清华大学算法分析与设计 第09讲动态规划方法.docx

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清华大学算法分析与设计第09讲动态规划方法

Cut

•Acut（S,T）dividestheflowG=（E,V）intotwopartsSandT,whereS∩T=φ,andS∪T=E,s∈S,t∈T.

•Netflowacrossacut（S,T）isdefinedtobef（S,T）,thecapacityof（S,T）isc（S,T）

•c（S,T）=∑u∈S,v∈Tc（u,v）

•f（S,T）=∑u∈S,v∈Tf（u,v）

清华大学软件学院宋斌恒23

TheBasicFord-Fulkersonalgorithm

•Ford-Fulkerson（G,s,t）

1.Foreachedge（u,v）inE[G]

1.f[u,v]⓪0

2.f[v,u]⓪0

2.WhilethereexistsapathpfromstotintheresidualnetworkGf

1.cf（p）⓪min{cf（u,v）:

（u,v）inp}

2.Foreachedge（u,v）inp1.f[u,v]⓪f[u,v]+cf（p）2.f[v,u]⓪-f[u,v]

清华大学软件学院宋斌恒29

Proofofstep1（Lemma26.8）

•Supposethatthereexistsaflowf,anextaugmentedflowf’andavertexv’inV-{s,t}notsatisfiesthepropertymentionedinstep1,

thatisδf（s,v’）≤δf’（s,v’）doesnothold,thenwechoosevbeoneofsuchelementswhichtakestheminimumdistancefromsinGf’itmeans

•【假设不满足递增规律】

•【蓝字什么意思？

为什么能这样假设？

】

清华大学软件学院宋斌恒44

◻δf（s,v）＞δf’（s,v）

–Letp=s--->u⓪vbeashortestpathfromstov,sothat（u,v）inEf’and

–δf’（s,u）≤δf’（s,v）-1and

◻δf’（s,u）≥δf（s,u）,

•Weclaim（u,v）notinEf.

–Ifitis,then

–δf（s,v）≤δf（s,u）+1（triangleinequality）

–≤δf’（s,u）+1（seeabove）

–≤δf’（s,v）

–Acontradiction!

【如下所示】

•Howcanwehave（u,v）notinEfbutinEf’?

清华大学软件学院宋斌恒45