边.解:
等式左边为直线y?
2x与x轴和x?
1三条直线所围成的面积，该面积等于?
（2）
12
?
?
解:
等式左边为正弦曲线y?
sinx与x轴在x?
?
及x?
?
?
之间所围成的面积，其左右两边面积互
为相反数.则
?
?
sinxdx?
（?
a）?
a?
0?
等式右边
?
?
★★4.
用定积分的几何意义求
?
a
（b?
0）的值.
知识点：
定积分的几何意义
思路：
定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:
?
a?
bb?
a为圆心，为半径的上半圆，是以22
12?
b?
a2?
（b?
a）2
（）?
其面积为：
s?
?
r?
2228
由定积分的几何意义知：
?
a
?
?
（b?
a）2
8
.
1p?
2p?
?
?
np
（p?
0）表示成定积分.★★★5.试将和式的极限lim
n?
?
np?
1
知识点：
定积分的定义
思路：
根据定积分的定义推导过程可知,求和的极限公式可表示为定积分
1p?
2p?
?
?
np11p2pnp1nip
?
lim[（）?
（）?
?
?
（）]?
lim?
（）解:
lim
n?
?
n?
?
nn?
?
nnp?
1nnni?
1n
设
f（x）?
x
p
，则用定义求解
?
1
f（x）dx为：
①、等分[0,1]为n个小区间：
[
i?
1i1
],i?
1,2,?
n,?
xi?
nnn
nn
i?
1iii1
]上的右端点为?
i，即?
i?
，作和：
?
f（?
i）?
xi?
?
?
②、求和：
取区间[
nnnni?
1i?
1n
ip11nip
③、求极限：
lim?
f（?
i）?
xi?
lim?
（）?
?
lim?
（）
?
?
0n?
?
nn?
?
ni?
1ni?
1i?
1n
11p?
2p?
?
?
np1nipp
∴lim?
lim（）?
xdx?
p?
1?
0n?
?
n?
?
nni?
1n
nn
★★★6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下：
试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.
知识点：
定积分的几何意义
思路：
由定积分定义知：
求定积分（曲边梯形面积）的第二步：
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即
f（?
i）?
xi?
?
xi
xi?
1
f（x）dx，
若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为：
xi1
[f（xi?
1）?
f（xi）]?
xi?
?
f（x）dx。
xi?
1
2
解:
积分区间?
a,b?
?
?
0,200?
并对该区间作10等分，则区间分点xi（i?
1,2,?
n）及其对应的函数值
1b?
a
yi恰如表中所示，第i段的梯形横截面面积：
（yi?
1?
yi）?
2n
b?
a1
[（y0?
y10）?
y1?
y2?
?
?
y9]?
2330m∴此河横截面面积a?
n2
习题5-2
★1.证明定积分性质:
（1）
?
b
a
kf（x）dx?
k?
f（x）dx.（k是常数）
a
b
知识点：
定积分性质
思路：
利用定义推导定积分的性质
证明：
设f（x）在?
a,b?
上可积，对任意的分法与取法，记
?
b
?
max{?
xi}（i?
1,2,?
n）
f（x）dx?
klim?
f（?
i）?
xi?
lim?
kf（?
i）?
xi?
?
kf（x）dx
?
?
0
i?
1n
n
b
?
k
b
?
a?
?
0
i?
1
a
（2）
?
a
1?
dx?
?
dx=b?
a.
a
b
知识点：
定积分的定义
证明：
因为
f（x）?
1,于是对任意的分法，有
n
?
b
a
dx?
lim?
1?
?
xi?
lim（b?
a）?
b?
a.
?
?
0
i?
1
?
?
0
★2.估计下列各积分的值:
（1）
?
4
1
（x2?
1）dx
知识点：
定积分性质
思路：
确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围解：
因为x及x?
1在区间[1,4]上单调递增，故2?
x2?
1?
17,x?
[1,4]，
而区间长度b?
a即6?
（2）
2
2
?
4?
1?
3，所以2?
3?
6?
?
（x2?
1）dx?
17?
3?
51.
1
4
?
4
1
（x2?
1）dx?
51
?
1
exdx
2
知识点：
定积分性质
思路：
确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围解：
记f（x）?
ex，先求出f（x）在?
0,1?
上的最值，
2
由于
f?
（x）?
ex?
2x?
2xex?
0,x?
?
0,1?
所以f（x）在?
0,1?
上单调增加，
2
2
因此min
x?
?
0,1?
f（x）?
f（0）?
e0?
1,maxf（x）?
f
（1）?
e1?
e，即1?
f（x）?
e，
x?
?
0,1?
再由定积分的性
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