新思维教育初级奥数材料修改版7.docx
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新思维教育初级奥数材料修改版7
——智慧学堂中级教程——
1.第一讲速算与巧算
2.第二讲数列求和
3.第三讲鸡兔同笼问题
4.第四讲年龄问题
5.第五讲归一应用题
6.第六讲数的二进制
7.第七讲巧填算符
8.第八讲阶段大比拼——才艺展示
（一）
9.第九讲最短路线
10.第十讲用倒推法解题
11.第十一讲简单的行程问题
12.第十二讲盈亏问题
13.第十三讲火柴棍游戏
（一）
14.第十四讲火柴棍游戏
（二）
15.第十五讲阶段大比拼——才艺展示
（二）
第一讲速算与巧算
同学们，我们又在新思维见面了！
一提到“数学”，大家第一个想到的大多都会是计算。
计算是数学的“地基”，只有打牢这个“地基”，我们的数学大厦才能建高、建好！
在数学计算中有许多好的方法技巧和规律，我们如果能理解掌握、灵活运用，“数学大厦”的地基就会为你的成长提供最好的帮助！
呵呵！
下面就让我们一起来看看吧！
加减法中的巧算
小朋友们，你知道“凑整”的思想么？
在速算、巧算中我们常常为了方便计算而采用“凑整”的思想，它大大加快了我们的计算速度和正确率。
【例1】用你的好办法算出下式结果：
（1）1350＋49＋68＋51＋32＋1650
（2）23＋54＋18＋47＋82
（3）78＋19＋36＋54＋21＋74＋102
（4）33＋105＋18＋95＋57＋56＋12＋114
【例2】用你的好办法算出下式结果：
（1）188＋873
（2）9898＋203
（3）378+26+609
（4）66+218+79+87
【例3】
用你的好办法算出下式结果：
（1）4723-（723＋189）
（2）356+（84-36）
（3）2356-（59+256）
（4）376-（87-24）
【例4】用你的好办法算出下式结果：
（1）300-73-27
（2）66-18-28
（3）1000-90-80-20-10
（4）178-33-16-29
【例5】用你的好办法算出下式结果：
（1）506-397
（2）323-189
（3）467＋997（4）987-178-222-390
乘法中的巧算
★★★ 乘11，101，1001的速算法：
一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得：
a×11=a×（10＋1）=10a＋a
a×101=a×（100＋1）=100a＋a
a×1001=a×（1000＋1）=1000a＋a
例如：
38×101=38×100＋38=3838
★★★ 乘9，99，999的速算法：
一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得：
a×9=a×（10-1）=10a-a
a×99=a×（100-1）=100a-a
a×999=a×（1000-1）=1000a-a
例如：
18×99=18×100-18=1782
上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。
凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。
【例6】请你先根据上面“乘法的凑整”的思路，一步步推算下列各题。
（1）356×1002
（2）23×1030
（3）626×997（4）1234×9998
【例7】请你计算出下式结果，并观察总结规律。
第一组：
（1）37×101
（2）85×101
（3）79×101（4）23×10101
（5）49×10101（6）69×101010101
第二组：
（1）123×1001
（2）287×1001
（3）395×1001001（4）4567×10001
（5）3985×100010001（6）43869×1000010000100001
★★★ 乘5，25，125的速算法：
一个数乘以5，25，125时，因为5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，进行简便运算得到结果。
例如：
76×25=76×100÷4=7600÷4=1900
或76×25=19×4×25=19×100=1900
上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。
当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。
【例8】用你的好办法算出下式结果：
（1）186×5
（2）96×125
（3）24×25（4）75×25×8
【例9】用你的好办法算出下式结果：
（1）84×75
（2）56×625
（3）33×125（4）39×75
练习一
1．用简便方法求和：
①536+（541+464）+459 ②588＋264＋148
③8996＋3458＋7546 ④567+558+562＋555＋563
2．用简便方法求差：
①1870-280-520 ②4995-（995-480）
③4250-294＋94 ④1272-995
3．用简便方法计算下列各题：
①478-128+122-72 ②464-545＋99+345
③537-（543-163）-57 ④947+（372-447）-572
4．计算下面各题：
①23×1010101②4568×100010001
③72×125④45×99⑤75×36
课外阅读
错误百出的考卷
琼斯在警察学院当学员。
他以《贩毒犯》为题写了一份案例。
内容如下:
贩毒犯，某日中午，太阳当空照，在湖上留下长长的树影。
马捷和沙多把一艘预先准备好的小船，推进了湖。
他们顺着潮流漂向湖心这个湖是两个毗邻国家的界湖，由地下涌泉补充水源，不会干涸。
马捷和沙多多次利用这个界湖干着走私的勾当。
他们在湖心钓鱼，不时能钓到一些海鳟，把内脏挖出，然后装进袋里。
夜幕降临，四周一片漆黑，两人把小船快速划到对岸，勺接应人碰头。
然后一起把小船拖上岸，朝天翻起，船底装着一个不漏水的罐子。
他们把小包毒品放在里面。
他们干得相当顺利，午夜刚过10分钟，便开始往回划，在离开平时藏船处以北半公里的地方靠岸。
两人将100包毒品取出平分了。
5分钟后，一只海关巡逻队在午夜时分发现这只船时，没有引起丝毫怀疑。
但当他俩回到镇上时，撞上了巡逻的警察，马捷和沙多被缉拿归案了。
哈莱金探长看完后，哈哈大笑，说:
"这张考卷里错误百出，琼斯应该留一级才对。
"
这张考卷里有多少处错误?
试卷共有4处错误:
1.中午，当太阳高悬天空中时，不论树木多高多矮，都不会有阴影;
2.水源靠地下涌泉补充的湖是没有潮流的;
3.海鳟是海水鱼;
4.贩毒犯开始往回划时是"午夜刚过10分"，因此"午夜时分"巡逻队不可能在对岸发现他们的船。
第二讲数列求和
知识导航
德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。
他上小学的时候，老师出了一个题目，1+2+…+99+100＝？
小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。
同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？
原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目的特点。
像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。
如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。
后项与前项的差叫做这个数列的公差。
如：
1，2，3，4，…是等差数列，公差为1；
2，4，6，8，…是等差数列，公差为2；
5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。
进一步，小高斯发现了这样的关系：
1+100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，50＋51＝101。
一共有多少个101呢？
100个数，每两个数是一对，共有50个101。
所以：
1＋2＋3＋…＋98+99+100
＝101×50
即，和=（100＋1）×（100÷2）＝101×50＝5050
这道题目，我们还可以这样理解：
即，和=（100＋1）×100÷2＝101×50＝5050
由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：
总和＝（首项+末项）×项数÷2
这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。
因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的特点。
例题精讲
【例1】找找下面的数列有多少项？
（1）2、4、6、8、……、86、98、100
（2）1、3、5、7、……、87、89、91
（3）3、4、5、6、……、76、77、78
（4）4、7、10、13、……、40、43、46
（5）2、6、10、14、18、……、82、86
【例2】计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100
（2）2＋5+8+…＋23+26＋29
【例3】你能找出几个等差数列的特征？
从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？
【例4】找下列数列中的项：
（1）3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？
它的第102项是多少？
（2）0、4、8、12、16、20、……，它的第43项是多少？
【例5】
（1）已知等差数列2、5、8、11、14…，问47是其中第几项？
（2）已知等差数列9、13、17、21、25、…，问93是其中第几项？
【例6】
（1）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
（2）如果一等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.
【例7】计算各数列的和：
（1）3＋4＋5＋…＋99＋100
（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1
【例8】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？
这堆砖共有多少块？
【例9】（1+3+5+……+1997+1999）一（2+4+6+……1996+1998）
【例10】计算4000-5-10-15-…-95-100。
练习二
1．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
2．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
3．某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？
4．某建筑工地堆放着一些钢管，最上面一层有3根，最下面一层有29根，而且下面的每一层比上面的一层多2根，这些钢管一共多少根？
5．巧算下题：
5000-2-4-6-…-98-100
6．已知：
a=1+3+5+……+99+101，b=2+4+6+……+98+100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大．
课外阅读
高斯（C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23）是德国数学家、物理学家和天文学家，出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。
父亲格尔恰尔德·迪德里赫先后当过护堤工、泥瓦匠和园丁，第一个妻子和他生活了10多年后因病去世，没有为他留下孩子。
迪德里赫后来娶了罗捷雅，第二年他们的孩子高斯出生了，这是他们唯一的孩子。
父亲对高斯要求极为严厉，甚至有些过份，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。
高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。
1806年迪德里赫逝世，此时高斯已经做出了许多划时代的成就。
在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。
高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：
高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich）。
弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。
他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。
若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使"我们失去了一位天才"。
正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。
在数学史上，很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。
罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了。
他性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感。
高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。
当丈夫为此训斥孩子时，他总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。
罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。
然而，他也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。
在高斯19岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友Ｗ.波尔约（W.Bolyai,非欧几何创立者之一J.波尔约之父）问道：
高斯将来会有出息吗？
Ｗ.波尔约说她的儿子将是"欧洲最伟大的数学家"，为此她激动得热泪盈眶。
7岁那年，高斯第一次上学了。
头两年没有什么特殊的事情。
1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。
数学教师是布特纳（Buttner），他对高斯的成长也起了一定作用。
在全世界广为流传的一则故事说，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案。
不过，这很可能是一个不真实的传说。
据对高斯素有研究的著名数学史家E·T·贝尔（E.T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：
81297+81495+81693+…+100899。
当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）。
当布特纳刚一写完时，高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。
E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他写的答案是正确的，而其他的孩子们都错了。
高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题。
数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。
一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。
贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实，应该是比较可信的。
而且，这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。
高斯的计算能力，更主要地是高斯独到的数学方法、非同一般的创造力，使布特纳对他刮目相看。
他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：
"你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。
"接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯（J.M.Bartels）建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。
他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。
1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。
经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯。
这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。
布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。
不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。
高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。
1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。
1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。
1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克，正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时─虽然他的博士论文顺利通过了，已被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。
公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了《算术研究》，使该书得以在1801年问世；还负担了高斯的所有生活费用。
所有这一切，令高斯十分感动。
他在博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词：
"献给大公"，"你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究"。
1806年，公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。
他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。
大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于法军奴役下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷，但他是位刚强的汉子，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸。
人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。
在一篇讨论椭圆函数的手搞中，突然插入了一段细微的铅笔字：
"对我来说，死去也比这样的生活更好受些。
"
慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计。
由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。
彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着象高斯这样的天才。
公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台。
现在，高斯又在他的生活中面临着新的选择。
为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.VonHumboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥丁根大学数学和天文学教授，以及哥丁根天文台台长的职位。
1807年，高斯赴哥丁根就职，全家迁居于此。
从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥丁根。
洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥丁根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。
同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。
高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。
他有"数学王子"、"数学家之王"的美称、被认为是人类有史以来"最伟大的三位（或四位）数学家之一"（阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉）。
人们还称赞高斯是"人类的骄傲"。
天才、早熟、高产、创造力不衰、……，人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过份。
高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。
从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18─19世纪之交的中坚人物。
如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。
虽然数学研究、科学工作在18世纪末仍然没有成为令人羡慕的职业，但高斯依然生逢其时，因为在他快步入而立之年之际，欧洲资本主义的发展，使各国政府都开始重视科学研究。
随着拿破仑对法国科学家、科学研究的重视，俄国的沙皇以及欧洲的许多君主也开始对科学家、科学研究刮目相看，科学研究的社会化进程不断加快，科学的地位不断提高。
作为当时最伟大的科学家，高斯获得了不少的荣誉，许多世界著名的科学泰斗都把高斯当作自己的老师。
1802年，高斯被俄国彼得堡科学院选为通讯院士、喀山大学教授；1877年，丹麦政府任命他为科学顾问，这一年，德国汉诺威政府也聘请他担任政府科学顾问。
高斯的一生，是典型的学者的一生。
他始终保持着农家的俭朴，使人难以想象他是一位大教授，世界上最伟大的数学家。
他先后结过两次婚，几个孩子曾使他颇为恼火。
不过，这些对他的科学创造影响不太大。
在获得崇高声誉、德国数学开始主宰世界之时，一代天骄走完了生命旅程。
第三讲鸡兔同笼问题
知识导航
你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？
这个问题，是我国古代著名趣题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
这四句话的意思是：
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？
你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？
解答思路是这样的：
假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。
这样，
（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；
（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。
因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12
（只）。
显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。
古人常用的这种思维方法叫化归法。
化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。
今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”！
例题精讲
【例1】（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
【例2】某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？
【例3】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。
问：
大、小和尚各有多少人?
【例4】刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
【例5】松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松果，平均每天采14个.问这几天中有几个雨天？
【例6】鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。
问：
鸡、兔各多少只?
【例7】鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只。
问：
鸡、兔各多少只?
【例8】鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？
【例9】东湖路小学六年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣3分.刘钢得了60分，问他做对了几道题？
【例10】乐乐百货商店委托搬运站运送100只花瓶。
双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元。
问：
搬运过程中共打破了几只花瓶?
【例11】香山小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？
练习三
1．鸡兔同笼，上有35头，下有94足，求笼中鸡兔各几只？
2．小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张，问两种邮票各买多少张？
3．体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？
4．鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
5．某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣3分，小聪得了60分，他做对了多少道题？
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