②P（X<μ－a）＝P（X>μ＋a）．
（2）“3σ”法：
利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解．
跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<4）＝0.8，则P（0<ξ<2）等于（ ）
A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 C
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），
∴μ＝2，对称轴是x＝2.
∵P（ξ<4）＝0.8，∴P（ξ≥4）＝P（ξ≤0）＝0.2，
∴P（0<ξ<4）＝0.6，
∴P（0<ξ<2）＝0.3.故选C.
类型三 正态分布的应用
例3 有一种精密零件，其尺寸X（单位：
mm）服从正态分布N（20,4）．若这批零件共有5000个，试求：
（1）这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；
（2）若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解
（1）∵X～N（20,4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，
μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.
（2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26mm间的零件所占的百分比大约是
＝2.15%.
因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5000×2.15%≈108（个）．
反思与感悟 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪训练3 在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80,52），现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人？
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 ∵成绩服从正态分布N（80,52），
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85，
∴成绩在（75,85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在（80,85]内的同学占全班同学的34.13%，设该班有x人，则x·34.13%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在（70,90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%，即有50×2.28%≈1（人），即成绩在90分以上的仅有1人．
1．设两个正态分布N（μ1，σ
）（σ1>0）和N（μ2，σ
）（σ2>0）的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线
答案 A
解析 根据正态曲线的特点：
正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线：
当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.
2．正态分布N（0,1）在区间（－2，－1）和（1,2）上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为（ ）
A．P1＝P2B．P1＜P2
C．P1＞P2D．不确定
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线性质的应用
答案 A
解析 根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间（－2，－1）和（1,2）上取值的概率P1，P2相等．
3．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为
，则μ等于（ ）
A．1B．2
C．4D．不能确定
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 C
解析 因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为
，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P（ξ>4）＝
＝1－P（ξ≤4），故P（ξ≤4）＝
，所以μ＝4.
4．已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]和（μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N（90,152），则此次考试成绩在区间（60,120]内的学生大约有（ ）
A．997人B．972人C．954人D．683人
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 C
解析 依题意可知μ＝90，σ＝15，故P（605．设随机变量X～N（2,9），若P（X>c＋1）＝P（X（1）求c的值；
（2）求P（－4考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
解
（1）由X～N（2,9）可知，密度函数关于直线x＝2对称（如图所示），
又P（X>c＋1）＝P（X故有2－（c－1）＝（c＋1）－2，
∴c＝2.
（2）P（－41．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．
2．正态总体在某个区间内取值的概率求法
（1）熟记P（μ－σ（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．
①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
②P（Xμ＋a），
若b<μ，则P（X<μ－b）＝
.
一、选择题
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝φμ，σ（x）＝
，则这个正态总体的均值与标准差分别是（ ）
A．10与8B．10与2
C．8与10D．2与10
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 B
解析 由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
2．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ>0），P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤0）等于（ ）
A．0.16B．0.32
C．0.68D．0.84
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 A
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴μ＝2，
∵P（ξ≤4）＝0.84，
∴P（ξ≥4）＝1－0.84＝0.16，
∴P（ξ≤0）＝P（ξ≥4）＝0.16.
3．已知某批零件的长度误差（单位：
毫米）服从正态分布N（0,32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6]内的概率为（ ）（附：
若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ<ξ≤μ＋σ）＝68.26%，P（μ－2σ<ξ≤μ＋2σ）＝95.44%）
A．4.56%B．13.59%
C．27.18%D．31.74%
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 B
解析 由正态分布的概率公式，知P（－3<ξ≤3）＝0.6826，P（－6<ξ≤6）＝0.9544，
故P（3<ξ≤6）＝
＝
＝0.1359＝13.59%，故选B.
4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（附：
若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝0.9544）
A．2386B．2718C．4772D．3413
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 D
解析 由X～N（0,1）知，P（－1＜X≤1）＝0.6826，
∴P（0≤X≤1）＝
×0.6826＝0.3413，故S≈0.3413.
∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为
＝
，∴x＝10000×0.3413＝3413，故选D.
5．设X～N（μ1，σ
），Y～N（μ2，σ
），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）
B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数t，P（X≤t）>P（Y≤t）
D．对任意正数t，P（X≥t）>P（Y≥t）
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线
答案 C
解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P（Y≥μ2）P（X≤σ2）>P（X≤σ1），故B错；
当t为任意正数时，由题图可知P（X≤t）>P（Y≤t），
而P（X≤t）＝1－P（X≥t），P（Y≤t）＝1－P（Y≥t），
∴P（X≥t）6．如果正态总体的数据落在（－3，－1）内的概率和落在（3,5）内的概率相等，那么这个正态总体的均值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 B
解析 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间（－3，－1）和（3,5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间（－3，－1）和（3,5）关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.
7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N（110,52），据此估计，大约应有57人的分数在区间（ ）
A．（90,110]B．（95,125]
C．（100,120]D．（105,115]
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 C
解析 ∵X～N（110,52），∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间（105,115]，（100,120]，（95,125]上的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.6826≈41,60×0.9544≈57,60×0.9974≈60.
8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98,100）．已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）
A．1500名B．1700名
C．4500名D．8000名
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 A
解析 因为理科生的数学成绩X服从正态分布N（98,100），所以P（X≥108）＝
[1－P（88[1－P（μ－σ×（1－0.6826）＝0.1587，所以0.1587×9450≈1500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名．
二、填空题
9．已知随机变量X服从正态分布N（a,4），且P（X≤1）＝0.5，则实数a的值为．
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 1
解析 ∵X服从正态分布N（a,4），∴正态曲线关于直线x＝a对称，又P（X≤1）＝0.5，故a＝1.
10．设随机变量X～N（4，σ2），且P（4考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 0.2
解析 概率密度曲线关于直线x＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.
11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为
，则总体落入区间（0,2]内的概率为．
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 0.4772
解析 正态分布密度函数是f（x）＝
，x∈（－∞，＋∞），若它是偶函数，则μ＝0，
∵f（x）的最大值为f（μ）＝
＝
，∴σ＝1，
∴P（0P（－2P（μ－2σ×0.9544＝0.4772.
三、解答题
12．已知随机变量X～N（μ，σ2），且其正态曲线在（－∞，80）上是增函数，在（80，＋∞）上为减函数，且P（72（1）求参数μ，σ的值；
（2）求P（64＜X≤72）．
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
解
（1）由于正态曲线在（－∞，80）上是增函数，
在（80，＋∞）上是减函数，
所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.
又P（72结合P（μ－σ（2）因为P（μ－2σ＝P（64＝0.9544.
又因为P（X≤64）＝P（X>96），
所以P（X≤64）＝
×（1－0.9544）
＝
×0.0456＝0.0228.
所以P（X>64）＝0.9772.
又P（X≤72）＝
[1－P（72＝
×（1－0.6826）＝0.1587，
所以P（X>72）＝0.8413，
P（64＝P（X>64）－P（X>72）
＝0.1359.
13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X（分钟）服从正态分布N（5,1）；第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N（6,0.16）．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？
若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N（5,1），能及时到达的概率
P1＝P（X≤7）
＝P（X≤5）＋P（5＝
＋
P（μ－2σ若选第二条路线，即X～N（6,0.16），能及时到达的概率
P2＝P（X≤7）
＝P（X≤6）＋P（6＝
＋
P（μ－2.5σ因为P1同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．
四、探究与拓展
14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布N（μ，22），
且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为．
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 683
解析 依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P（58.515．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数
，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P（187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求E（X）．
（附：
≈12.2）
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的综合应用
解
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数
和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝（－30）2×0.02＋（－20）2×0.09＋（－10）2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
（2）①由
（1）知，Z～N（200,150），
从而P（187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2]的概率为0.6826，依题意知X～B（100,0.6826），
所以E（X）＝100×0.6826＝68.26.
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